Première ES Cours suites numériques 1 I Généralités sur les suites

Première ES
Cours suites numériques
I Généralités sur les suites
Généralités
Définition :
Une suite u de nombres réels est une fonction dont la variable est un entier naturel.
L’image par u d’un entier naturel n est notée un et se lit « u indice n ».
un est le terme général de la suite.
Modes de générations de suites
Définition :
Une suite peut être définie :
 à partir d’une fonction f de la variable n : un = f(n).
 à partir d’une relation de récurrence : (un) est alors définie par son premier terme et
une relation permettant de calculer un terme à partir d’un ou plusieurs termes
précédents.
Exemples :
1) Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn = n² + 2n + 5.
vn = f(n) avec f(x) = x² + 2x + 5
v0 = f(0) = 0² + 20 + 5 = 5
v1 = f(1) = 1² + 21 + 5 = 8
v100 = 100² + 2100 + 5 = 10 205.
2) Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, par la relation :
un+1 = 3un + 1.
u1 = 3u0 + 1 = 31 + 1 = 4
u2 = 34 + 1 = 13
u3 = 313 + 1 = 40.
Avec un tableur :
Pour la suite (un) définie ci-dessus, on écrit le premier terme dans la
cellule B2, on entre la formule = 3*B2 + 1 dans la cellule B3, puis on
recopie vers le bas.
Exemple d’algorithme permettant de calculer des termes d’une suite
Soit (un) la suite définie par u0 = A et un+1 = 2un - 1 pour n  .
L’algorithme suivant permet d’obtenir le terme de rang N de la suite (un).
Saisir A
Saisir N
U prend la valeur A
Pour I variant de 1 à N
U prend la valeur 2*U – 1
Fin Pour
Afficher U
La valeur de u0 est entrée dans la variable A.
La valeur de A est entrée dans la variable U.
On calcule les termes de rang 1, 2, 3, … N à
l’aide d’une boucle Pour et de la relation de
récurrence.
A la sortie de la boucle, on affiche le terme
de rang N.
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Représentation graphique d’une suite
On peut placer les points de coordonnées An(n ; un) dans un repère (O ; I, J) du plan.
Exemple : représentation graphique des premiers termes de la suite (un), définie pour tout
entier naturel n par un = -n² + 5n + 3.
Comme u0 = 3, u1 = 7, u2 = 9, u3 = 9, u4 = 7, u5 = 3, u6
= -3……, on obtient les points :
A0(0 ;3), A1(1 ;7) ; A2(2 ;9) ; A3(3 ;9), A4(4 ;7) ;
A5(5 ;3), A6(6 ;-3).
II Sens de variation d’une suite
Définitions
Définitions :




La suite u est croissante si, pour tout n, un+1  un.
La suite u est décroissante si, pour tout n, un+1  un.
La suite u est constante si, pour tout n, un+1 = un.
Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante.
Exemples :
 La suite des entiers naturels pairs (0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; ….) est une suite croissante et
donc monotone.
 La suite des décimales de  (1 ;4 ;1 ;5 ;9 ;2 ;….) n’est pas monotone.
Remarque :
Lorsque la suite u est définie par une relation un = f(n), où f est une fonction monotone sur
[0 ; + [, la suite u est aussi monotone et a le même sens de variation que f.
III Les suites arithmétiques
Définition :
Une suite (un) est dite arithmétique lorsque chaque terme se déduit du précédent en
ajoutant une constante r, appelée raison.
Pour tout entier naturel n, on a un+1 = un + r.
Exemples :
 La suite arithmétique de premier terme -3 et de raison 3 a pour termes :
-3 ; 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; …..
 La suite des entiers naturels est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1.
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Propriété :
Le terme général d’une suite arithmétique u de premier terme u0 et de raison r est :
un = u0 + nr
Exemple :
Si (un) est la suite arithmétique de raison -2 et de premier terme u0 =
entier naturel n, un =
1
alors, pour tout
2
1
- 2n.
2
Propriétés :


Soit (un) une suite. S’il existe deux réels a et b, tels que pour tout entier naturel n, un =
an + b, alors la suite (un) est arithmétique de raison a et de premier terme b.
Les points An(n ;un) sont alignés si, et seulement si, la suite (un) est arithmétique.
Exemple :
La suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = 3n – 2 est
arithmétique de raison 3 et de premier terme u0 = -2.
Les points An(n ;un) appartiennent à la droite d’équation y = 3x – 2.
Propriété :
Pour une suite arithmétique (un), la variation absolue un+1 – un est constante.
Définition :
La variation absolue d’une suite arithmétique étant constante, on dit que l’évolution est
linéaire.
Exemples :
un = 9 – 3n : la variation absolue est
constante et négative.
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vn = -2 + 2n : la variation absolue est
constante et positive.
Sens de variation des suites arithmétiques
Propriétés :
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
 Si r > 0, la suite (un) est croissante.
 Si r < 0, la suite (un) est décroissante.
 Si r = 0, la suite (un) est constante.
Exemples :
 La suite arithmétique (un) de premier terme -5 et de raison 4 est croissante car sa
raison 4 est strictement positive.
 La suite arithmétique (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = -3n + 5 est
décroissante car (vn) est arithmétique de raison -3 strictement négative.
III Les suites géométriques
Définition :
Une suite (un) est dite géométrique lorsque chaque terme se déduit du précédent en le
multipliant par une constante q, appelée la raison.
Pour tout entier naturel n, un+1 = qun.
Exemples :
 La suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison 2 a pour premiers termes :
1 ;2 ;4 ;8 ;16….
1
 La suite géométrique de premier terme u0 = 3 et de raison a pour premiers termes :
2
3 3 3 3
3 ; ; ; ; ….
2 4 8 16
Propriété :
Le terme général d’une suite géométrique u de raison q et de premier terme u0 est :
un = u0qn.
Exemple :
Si (un) est la suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison q = 3, alors pour tout
entier naturel n, un = 23n.
Propriété :
Soit (un) une suite. S’il existe deux réels a et b, a strictement positif, tels que pour tout
entier naturel n, un = ban alors la suite (un) est géométrique de raison a et de premier terme
b.
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Exemple :
La suite (un) définie pour tout entier naturel n, par vn = 201,06n est géométrique de raison
1,06 et de premier terme u0 = 20.
vn
Propriété :
Si (un) est une suite géométrique ne s’annulant pas, alors la variation relative
vn+1 – vn
est
vn
constante.
Définition :
La variation relative d’une suite géométrique étant constante, on dit que l’évolution est
exponentielle.
Exemples :
un = 2n
vn =
1
3n
Sens de variation des suites géométriques
Propriétés :
Soit q un réel strictement positif.
 Si q > 1, la suite géométrique de terme général qn est croissante.
 Si q = 1, la suite géométrique de terme général qn est constante.
 Si 0 < q < 1, la suite géométrique de terme général qn est décroissante.
Exemples :
 Les suites géométriques de terme général
1,5n ; 2n ; 5n sont croissantes.
 Les suites géométriques de terme général
3n
1
  ; 0,6n ; n sont décroissantes.
2
7
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