Correction du Contrôle Continu no 1

IUT Dijon-Auxerre
GEA 1ère année TD2, 2015-2016
Correction du Contrôle Continu no 1
Exercice 1 : Résoudre dans R les équations suivantes :
1. L’équation ln(x2 + 9) = ln(6) + ln(x) est définie pour x ∈ R∗+ . Pour x ∈ R∗+ , on a :
ln(x2 + 9) = ln(6) + ln(x) ⇐⇒ ln(x2 + 9) = ln(6x)
⇐⇒ x2 + 9 = 6x
⇐⇒ x2 − 6x + 9 = 0
⇐⇒ (x − 3)2 = 0
⇐⇒ x = 3.
L’unique solution de cette l’équation est 3.
2. L’équation e2x − 5ex + 6 = 0 est définie pour tout réel x. On a :
2
e2x − 5ex + 6 = 0 ⇐⇒ (ex ) − 5ex + 6 = 0.
En effectuant le changement de variable X = ex , on se ramène à résoudre en X l’équaiton du second degré :
X 2 − 5X + 6 = 0.
Le discriminant du polynôme du second degré X 2 − 5X + 6 est
∆ = 52 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1
et les solutions de l’équation X 2 − 5X + 6 = 0 sont
√
√
5+ 1
5− 1
X1 =
= 3 et X2 =
= 2.
2×1
2×1
On en déduit que les solutions de l’équation e2x − 5ex + 6 = 0 sont x1 = ln(X1 ) = ln 3 et x2 = ln(X2 ) = ln 2.
Exercice 2 : Donner les domaines de définition et de dérivabilité des fonctions suivantes et calculer leurs dérivées :
1. La fonction f1 est bien définie si, et seulement si, x2 − 4 ≥ 0 et est dérivable si et seulement si x2 − 4 > 0.
Ainsi,
Df1 = {x ∈ R : x2 ≥ 4} =] − ∞; −2] ∪ [2; +∞[
et f1 est dérivable sur :
D = {x ∈ R : x2 > 4} =] − ∞; −2[∪]2; +∞[.
p
La fonction f1 s’écrit sous la forme f( x) = u(x) pour u(x) = x2 − 4. Ainsi, pour x ∈ Df10 , on a :
u0 (x)
2x
x
f10 (x) = p
= √
=√
.
2
2
2 x −4
x −4
2 u(x)
1
2. La fonction f2 est définie et dérivable sur R. En utilisant la formule de dérivation d’un produit, on obtient :
f20 (x) = (2x − 2) exp(x) + (x2 − 2x) exp(x) = (x2 − 2) exp(x).
prop
prop
Exercice 3 : On rappelle que le taux mensuel proportionnel τm
au taux annuel τa est donné par τm
=
1
équiv
équiv
que le taux mensuel équivalent τm
au taux annuel τa est donné par τm
= (1 + τa ) 12 − 1. Ici,
prop
τm
=
0, 0075
= 0, 000625
12
et
1
soit (environ) 0, 0623%.
Exercice 4 : On considère une suite géométrique (un )n∈N de raison
n
X
et
soit 0, 0625%
équiv
τm
= (1 + 0, 0075) 12 − 1 ' 0, 000623
Sn =
τa
12
1
3
et telle que u9 = 30. Pour n ∈ N, on note :
uk = u0 + u1 + · · · + un−1 + un .
k=0
1. On sait que (un )n∈N est une suite géométrique de raison
1
3
et que u9 = 30. On a donc :
9
1
30 = u9 = u0
3
d’où
u0 = 30 × 39 = 590490.
En utilisant la formule pour la somme des n premiers termes d’une suite géométrique, on obtient :
S9 = u0
1 10
−
3
1
−
1
3
et
S∞ = lim u0
n→+∞
1
= 885720
1 n+1
−
3
1
3 −1
1
= 885735.
2. On a :
n
1
≤1
un ≤ 1 ⇐⇒ u0
3
n
1
1
⇐⇒
≤
3
u0
1
1
⇐⇒ n ln
≤ ln
3
u0
⇐⇒ n ≥
ln( u10 )
ln(u0 )
ln(590490)
=
=
' 12, 1.
1
ln(3)
ln(3)
ln 3
On a donc un ≤ 1 pour tout entier supérieur ou égal à 13.
Exercice 5 : On considère un livret d’épargne au taux d’intérêt annuel composé de 5%. Chaque 1er janvier depuis
le 1er janvier 2000, un épargnant place 2000¤ sur ce livret.
2
1. Il s’agit d’un cas de versement d’annuités constantes A sans interruption sur un livret au taux annuel composé
τ . Le montant du capital et des intérêts acquis Cn après le nième versement est donné par :
Cn = A
(1 + τ )n − 1
1, 05n − 1
= 2000
.
τ
0, 05
Le montant des intérêts acquis après le nième versement est donné par le capital Cn retranché de la somme
des versements, c’est-à-dire :
1, 05n − 1
− 2000n.
2000
0, 05
2. Le 1er janvier 2015 a eu lieu le 16ième versement. Le montant capital et les intérêts acquis après ce versement
est :
1, 0516 − 1
C16 = 2000
' 47314, 98¤.
0, 05
Les intérêts acquis sont alors de :
C16 − 2000 × 16 ' 15314, 98¤.
3. On a :
1, 05n − 1
≥ 100000
0, 05
0, 05
= 2, 5
⇐⇒ 1, 05n − 1 ≥ 100000 ×
2000
⇐⇒ 1, 05n ≥ 2, 5 + 1 = 3, 5
Cn ≥ 100000 ⇐⇒ 2000
⇐⇒ n ln(1, 05) ≥ ln(3, 5)
⇐⇒ n ≥
ln(3, 5)
' 25, 7.
ln(1, 05)
L’épargnant disposera d’au moins 100000¤ disponibles sur son livret après le 26ième versement. Celui-ci aura
lieu le 1er janvier 2025.
Exercice 6 : Une entreprise a vu son chiffre d’affaire annuel diminuer de 10000¤ chaque année entre 2006 et 2012.
En 2006, son chiffre d’affaire était de 200000¤.
1. Pour n ∈ N, notons un le chiffre d’affaire annuel de l’entreprise pour l’année 2006 + n, exprimé en euros. On
a:
un+1 = un − 10000 et u0 = 200000.
La suite (un )n∈N est donc la suite arithmétique de premier terme u0 = 200000 et de raison r = −10000.
2. Le chiffre d’affaire de l’entreprise en 2012 est :
u6 = u0 + 6r = 200000 − 6 × 10000 = 140000¤.
3. On a :
un = 0 ⇐⇒ u0 + nr = 0
⇐⇒ 200000 − 10000n = 0
⇐⇒ 10000n = 200000
200000
⇐⇒ n =
= 20.
10000
Si son chiffre d’affaire continue d’évoluer de la même façon, celui-ci sera nul en 2026.