Études et Dossiers - The Geneva Association

International Association for the
Study of Insurance Economics
Études et Dossiers
Extract from
Etudes et Dossiers No. 104
Regulation and Tariffing of
Automobile Insurance
11 - 12 June 1985
Paris
October 1986
Working Paper Series of
The Geneva Association
© Association Internationale pour l'Etude de l'Economie de l'Assurance
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© The Geneva Association - Association Internationale pour l'Etude de l'Economie de l'Assurance
LES
-
CLAUSES DE BONUS-MALUS EN EUROPE OCCIDENTALE
par
Emmanuel HUSSON
(ENSAE)
INTRODUCTION
La plupart des pays europgens ont dgsormais adopt6 le principe
des clauses de bonus-malus dans la tarification de l'assurance automobile.
Les clauses d6jB mises en place sont assez diverses et seule une dgmarche
empirique peut permettre une Qtude comparative de leurs caractgristiques.
La section I sera consacrse B une description des systsmes de bonus-malus
d'une dizaine de pays europ6ens ; la section 2 d6crira un modsle de simulation desting 2 studier numgriquement l'gquilibre des clauses, ainsi que
la sQparation et la pgnalisation des risques individuels diffgrents ; la
dernisre section donnera les rssultats de ce modele pour les pays Etudigs.
I . DESCRIPTION DES CLAUSES DE EONUS-MALUS EN EUROPE OCCIDENTALE
La d e s c r i p t i o n p o r t e r a s u r onze pays europ6ens q u i o n t mis e n
p l a c e d e s c l a u s e s de bonus-malus
1)
.
On c l a s s e r a c e s pays e n 4 groupes
pour l e s q u e l s l e s s t r u c t u r e s d e s c l a u s e s s o n t a s s e z v o i s i n e s :
-
Espagne, GrPce, Turquie.
- Belgique, Grand Duch6 du Luxembourg, SuPde, S u i s s e , Royaume-Uni.
- RFA, I t a l i e ,
- France.
1.1.
Espagne, Grsce, I t a l i e
Ces t r o i s pays o n t a d o p t s un systsme t r P s s i m p l e s a n s malus
e t avec un p e t i t nombre de c l a s s e s d e bonus ( e n t r e 3 e t 5 ) . A chaque ann6e
s a n s s i n i s t r e r e s p o n s a b l e , l e bonus augmente jusqu'2 un bonus maximal
a t t e i n t au bout de 4 ou 5 ans s a n s s i n i s t r e ; dPs qu'un s i n i s t r e e s t d6cla6 , l a p e r t e du bonus e s t t o t a l e e t on r e v i e n t a u t a r i f de base (quel que
s o i t l e bonus a t t e i n t e t quel que s o i t l e nornbre de s i n i s t r e s pour l ' a n n g e
en q u e s t i o n ) .
Le t a b l e a u c i - d e s s o u s donne pour c e s t r o i s pays l e bonus c o n s e n t i
s e l o n l a d u r s e de l a p 6 r i o d e s a n s s i n i s t r e :
I):
Comits EuropEen des Assurances : Groupe de T r a v a i l "Automobile",
"Mise 2 j o u r de l ' s t u d e s u r les d i f f 6 r e n t e s s t r u c t u r e s t a r i f a i r e s
p r a t i q u 6 e e n Europe O c c i d e n t a l e e n Assurance R.C automobile".
ESFAGNK
GRECE
sans s i n i s t r e
TURQUIE
15%
10%
AprPs 3 ans
20%
30%
AprPs ir a n s
30%
40%
AprGs 5 ans
I
I
1
I
I
I
25%
I
35%
I
/
1.2. Belgique, Luxembourg, SuPde, S u i s s e e t Royaume-Uni
Ces pays d i s p o s e n t d'une 6 c h e l l e p l u s l a r g e de c l a s s e s de bonus
e t de malus ( e n t r e 7 c l a s s e s pour l a SuPde e t 22 pour l a S u i s s e ) . Les
r g g l e s de passaze c n t r e ces c l a s s e s s o n t trCs s i m p l e s : une annGe sans
s i n i s t r e augmente l e bonus d'une c l a s s e e t chaque s i n i s t r e l e diminue de
deux ou t r o i s c l a s s e s s e l o n l e s pays.
a ) La Belgique
L ' s c h e l l e des c l a s s e s de bonus-malus possPde I8 degrgs a l l a n t de
60% 2 200% de l a prime de b a s e :
Niveau de prime par r a p p o r t 2 l a prime de b a s e
Le premier c o n t r a t e s t s o u s c r i t au n i v e a u de l a prime d e b a s e
(niveau 1 0 ) ; l e s dsplacements s ' o p g r e n t s e l o n l e mgcanisme s u i v a n t :
- pour chaque annge s a n s s i n i s t r e , o n descend d ' u n degrg (mais
jamais e n dessous du n i v e a u 1 correspondant B un bonus de 40%).
- pour chaque annge d ' a s s u r a n c e comportant un
ou p l u s i e u r s s i n i s t r e s ,
on monte de deux degrgs pour l e premier s i n i s t r e e t de t r o i s
d e g r e s pour chacun des s i n i s t r e s s u i v a n t s
(dans l a l i m i t e du
degrg 18 c o r r e s p o n d a n t B un malus d e 100%).
De plus, l'assur6 qui n'a pas eu de sinistre pendant 4 anners
cons6cutives et qui malgr6 cela se trouve toujours 2 un degr6 sup6rieur 2
10 est automatiquemer.: ramen6 au degr6 de base 10. (par clause de retour
rapide)
.
b) Le Grand Duch6 de Luxembourg
Le systsme de bonus-malus ressemble fortement au systgme belge
d6crit ci-dessus, i l comporte 16 classes allant de 70% 2 200 Z de la prime
de base.
Kiveau de prime par rapport 5 la prime de base
TARIF DE BASE
BONUS
Chaque annge s a n s s i n i s t r e e n t r a i n e une d e s c e n t e d ' u n degr6 s u r
l l & c h e l l e bonus-malus e t chaque s i n i s t r e e n t r a i n e l a montGe de deux
d e g r 6 s s u r c e t t e mzme G c h e l l e .
De p l u s , un c l a u s e d e r e t o u r r a p i d e en 4 ans ( i d e n t i q u e 2 c e l l e
d e l a B e l g i q u e ) , ramsne au n i v e a u 7 un a s s u r e n ' a y a n t pas eu de s i n i s t r e
pendant 4 ann6es consBcutives e t s e trouvanr malgr6 c e l a a u d e l 2 du
degr6 7 .
Le systgme s u d d o i s ne possSde p a s de malus. I1 e s t b a s 6 s u r une
S c h e l l e de 7 c l a s s e s d e bonus a l l a n t d e 25% 2 100Z de l a prime de b a s e e t
f o n c t i o n n e c o m e l e s pr6cGdents : chaque an11i.e s a n s s i n i s t r e c n t r a T n r une
d e s c e n t e 2 un d e g r e e t chaque s i n i s t r e une mont6e de deux degrGs. Ce
systsme e s t p r e s q u e S q u i v a l e n t 2 une Gchelle a l l a n t de 50% 2 200% d'une
prime de b a s e deux f o i x p l u s f a i b l e ; l a s e u l e d i f f S r e n c e r 6 s i d e dans une
f o r t e p 6 n a l i s a t i o n d e s jeunes c o n d u c t e u r s q u i sonc ob1igi.s d e s ' a s s u r e r
au t a r i f maximal l a p r e m i s r e ann6e.
C l a s s e s de Bonus
Niveau de l a Prime
7
1004
6
80%
5
70%
4
60Z
3
50%
2
40%
1
25%
Pour pouvoir b 6 n 6 f i c i e r de l a c l a s s e I , il est t o u j o u r s e x i g c
que l ' a s s u r g n ' a i t pas eu d ' a c c i d e n t pendant l e s s i x d e r n i s r e s ann6es
d'assurance.
d) La S u i s s e
Le systgme s u i s s e r e p o s e s u r 22 c l a s s e s d e bonus-malus a l l a n t de
50% 2 270% d e l a prime de b a s e . Chaque annge s a n s s i n i s t r e entaTne une
t r o i s degrgs ( c e t t e
d e s c e n t e d ' u n degrC e t chaque s i n i s t r e une mont6e de p g n a l i s a t i o n p l u s f o r t e d e s s i n i s t r e s e s t s a n s doute lice 2 une s i n i s t r a l i t 6 moyenne beaucoup p l u s f a i b l e e n S u i s s e que dans les a u t r e s pays europ6ens).
C l a s s e s d e bonus
Niveau d e prime
MALUS
PRIME DE BASE
BONUS
e) Royaume
-
Uni
I1 n'existe pas de systPme de bonus-malus unique dans ce pays,
les assureurs n'y ayant pas adopt6 une tarification unifi6e. I1 existe en
g6n6ral un systPme de ristourne dont le taux, variable selon les compagnies, n'excPde pas 65% mais il n'existe pas de barsme de malus (come
c'est le cas de la SuPde les jeunes conducteurs sont donc fortement
p6nalis6s).
Un seul sinistre provoque le recul d'un ou deux dchelons dans le
barZme des ristournes mais deux sinistres survenus la mZme annee impliquent la perte de tout bonus et le retour 2 la prime de base.
1.3.
Italie, Allemagne de l'0uest
Ces pays ont des systPmes qui reposent sur une Gchelle de
classrs de bonus-malus mais les rGgles de transitions y sont un pru moins
simples : les effets d'une ann6e sans sinistre ou d'une ann6e avec sinistre(s) ne sont plus les mzmes suivant le degrg de 116chelle oii l'on se
trouve
.
a) Italie
Le barZme comprend 9 classes allant de 55% 2 183% d'une tarif
de base.
Classes de bonus
Niveau de Prime
183%
158%
136%
MALUS
TARIF DE BASE
BONUS
I
L'avance ou le recul sur cette 6chelle de bonus-malus sont
d6finis par le tableau suivant :
Classes de bonus
-
Classes de bonus de la pQriode suivante selon le
nombre de sinistres observQs
0 sinistre
I
I
2
I sinistre 2 sinistres 3 sinistres 4 sinistres
et plus
3
4
5
1
4
5
6
3
3
5
6
7
4
3
6
7
8
5
4
7
8
9
6
5
8
9
9
7
5
8
9
9
8
6
9
9
9
9
7
9
9
9
7
8
Une annee sans accident augrnente lebonus d'un degr6 et mZme de
deux degrQs si la prime payQe Qtait QlevQe (au dessus
de 36% de malus).
De mZme la pQnalisation dCe aux sinistres est d'autant plus faible que le
malus est d6j2 6lev6; on arrive au paradoxe suivant : un assurQ payant
le malus maximal ( 8 3 % ) et ayant un seul accident dans l'ann6e verra son
malus diminuer ( 5 8 % ) . Pour qu'il reste au malus maximal de la classe 9,
il faut qu'il ait au moins deux sinistres dans l'annce.
Dans tous les cas, llassurQ ne pert au maximum qu'un degr6 par
sinistre. S'il a un accident, il lui faudra donc au maximum une annQe
sans sinistre pour retrouver son niveau de tarif initial (il en fallait
3 5 un assurc suisse mais les automobilistes suisses et italiens n'ont
sans doute pas exactement les comportements au volant).
Le systsme de bonus-malus par le contrats d'assurance en R.C.
automobile est bas6 sur une Schelle de 7 classes de bonus et de 5 classes
de malus allant de 40% B 200% de la prime de base :
Echelle de Bonus :
Durge de la p6riode ininterrompue
sans sinitre
Classe de bonus
Taux de prime
10 ans et plus
9 2 8 ans
5 ans
4 ans
3 ans
2 ans
1 an
Le premier contrat est souscrit 5 1'6chelon 0 de 116chelle
suivante :
Classe de Malus
SF 112
Taux de Prime
125%
Les r e c u l s de c l a s s e e n c a s de s i n i s t r e s o n t r6glement6s p a r
l e tableau ci-dessous
:
C l a s s e s de bonus de l a p 6 r i o d e s u i v a n t e s e l o n l e nombre
de s i n i s t r e s observ6s
Classes de
bonus-malus
I sinistre
1.4
2 sinistres
3 sinistres
4 s i n i s t r e s ou p l u s
SF 9
SF 2
SF I
S 3
SF 4
SF 2
SF 1
S 3
SF 3
SF 2
SF 1
S 3
France
a ) L ' a n c i e n systPme
Ce systsme a 6 t 6 m i s
e n p l a c e e n 1976 e t repose s u r l e s carac-
tgristiques suivantes :
-
chaque ann6e s a n s s i n i s t r e e n t r a i n e un bonus de 10% l e s deux
p r e m i s r e s annces e t de 5% e n s u i t e , l a prime d e v a n t t o u j o u r s r e s t e r
au-dessus
de 50% de l a prime de base. Ce bonus maximal e s t donc
a t t e i n t a p r s s 8 annges s a n s s i n i s t r e 2 p a r t i r d e l a prime de b a s e .
-
l e malus depend du nombre d ' a c c i d e n t s d e c l a r e s dans l ' a n n e e du
c o n t r a t : 10% pour un s i n i s t r e , 40% pour deux, 100 % pour t r o i s
e t 100% de p l u s pour chaque s i n i s t r e s u p p l e m e n t a i r e . Une c l a u s e d e
r e t o u r r a p i d e p r 6 v o i t l e r e t o u r 2 l a prime de base d ' u n a s s u r e
n'ayant s u aucun s i n i s t r e pendant deux annSes cons5cutives e t
S t a n t malgrS c e l a a u d e s s u s de l a prime d e base.
b ) Le nouveau systPme
Ce nouveau systeme mis en p l a c e 2 p a r t i r de 1984 e s t l e s e u l
systPme e n Europe 2 n e pas r e p o s e r s u r une 6 c h e l l e de c l a s s e s de bonusmalus. I1 respose s u r un systPme m u l t i p l i c a t i f e t non plus a d d i t i f .
- chaque annSe s a n s s i n i s t r e e n t r a i n e une r e d u c t i o n p r o p o r t i o n n e l l e
de 5% de l a prime p r e c & d e n t e ( l a n o u v e l l e prime e s t & g a l e au
p r o d u i t de l ' a n c i e n n e p a r 0 . 9 5 ) . La prime ne d o i t cependant pas
descendre e n dessous d e 50% d e l a prime d e base. I1 f a u t donc
maintenant 13 ann6es s a n s s i n i s t r e pour a t t e i n d r e l e bonus maximal.
- chaque s i n i s t r e e n t r a i n e un malus p r o p o r t i o n n e l de 25% ( s i i l y a
eu n s i n i s t r e s dans 1 1 a n n 6 e , l a n o u v e l l e prime e s t i g a l e au pron
d u i t de l ' a n c i e n n e p a r ( 1 . 2 5 ) ) . La prime ne d o i t cependant pas
depasser 350% de l a prime de b a s e .
La m$me c l a u s e d e r e t o u r r a p i d e p e r v o i t l a retombSe au niveau
de l a prime de base a p r P s deux annges s a n s s i n i t r e .
Enfin, dans l e c a s d e t o r t s p a r t a g e s , l e malus
est
partag6
e n t r e l e s deux a s s u r 6 s impliqu6s a l o r s que dans l ' a n c i e n systsme, i l s
s u b i s s a i e n t t o u s l e s deux un malus e n t i e r .
1 . 5 . Quelques 616nents de comparaison
Avant d'aborder la simulation nurngrique, un simple examen de
ces diff6rentes clauses peut dSj2 fournir quelques GlSments de cornparaison.
Une premisre indication sur la s6lectivitG de ces clauses peut Etre fournie
par lt6tendue de la gamme de tarifs qu'elles impliquent. Pour chaque pays
on effectue le rapport de la prime maximale sur la prime minimale et on
les classe suivant ce critsre simple.
Prime minimale
Prime maximale
Etendue de la ganme
tarifaire
Espagne
70%
100%
1.
43
Turquie
65%
100%
1.
54
GrSce
50%
100%
2.
Luxembourg
70%
200%
2. 86
Italie
55%
183%
3 . 33
Belgique
60%
200%
3 . 33
SuSde
25%
100%
4.
R.F.A.
40%
200%
5.
Suisse
50%
270%
5.4
France 1984
50%
350%
7.
1
I
L
Les trois pays poss6dant les clauses de bonus les plus simples
ont des gammes de tarifs trSs peu larges. On trouve ensuite des games
variant entre 3 et 5 pour les systsmes reposnnt sur une 6chelle de classes
de bonus-malus. La France a une gamme nettement plus large que les autres.
I1 faut cependant noter l'impact psychologique dssastreux des malus trop
6levSs : peu d'automobilistes acceptent en effet de payer des primes sup&-
rieures 2 trois fois la prime de base et les assureurs franfais ont
certaines difficultes i recouvrer les primes trop elevges !
(Les compa-
gnies d'assurances peuvent neanmoins fvincer les trop mauvais conducteurs).
I1 serait trPs intfressant de connaTtre la rgpartition effective des assures de chaque pays selon leur niveau de bonus, ce qui fournirait des idees plus precises sur le fonctionnement rEel de ces clauses.
En l'absence de telles donnees on peut regarder la duree ngcessaire
d'assurance sans sinistre pour arriver au bonus maximal 2 partir de la
prime de base :
1
I
i
Espagne
4 ans
Turquie
4 ans
GrSce
5 ans
Italie
4 ans
Luxembourg
6 ans
SuSde
6 ans
Belgique
9 ans
Suisse
9 ans
R.F.A.
10 ans
France
1976
8 ans
France
1984
13 ans
Cette duree varie donc de 4 2 13 ans selon les pays et selon
les types de clauses en vigueur. Le temps n6cessaire pour retrouver son
niveau initial aprSs un accident est lui aussi trPs variable. Pour un
assure espagnol, turc, grec ou allemand, ce temps depend du niveau de
bonus precgdent. Pour un italien, il suffit d'une annee sans sinistre
aprPs un accident pour retrouver un bonus au moins egal au precedent
alors qu'il en faut deux pour un assur; belpe, susdois ou luxembourgeois.
Les barcmes les plus sfvPres sont donc les barcmes suisses et franqais :
3 ans pour l a S u i s s e e t e n t r e 4 e t 5 arls pour l a France
4
( 0 . 9 5 ~x 1 . 2 5 < 1 < 0.95 x 1.25). En f a i t , pour un a s s u r 6 f r a n ~ a i s
n ' a y a n t p a s d e bonus, c e temps e s t ramen6 2 2 ans g r z c e 2 l a c l a u s e de
retour rapide.
11. UN XODELE DE SIMULATION
2.1.
But du nodele
Pour pousser plus avant la comparaison des clauses de bonus-malus, le simple examen des rsglementations en vigueur devient insuffisant
si l'on souhaite des rgsultats numgriques prscis. On souhaite en particulier rGpondre aux questions suivantes :
- Les clauses de bonus-malus sont-elles gquilibrges
Autrement dit, les rabais accord&
?
par une compagnie 3. ses bons
conducteurs (bonus) sont-ils compens6s par les pGnalit6s imposges
aux mauvais conducteurs (malus) ? En effet, si le taux moyen de
bonus-malus de sa clientele est nettement infErieur 2 I , une
conpagnie devra relever sa prime de rgfgrence pour maintenir un
niveau de recettes suffisant pour son gquilibre financier. La
rGponse 2 une telle question exige bien evidement une bonne
connaissance des lois statistiques de la sinistralitg dans chaque
pays.
- Coment les mauvais conducteurs sont-ils p6nalisGs
?
La simple lecture des clauses montre que les assurgs dsclarant
frgquemment des sinistres ne sont pas pgnalisgs de la mzme facon
dans tous les pays. On cherchera 3. mesurer avec prgcision ces
diffgrences et 3. voir quels types de clsuses Gtablissent des
Gcarts tarifaires importants entre les assurgs 2 bas et 2 hauts
risques.
- Y-a-t-il sCparation des risques
? En d'autres termes, deux assu-
r&s de risques diffgrents auront-ils un &art
de tarif significatif ?
Nous verrons ainsi dans quelle mesure des systgmes de bonus-malus
peuvent apporter une rGponse satisfaisante au problsme de sglection
qui se pose 2 l'assureur. En effet, le risque individuel est en
partie inobservable par l'assureur, la frgquence empirique des
sinistres responsables fournit une information sur ce risque et
les clauses de bonus-malus sont le seul moyen de le rgintroduire
dans la tarification.
On cherchera ii construire un modsle adaptable ii diffGrents
systsnes de bonus-malus pour pouvoir comparer leur efficacitg notamment
sur les questions ci-dessus. L'approche thsorique statistique ne permet
pas de crger un tel modsle. En effet, mZme si l'on connaTt exactement les
lois de survenance des sinistres, les clauses de bonus-malus sont trop
compliquGes pour que l'on puisse calculer par simple convolution les lois
des taux moyens de bonus-malus. Seule une approche empirique par simulation numgrique peut nous Ztre utile ici. De plus, c'est la seule methode
imgdiatement transposable 2 differents systsmes de clauses.
a) Survenance des sinistres
Pour chaque individu, on suppose que le nombre des sinistres
responsables survenus dans une ann6e suit une loi de Poisson de paramstre
F. Ce paramstre reprGsente donc le risque individuel de l'assurg et sa
valeur est 11esp6rance du nombre des sinistres survenus dans une annge.
La repartition des paramstres F au sein d'une population dlassurGs est
ensuite dGcrite par une loi de Pearson-I11 dont on estime les coefficients par une mGthode de maximum de vraisemblance (modsle binomial
negatif).
Pour chaque individu, on tirera aleatoirement suivant une loi
de Poisson son nombre de sinistres survenus par chaque annee d'assurance;
connaissant les clauses de bonus-malus auxquelles il est soumis on pourra
alors calculer son taux de reduction ou de majoration ii chaque psriode.
On s'intgressera tout d'abord 2 des 6chantillons d'invidus
de mZme para-
metre F et 2 1'6volution temporelle des repartitions des taux de bonusmalus au sein de ces gchantillons. En particulier, le calcul des moyennes
et des &arts-types
des taux de bonus-malus de deux Gchantillons de para-
metres distincts permettra d'etudier la separation des risques.
La variation des taux moyens en fonction des risques individuels montrera
comment les clauses pgnalisent les mauvais conducteurs et la convolution
de ces taux moyens avec les lois de rgpartition des paramgtres de risque
pemettra
d'gtudier llGquilibre des clauses de bonus-malus.
b) Les variables Gtudiges
Pour un Gchantillo~~
d'assurgs de msme frgquence F on notera
NA
Le nombre d'annges,
PR(1,J)
Le taux de bonus-malus de l'individu I pour llannGe J
TX(J)
=
NG
I:
I= I
I
SG
EC(J)
=
[-
PR(1,J)
Le taux moyen de l'gchantillon pour
l'annGe J
NG
1
(PR(1,J) - TX(J))
C
1
2 1 2
1=1
XG
:
L'gcart type de la repartition.
des primes de l'annse J.
De plus, le calcul des moyennes intertemporelles est indispensable 2 l'gtude de lf6quilibre des clauses. Considgrons en effet une population stable dont les individus s'assurent 2 20 ans et meurent 2 70 ans
:
Si les effectifs des tranches d'8ge sont Ggaux, la moyenne intertemporelle
des taux de bonus-malus permet alors d'estimer le taux moyen de rgduction
ou de majoration consenti par u n assureur 2 son portefeuille dfassur6s
(la connaissance prGcise du portefeuille d'une compagnie permettrait
d'affiner les rgponses en pondgrant diffgremment cette moyenne et en partant d'une distribution d6j2 observge de taux de bonus-malus).
On calcul~~ra
donc :
. PR(1)
=
1
NA
1
. TAUX (F) = -
NG
Pj A
2
PR (1,J)
le taux moyen intertemporel de l'individu I
J=l
h'G
Z
I=l
PR(I)
=
I
-
NA
NA
J=1
11
TX(J)
le taux moyen intertemporel
de llGchantillon
. ECTYP ( F )
=
[-
I
NG
N G
Z (PR(1)
I
-
TAUX(F));
7
I
-2
1=1
l ' g c a r t type de l a d i s t r i b u t i o n
des t a u x moyens i n d i v i d u e l s
c ) Quelques e f f e t s non p r i s e n compte
Avant d ' e x p o s e r l e s r G s u l t a t s numgriques, i l e s t s o u h a i t a b l e
de s o u l i g n e r quelques e f f e t s d e s c l a u s e s de bonus-malus
q u i ne s o n t pas
p r i s e n compte dans c e modcle.
-
La r s t e n t i o n de s i n i s t r e s : En c a s de p e t i t s i n i s t r e , un a s s u r g
p e u t a v o i r i n t E r Z t 2 ne pas d g c l a r e r s o n a c c i d e n t s i l e coGt d e s
r g p a r a t i o n s e s t i n f g r i e u r aux montant des malus q u ' i l s u b i r a l e s
annEes s u i v a n t e s . C e t t e r g t e n t i o n des p e t i t s
s i n i s t r e s ne s e t r a -
d u i t pas p a r une r s d u c t i o n uniforme de l a s i n i s t r a l i t g . En e f f e t ,
l e c h o i x d ' u n a s s u r E ( d s c l a r a t i o n ou r s t e n t i o n ) p e u t Z t r e d i f f g r e n t s e l o n l e niveau d e bonus a t t e i n t e t s e l o n l a n a t u r e des
c l a u s e s . La r i . t e n t i o n de priiuc pcuL donc anienGr une LGgGrc d i s t o r s i o n d e s r g s u l t a t s . Pour i n t g g r e r c e t e f f e t , i l f a u d r a i t u t i l i s e r
l e s d i s t r i b u t i o n s d e s coGts d e s s i n i s t r e s e t s u p p o s e r e n o u t r e
que l e s a s s u r g s o n t d e s comportements s t r a t g g i q u e s r a t i o n n e l s .
- Les t o r t s p a r t a g g s
: En c a s de t o r t s p a r t a g s s , l e s c l a u s e s f r a n -
~ a i s e sde 1984 p r g v o i e n t l e p a r t a g e du malus e n t r e l e s deux assur 6 s impliquss (un peu p l u s de s d e s s i n i s t r e s v o i e n t l e u r respons a b i l i t e p a r t a g g e e n t r e l e s deux p r o t a g o n i s t r e s ) . Cet e f f e t n ' e s t
pas p r i s e n compte dans l e modgle.
- Le mauvais recouvrement d e s primes p r g l e v g e s
:
Les f o r t s taux de
malus e n t r a i n e n t d e s primes t r 6 s GlevGes que l e s a s s u r g s ne p a i e n t
q u ' a v e c une mauvaise v o l o n t s Gvidente
... Un mauvais
d e s primes e n decoule e t nous c o n d u i r a 2 sous-estimer
recouvrement
l e taux
moyen de r g d u c t i o n c o n s e n t i p a r une compagnie ( s i l e s primes l e s
L.1evi.e~ne s o n t pas t o u t e s pilyi.es, l a prime moyenne s ' e n trouvcl
dirninuge).
111. LES RESULTATS DU MODELE
3.1. Comportement du modsle
a ) T a i l l e de l ' i i c h a n t i l l o n
Grzce 2 l a l o i des grands nombres on s a i t que l e s moyennes que
l ' o n c a l c u l e convergent v e r s l e s e s p g r a n c e s de t a u x de bonus-malus
veut e s t i m e r .
que l ' o n
L 1 6 c h a n t i l l o n u t i l i s g d o i t donc C t r e a s s e z grand s i l ' o n
veut une e s t i m a t i o n p r i i c i s e mais d o i t r e s t e r r a i s o n n a b l e pour ne pas a l l o n g e r i n u t i l e m e n t l e temps de c a l c u l .
On a d o p t e r a dans t o u s l e s c a l c u l s un
G c h a n t i l l o n de 2.000 i n d i v i d u s , t a i l l e q u i s a t i s f a i t p l e i n e n e n t l e s condit i o n s de convergence.
-
En e f f e t :
p a r r a p p o r t 2 un k h a n t i l l o n de 1.000 i n d i v i d u s les & a r t s de
r g s u l t a t s s n n t i n f g r i e u r s 2 0,52, c e q u i prouve que l ' o n est t r 6 s proche
des v a l e u r s l i m i t e s .
-
l e s courbes des moyennes e n f o n c t i o n des f r s q u e n c e s s o n t t r 6 s
l i s s e s e t il n ' y a donc p l u s d 1 i : : r 6 g u l a r i t & s p o n c t u e l l e s , c e q u i s e r a i t l e
c a s s i l e s convergences n ' i i t a i e n t q u ' i m p a r f a i t e s .
Notons cependant que, pour une s e u l e friiquence, l e c a l c u l d'une
moyenne i n t e r t e m p o r e l l e s u r 50 a n s n i i c c s s i t e r a l e t r a i t e m e n t d ' u n t a b l e a u de
t a i l l e 50 x 2.000 e t demandera donc 100.000 t i r a g e s a l g a t o i r e s e t a u t a n t de
c a l c u l s du nouveau t a u x de bonus e n f o n c t i o n de l a r g g l e m e n t a t i o n e n vigueur!
b) E v o l u t i o n dans l e temps
Les i n d i v i d u s s o n t t a r i f E s l a premiere anniie a u n i v e a u de l a prime
de b a s e .
L ' e v o l u t i o n des moyennes a n n u e l l e s
permet d ' g v a l u e r l e temps n i i c e s s a i r e 5 1 3 s t a b i l i s n t i o n du niveau t a r i f a i r c
moyen de la population 6tudiGe (voir graphique I ) .
Cette stabilisation e s ~
trss rapide pour ies clauses tr5s simples (GrPce, Espagne, Turquie) mais
dEpasse 20 ou 30 ans par les systPmes plus compliqu6s (France, R.F.A.).
Cette durge ne signifie donc plus grand chose puisque les risques individuels sont susceptibles df6voluer considgrablement pendant ce laps de temps
(&volution collective avec une baisse significative de la sinistralitil
moyenne et 6volution individuelle avec un effet d'apprentissage ou un effet
de sagesse dG B l'zge).
Si l'un des buts d'une tarification a posteriori
6tait de faire payer 2 chacun un tarif plus gquitable ou du moins plus en
rapport avec son risque individuel, ce but n'est donc qu'imparfaitement
atteint puisqu'il faut un grand nombre drann6es avant d'atteindre ce tarif
plus "6quitablet'. La complexit: des clauses et les dur6es ngcessaires 2
l'obtention d'un bonus 6lev6 lassaient prgvoir ce phgnomsne.
3.2. Equilibre des systsmes de bonus-malus
Les moyennes intertemporelles TAUX (F) caractgrisent donc le taux
de rsduction ou de majoration moyen qu'une compagnie consent 2 une clientPle
homogsne dont le risque individuel est
F
.
S i les clauses Gtaient Squili-
brEes, ce taux vaudrait 1 pour une clientPle donn6e et les bonus compenseraient les malus. En fait, llGquilibren'esc pas un but en soi et
ne peut servir qu'8 :valuer
la r6apprGciation de la prime actuarielle nEces-
saire 2 l'gquilibre financier de la compagnie : si
bonus-malus, PA
la prime actuarielle et
PA
prime de base vaudra PB = (I + T) t
Le risque individuel F
K
t
est le taux moyen de
la marge de la compagnie, la
.
varie au sein de la population. Pour
calculer le taux moyen de bonus-malus, il faut donc calculer
chaque frequence F
TAUX(F)
TX(F)
pour
et tenir compte ensuite de la loi de rspartition des
risques individuels dans la population ; le graphique 2 donne la variation
des moyennes intertemporelles TAUX(F)
en fonction de
F
pour les clauses
franfaises de 1976 et de 1984. I1 faut attendre des Frequences Glev6es
(0.28 en 1984 et 0.48 en 1976) pour que le taux moyen depasse 1 .
Les clau-
ses ne sont donc pas 6quilibrEes m@me si lc passage aux nouvelles clauses
rgalise un tr2s net progrss de ce point de vue.
La courbe de 1984 semble pratiquement lingaire ; en effet, si
l'on effectue une rggression linsaire par la mgthode des M.C.O.
sur tous
les points de cette courbe on obrient une relation estim6e :
le coefficient de determination empirique R 2 vaut 0,992 et montre donc
la qualit6 de cette rggression.
La lin6arite de cette relation va consid6-
rablement simplifier le calcul en 6vitant notament d'utiliser la distribution des risques individuels ; en effet, soit Y(F)
la loi de cette dis-
tribution, le taux moyen de bonus-malus de la population sera :
etdonc
t
=
a + b F =
TX(F)
-
oG F dssigne la moyenne des risques individuels de la population.
On n'a donc besoin de connaTtre que la moyenne de cette distribution et non plus 1s distribution toute entisre. En France, la sinistralits
moyenne est proche de O,11 ; le taux moyen de bonus sera donc proche de
0,69, ce qui correspond 2 un bonus moyen de 30%. A titre d'exercice, on
peut rechercher quels coefficients de bonus et de malus faudrait-il utiliser
2 la place de 0,95 et 1,25 pour rendre ces msmes clauses Qquilibrees. Avec
ce modOle et une frgquence moyenne de 0,II on se rend compte que si l'on
veut garder le malus de 1,25 il faut reduire le bonus 2 0,99 et si l'on veut
garder le bonus Z 0,95 il faut augmenter le malus 2 1.90 !
De telles clau-
ses seraient difficiles 2 faire accepter et seraient surtout assez ridicules
(le temps necessaire 2 effacer le malus crge par un sinistre depasserait la
dude de vie d'un assur6 ! ) .
Pour les autres pays les courbes ne sont plus exactement lineaires
(voir graphiques).
On ne dispose pas d'indications sur les r6partitions des
risques individuels et on ne peut donc pas effectuer un calcul precis.
On peut n6anmoins conclure qu'aucun des systPmes de bonus malus n'est
GquilibrE. C'est d'ailleurs une Gvidence pour les pays ne possGdant que
des classes de bonus (SuSde, Espagne, GrSce et Turquie).
3.3. REalisation des risques individuels
Le Graphique 2 utilis6 pour l'6tude de l'gquilibre des clauses
de bonus-malus fran~aisespeut aussi servir 2 Gtudier comment ces mgmes
clauses ~gnalisentles risques individuels. On voit ainsi que les nouvelles clauses sont plus discriminantes que les prgcgdentes; le taux moyen
de bonus-malus accord6 par la compagnie d'assurance augmente en effet plus
vite en fonction du risque individuel. On souhaite Stendre cette comparaison aux pays dont on a dgcrit les clauses de bonus-malus; les tableaux
I et 2 donnent les rGsultats du modgle pour ces diffgrentes clauses: ils
montrent comment varie la moyenne intertemporelle en fonction du risque
individuel. Le chiffre entre parenthPses est l'Gcart-type de la distribution des moyennes intertemporelles individuelles.
Les graphiques permettent de mieux visualiser ces rgsultats.
Le Grnphique 3 regroupe les pays ne possEdant pas de malus (Espagne, GrPce,
Turquie et Sugde) ainsi que 1'Italie dont les clauses ne semblent p6naliser que trSs modErernent les hauts risques. L'Espagne, la GrSce et la Turquie dont les clauses sont trPs voisines ont des courbes trPs proches.
Les systzmes italiens et Sugdois diffsrencient plus les tarifs des risques
individuels diffsrents (pente plus forte) hien qu'ils accordent un bonus
plus fort. Le graphique 4 regroupe tous les autrcs pays (France, Suissr,
Belgique, Grand Duche du Luxembourg, R.F.A.).
L2 encore,
les pays possgdant des clauses de mzme type ont la mGme allure de courbe
(les courbes de Belgique, Suisse, Luxembourg et Susde ant la mgme
concavitc et une inflexion situse 5 peu pres dans la rigme zone). En
revanche les niveaux des courbes diffPrent notablement sauf pour la
Belgique et le Luxembourg dont les courbes sont si voisines qu'elles se
recoupent deux fois. Le ph6nomSne de lin6aritg observg pour la courbe
fran~aisene se reproduit pour aucun autre pays si ce n'est pour la courbe
de la R.F.A. dont la concavitg est trss peu prononcge.
De toute Gvidence, c'est la Suisse qui pgnalise le plus ses
mauvais conducteurs et ce sont llEspagne, la Turquie, la Grgce et 1'Italie
qui les pgnalisent le moins. Si l'on veut Gtendre cette comparaison B
tous les pays, il faut ramener toutes les courbes B une mZme Echelle pour
mesurer le rapport de la prime d'un assurE de risque Glevg 5 celle d'un
assurE de risque plus faible. Pour chaque pays, on calcule les rapports
TAUX(F)
/
TAUX (0.06) pour obtenir ainsi des courbes "normalis6es"
(tableau 3 et graphique 5). Un certainnombre de groupes apparaissent
alors : en bas du graphique llEspagne, la Turquie, la GrPce et 1'Italie
n'augmentent que tres peu les primes des assurgs 5 fort risque. Un
groupe intermediaire est constitug par le Luxembourg, la Belgique, la
SuPde et la R.F.A..A
l'exception de la R.F.A., tous ces pays ont un systP-
me de bonus-malus fond6 sur la mSme rsgle: 2 gchelons en plus par accident
et I en moins par annge sans sinistre dGclar6. La Suisse qui fait augmenter le malus de 3 gchelons par accident pEnalise dont beaucoup plus les
assurgs -1e graphique le confirme La France a une position intermgdiaire
entre la Suisse et ce groupe tr2s homogsne (SuPde, Belgique, Luxembourg).
Sans l a c l a u s e de r e t o u r r a p i d e , il f a u d r a i t p l u s de 4 ann&es sans s i n i s t r e s pour e f f a c e r l e malus dCi 2 un s e u l a c c i d e n t e t les c l a u s e s s e r a i e n t
a l o r s p l u s s6vSres que c e l l e de l a S u i s s e ; on l e v 6 r i f i e e n f a i s a n t
t o u r n e r l e modsle s u r l e systSme f r a n ~ a i ss a n s c e t t e c l a u s e de r e t o u r
r a p i d e : on o b t i e n t a l o r s l e s r g s u l t a t s s u i v a n t s :
SiTISSE
FRANCE
sans retour
rapide
1984
0.06
FRANCE
1.
1.
TAUX ( F )
-
1
-
1.
-
TAUX (0.06)
C e t t e c l a u s e de r e t o u r r a p i d e e s t donc s a n s aucun doute i n d i s p e n s a b l e . E l l e e s t e n t o u t c a s t r S s e f f i c a c e pour a t t z n u e r l e s e f f e t s d ' u n
t r S s f o r t t a u x de malus.
3.4. S E p a r a t i o n des r i s q u e s i n d i v i d u e l s
Les c l a u s e s de bonus-malus
p E n a l i s e n t donc en moyenne l e s
a s s u r e s a y a n t une frgquence de s i n i s t r e s Clevse. Avant de c o n c l u r e 2 une
r e e l l e s e p a r a t i o n d e s r i s q u e s t a r i f a i r e s grBce 2 c e t t e t a r i f i c a t i o n a
~ o s t e r i o r i , il f a u t e x ~ r n i n e r l a d i s t r i b u t i o n d e s primes e f f e c t i v e s au s e i n
d'une p o p u l a t i o n homogsne. En p a r t i c u l i e r l a d i s p e r s i o n a u t o u r d e s moyennes EtudiEes c i - d e s s u s e s t c a r a c t 6 r i s G e par l e s E c a r t s - t y p e s de c e s d i s t r i b u t i o n s . On c o n s t a t e a l o r s que l a s g p a r a t i o n d e s r i s q u e s e s t l o i n d ' 2 t r e
r E a l i s 6 e . Consid6rons en e f f e t l e s i n t e r v a l l e s c e n t r 6 s s u r l a moyenne e t
de rayon Egal 2 l ' E c a r t type de l a d i s t r i b u t i o n . I1 f a u t d e s f r g q u e n c e s
t r S s 6loignEes pour
que c e s i n t e r v a l l e s s o i e n t t o t a l e m e n t d i s s o c i 6 s .
Pour des f r e q u e n c e s de 0.006 e t 0.12 p a r exemple, c e s i n t e r v a l l e s s o n t
( 0.568
; 0.672
et
0.609 ; 0.953
) . Le g r a p h i q u e 6 permet de v i s u a l i -
s e r l e recoupement de c e s i n t e r v a l l e s e t donc l a trt's f a i b l e s 6 p a r a t i o n
des r i s q u e s que r E a l i s e n t l e s c l a u s e s de bonus-malus.
On a b o u t i t S l a
mGme c o n c l u s i o n s i l ' o n r e g a r d e l e s primes a t t e i n t e s a u bout de 10 a n s .
(Graphique 7 ) ou de 30 ans (Graphique 8 ) .
Les systSmes de bonus-malus
d e s a u t r e s pays ne r s u s s i s s e n t pzs
mieux 2 d i f f e r e n c i e r n e t t e m e n t l e s t a r i f s e n f o n c t i o n des r i s q u e s i n d i v i d u e l s e t aucun systiime ne p o u r r a i t d ' a i l l e u r s l e f a i r e de facon s a t i s f a i s a n t e . Le r S l e de 1 1 a 1 6 a e s t e n e f f e t t r o p i m p o r t a n t . Le s e u l c r i t i i r e
de t a r i f i c a t i o n u t i l i s a b l e e s t l a frEquence empirique des s i n i s t r e s e t
non l e r i s q u e i n d i v i d u e l t h g o r i q u e i n o b s e r v a b l e p a r l ' a s s u r e u r (paramGcre
de l a l o i de P o i s s o n dans n o t r e modPle). I1 n ' e s t pas g t o n n a n t q u ' u n
t a r i f b a s 6 s u r un c r i t S r e ne sEpare pas t o t a l e m e n t l e s primes en f o n c t i o n
d'un autre critPre. (le nombre d'annees utilisEes est trop faible pour
que la frequence empirique soit une estimation precise du risque
individuel)
.
L'assureur est plac6 devant un problgme de selection adverse:
11 souhaite faire dependre son tarif d'un p.?ramPtre qu'il ne peut obser-
ver. On vient de voir que
des clauses de bonus-malus ne peuvent consti-
tuer qu'une solution trPs imparfaite 2 ce problsme. L'efficacite des
clauses de bonus-malus (et leur utilite pour la societe) est plutSt Z
rechercher dans les domaines suivants :
-
L'incitation 2 la prudence : en augmentant les primes des mauvais
conducteurs, les compagnies responsabilisent les assurEs et les incitent
Z
une conduite plus prudente.
C'est aussi le r6le des franchises mais
les systgmes de bonus-malus constituent une incitation beaucoup plus forte puisqu'ils permettent une g a m e de tarifs trgs Gtendue (le rapport des
primes
-
avec malus et bonus maximum vaut 7 en France)~.
Retention de sinistres : dans le cas d2 petits sinistres, le coGt
ue l'accident est plus faible que la penalisation tarifaire due au malus ;
un assure a alors interst 2 ne pas declarer son sinistre et B supporter
lui-m2me le coGt des reparations (ou B continuer 2 rouler avec une aile
lGg6rement cabossze!).
Cette retention de sinistres diminue le nombre de
dossiers Z traiter par les compagnies d'assurance et en diminue donc les
coGts administratifs.
I1 est difficile de mesurer avec prgcision ces deux effets.
11s sont pourtant sans doute responsables d'une bonne partie de la baisse
de la sinistralitg observee dans tous les pays europeens (avec 11am61ioration de l'infrastructure routisre et des vghicules ainsi que les campagnes
d'incitation de la securitg routizre).