Juin 2010

Modélisation et analyse des systèmes
Examen
Durée: 4h. Une feuille par question.
Calculatrices et GSM doivent être éteints.
7 juin 2010
Question 1
Résoudre la question A ou la question B au choix.
A. Soient deux populations différentes qui se partagent un même territoire : un groupe de zombies et un groupe d’êtres humains “normaux” (non zombies). Il est bien connu que lorsqu’un
zombie touche un être humain, ce dernier se transforme en zombie. Par ailleurs, la panique
provoquée dans le camp des humains par la présence des zombies crée un rapprochement
entre les humains, rapprochement propice à la reproduction (les zombies, quant à eux, ne
peuvent pas se reproduire entre eux).
On demande de modéliser l’évolution au cours du temps de ces deux populations. Pour cela,
on considère que lors de chaque nuit n, on procède au décompte des deux populations. La
densité d’êtres humains (nombre d’humains au km2 ) est notée h et celle des zombies z. Le
taux de naissances humaines est proportionnel à la densité de ce groupe avec un facteur
de proportion α. Le nombre de nouveaux zombies (humains infectés) est proportionnel au
produit des densités de zombies et d’humains, avec un facteur de proportion β. Les zombies
ne possédant pas de maisons, on suppose qu’une fraction σ d’entre eux meurt chaque jour.
La sortie y[n] du système est donnée par le rapport de la densité d’humains sur celle des
zombies. On considère que la superficie du territoire occupé par ces populations ne varie
pas au cours du temps.
1. Dans un premier temps, on considère qu’il n’y a pas d’entrée (u = 0). Ecrire le modèle
d’état du système.
2. Préciser le domaine et l’image des signaux.
3. Montrer que le modèle d’état est non-linéaire. Identifier et justifier les hypothèses de
modélisation à la source des non-linéarités.
4. Montrer que le modèle d’état est temps-invariant et formuler une hypothèse qui rendrait
le modèle d’état temps-variant.
5. On rajoute une entrée qui modélise l’effet d’un vaccin anti-zombie (empêchant les humains de devenir zombies). L’entrée u[n] est le nombre d’humains au km2 qu’on est
capable de vacciner la nuit n. Comment doit-on modifier le modèle d’état dans le cas où
(a) le vaccin agit directement ?
(b) il faut 3 jours au vaccin pour être efficace ?
1
B. Soit le circuit électrique représenté ci-dessous. L’entrée u du système est la tension au
générateur et la sortie y est le courant traversant la résistance.
L1
u
∼
y
R
C2
L2
C1
1. Etablir le modèle d’état du système en choisissant pour variables d’état les courants
traversant les inductances et les différences de potentiel aux bornes des condensateurs.
On veillera à adopter le sens conventionnel indiqué par les flèches de la figure.
2. Justifier le choix des variables d’état.
3. Dans le cas limite où la résistance R devient infinie, montrer que le déterminant de la
matrice sI − A est de la forme
det(sI − A) = s2 + ω12 s2 + ω22 .
Identifier ω1 et ω2 . Pour cette situation, esquisser l’évolution temporelle de la tension
aux bornes des deux condensateurs lorsque l’entrée est nulle et qu’ils sont initialement
chargés. Justifier physiquement.
4. Ecrire les équations d’état du système lorsqu’on remplace la résistance R par une diode
tunnel dont la caractéristique iR = h(vR ) est donnée par le graphe suivant :
iR(mA)
1
0
v*R
vR (V)
5. Pour ce système modifié, quelle propriété est perdue par rapport au système initial ? Sous
quelle(s) hypothèse(s) peut-on néanmoins utiliser les outils de la théorie des systèmes LTI
pour étudier ce système ?
2
Question 2
Considérer le système illustré à la figure (a) où la boite “compensateur” est un système LTI
en temps continu.
U (s)
20 log (|H (jω)|)
Compensateur
0 dB
20 dB/dec
V (s)
−40 dB/dec
1
s+50
Y (s)
10
(a)
50
1000
ω
(b)
On désire réaliser un compensateur de manière à ce que la réponse fréquentielle du système
global ait l’allure représentée à la figure (b).
1. Tracer les diagrammes d’amplitude H1 (jω) =
Y (jω)
V (jω)
et H2 (jω) =
V (jω)
U (jω) .
2. Donner une fonction de transfert H2 (s) satisfaisante pour le compensateur.
3. Tracer le diagramme de phase de la fonction de transfert H2 (s) choisie au point 2.
4. Réaliser le compensateur sous la forme d’un bloc-diagramme contenant un nombre minimal
d’intégrateurs.
5. Etablir une représentation d’état du compensateur.
Question 3
Soit l’interconnexion des trois systèmes LTI, illustrée ci-dessous.
u(t)
+
h1 (t)
h3 (t)
y(t)
−
h2 (t)
1. Exprimer la réponse impulsionnelle globale h(t) en fonction des réponses impulsionnelles
h1 (t), h2 (t) et h3 (t) de chaque sous-système. Idem pour la réponse fréquentielle H(jω).
2. On considère les réponses impulsionnelles suivantes :
d sin ωc t
2π
h1 (t) =
,
h3 (t) = δ (t) .
,
h2 (t) = δ t −
dt
2πt
ωc
(a) Déterminer et tracer H1 (jω), H2 (jω) et H3 (jω).
(b) Déterminer la réponse fréquentielle H(jω) du système global.
(c) Exprimer la sortie y(t) du système global à l’entrée u(t) = sin(2ωc t) + cos(ωc t/2).
3. Le troisième bloc est remplacé par un système LTI stable qui n’est ni causal ni anti-causal.
(a) Choisir un bloc 3 respectant ces nouvelles conditions.
(b) Déterminer et tracer ses réponses impulsionnelle h3 (t) et fréquentielle H3 (jω).
(c) Exprimer la nouvelle sortie y(t) du système global à la même entrée qu’au point 2(c).
3
Question 4
La formule d’interpolation idéale
x̃1 =
+∞
X
n=−∞
sinc
t − nT
T
x[n]
(1)
et la formule d’interpolation linéaire
x̃2 =
+∞
X
triangle(t − nT ) x[n]
où
n=−∞
triangle(t) =
1 − |t/T |, |t| < T
0,
sinon
(2)
associent des signaux en temps continu x̃i (·) : R → R (i = 1, 2) à un signal en temps discret
x[·] : Z → R, lui même obtenu par échantillonnage d’un signal continu x(·), soit x[n] , x(nT ).
1. Ces deux formules peuvent être interprétées comme la convolution x̃i = hi ∗ ui de deux
signaux en temps continu (i = 1, 2) : le signal échantillonné et un “filtre d’interpolation”.
Pour chaque formule, quels sont ces deux signaux ?
2. Sous quelle hypothèse la formule (1) est-elle exacte, c’est-à-dire x̃1 (t) ≡ x(t) ? Justifier.
3. Expliquer comment comparer ces deux formules d’interpolation.
Suggestion : Utiliser la réponse du point 1.
Bon travail !
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