Calcul direct d`une poussée d`Archimède

Complément II.2
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Calcul de la poussée d’Archimède s’exerçant sur une sphère
On va calculer la poussée d’Archimède s’exerçant sur une sphère en effectuant la somme
vectorielle des forces pressantes. On montrera qu’elle est bien opposée au poids du fluide
déplacé. Ce complément a pour but de montrer encore une fois comment les intégrales sur une
surface fonctionnent et qu’elles ne sont pas insurmontables !
1. Description de la sphère et de son repérage
Son centre est en O, son rayon est r. Ses points sont rapportés au repère (Oxyz). (L’axe (Oy) n’est
pas représenté.) Ils sont aussi repérés dans un système de coordonnées sphériques (r, θ, φ) dans
lequel r = OM est la distance au centre, θ est la colatitude et φ, la longitude.
z
H
dFh
rsin
rd
M

O
dF
r
dFz

x
Figure 1 : la sphère, les surfaces élémentaires sur la sphère, la force pressante élémentaire et ses
composantes
2. Les surfaces élémentaires découpées sur la sphère
La surface élémentaire de base est hachurée en bleu sur la figure 1. Elle est située entre le cercle
(C) qui est le parallèle de colatitude θ et le parallèle de colatitude θ+dθ. Et entre les méridiens de
longitudes φ et φ+dφ. La longueur de l’arc de méridien qui sépare les deux parallèles est rdθ car
c’est un arc de cercle de rayon r et d’angle au centre dθ. La longueur de l’arc de parallèle qui
sépare les deux méridiens est rsinθdφ car le rayon du parallèle (C) est rsinθ et l’angle au centre
est dφ. L’aire de la surface élémentaire est donc dS = r2sinθdθdφ.
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La surface élémentaire judicieuse est colorée en jaune sur la figure1. Elle se caractérise par une
cote constante donc une pression constante et c’est pourquoi elle est judicieuse. Elle est limitée
par les deux parallèles de colatitudes θ et θ+dθ. La longueur du parallèle (C) est 2πrsinθ. La
longueur de l’arc de méridien qui sépare les deux parallèles est rdθ. L’aire de cette surface
élémentaire est donc dS’ = 2π r2sinθdθ.
3. Force pressante élémentaire
Sur la surface élémentaire de base, d’aire dS, s’exerce la force élémentaire :
d F1   pdSur    B   gz  dSur
perpendiculaire à la surface élémentaire donc colinéaire au rayon de la sphère, orientée vers
l’intérieur de la sphère. L’origine des cotes étant le centre de la sphère, la constante B n’est pas la
pression atmosphérique.
La somme vectorielle de toutes les forces pressantes dues au terme B est nulle car deux surfaces
élémentaires diamétralement opposées sur la sphère sont soumises à deux forces élémentaires
de même direction (le diamètre en question), orientées en sens contraires et de même intensité
(B est constant).
On s’intéresse donc uniquement à la force :
d F   gzdSur
On décompose cette force en ses composantes verticale dFz et horizontale dFh. La somme
vectorielle de toutes les forces pressantes dues au terme dFh est nulle car deux surfaces
élémentaires diamétralement opposées sur le cercle parallèle (C) sont soumises à deux forces
élémentaires de même direction (le diamètre en question), orientées en sens contraires et de
même intensité (z est constant donc p aussi ; et l’angle de projection π/2-θ aussi).
La poussée d’Archimède est donc la somme vectorielle de toutes les forces élémentaires dFz.
Celle qui est représentée sur la figure est orientée vers le bas. Mais les forces pressantes
s’exerçant sur la demi-sphère basse sont orientées vers le haut. Et le fluide est de plus en plus
comprimé lorsqu’on descend verticalement à cause de son propre poids volumique (voir
chapitre II paragraphe C.3.e.). La force pressante qu’il exerce est donc plus forte en bas qu’en
haut de la sphère d’où une poussée d’Archimède orientée vers le haut.
La mesure algébrique de la composante verticale dFz est constante sur le cercle (C) car z est
constant donc p aussi et l’angle de projection θ l’est aussi. Donc la somme algébrique des
composantes verticales sur la surface d’aire dS’
d F 'z   gz cos  dS '   gz cos  2 r 2 sin  d
d F 'z  2 g z r 2 cos  sin  d
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4. Force pressante verticale résultante
La cote z s’exprime en fonction de θ puis on substitue cette expression dans la force élémentaire
et on en déduit la force totale :
z  r cos 
d F 'z  2 g r 3 cos 2  sin  d
F 'z  
sphère

d F 'z   2 g r 3 cos 2  sin  d
0
On remarque que sinθdθ = -dcosθ et on effectue le changement de variable u = cosθ :
d F 'z  2 gr 3 cos2  d cos   2 gr 3u 2du
Pour balayer toute la sphère θ varie de 0 à π et u=cosθ de +1 à -1 :
1
1
1
1
F 'z   2 gr 3u 2 du  2 gr 3  u 2 du
1
 u3 
 1 1 
F 'z  2 gr    2 gr 3   
 3 3
 3  1
3
4
F 'z   r 3  g
3
5. Conclusion : poussée d’Archimède
La force pressante horizontale est nulle ainsi que la force pressante résultante due au terme
constant B. Donc nous venons de calculer la poussée d’Archimède :
4
F  F 'z k   r 3  gk
3
4
F    r 3  g   Vsphère g  mliquide déplacé g   P fluide déplacé
3
La poussée d’Archimède est l’opposée du poids du fluide déplacé. C.Q.F.D. !
Remarque : si on enlève toutes les explications ces pages se résument à 7 ou 8 lignes de calcul,
environ une demi-page.