utilisation pratique de la methode de simulation dans l`assurance

U T I L I S A T I O N P R A T I Q U E 1)E LA M E T H O D E D E
S I M U L A T I O N DANS L ' A S S U R A N C E ,,NON L I F E "
D'HOOGE, FRANCKX ET GENNAI~T
J3ru xelles
I.
--
INTRODUCTION
Les colloques successifs d'Astin ent eu le mdrite de clarifier
certaines iddes thdoriques importantes. E n i n v i t a n t au colloque
d ' A r n h e m les aetuaires 5. penser aux m~thodes de Monte Carlo,
les organisateurs ont forcdment orient~ les recherches vers le
domaine des applications. Car simuler, c'est 5. dire dtablir des rdsultats conformes ~. un processus aKatoire bien d&ermin~, suppose
priori que les donndes numdriques d'introduction (ou de definition)
ont &d fix~es.
Nous ne reprendrons pas les principes de la m & h o d e de simulation, ils sont donn~s de mmli~re magistrale dans ,,Notes on operations research I959" du centre de recherche op&ationnelle du
Massachusetts I n s t i t u t e of Technology. Le ehapitre ix, p o r t a n t
titre ,,Simulation of Ra~Mom processes" r~digd par H e r b e r t P.
Galliher donne un exposd complet du probl~me. Nous r e n v o y o n s
cette rdf&ence.
Parmi les idles que ['on doit retenir, car elle est d'applieation
dans t o u s l e s domaines, nous citons ,,Never shnulate a single numerical problem;always simulate several of a class of problems".
Dans le domaine non life, cet aspect est fondamental. Ce qui y f l i t
ddfaut, ee sont des algorithmes g&]draux de rdsolution numdriques.
Une des difficult& majeures rencontr~es par les actuaires a ~t~ et est
encore le calcul effectif des convolutions. Ceux qui ont dtabli cette
note se sont pos6 la question de savoir si la m & h o d e de Monte
Carlo ne pouvait fournir un proc~dd:
dvitant les convolutions.
- - suffisamment g~n~ral pour ~tre applicable k une classe de risques
arbitraire.
- - dormant comme sous-produit des ~ldments intdressant aussi bien
les th6oriciens que les praticiens.
-
-
8S
L'ASSURANCE ,,NON LIFE"
Une rdponse largement positive semble donnde k ces desiderata.
La base de la mdthode de simulation est le thdor6me de CantelliGlivenko: ,,lorsque la taille d'nn dchantillon a u g m e n t e la fonction
de distribution de l'dchantillon converge f o r t e m e n t vers 13 fonction
de distribution de [a population d o a t l'dchantillon a dtd e x t r a i t " .
Un risque quelconque - - n ' a p p a r t e n a n t pas ndcessairement ~t une
classe homog~ne - - est d6fini par de,ix coordom~&s stochasliwes.
D ' u n e part l'inlensitd du risque (valeur aldatoire du hombre de
sinistres f r a p p a n t un c o n t r a t au cours de l'annde), d ' a u t r e part la
haule¢tr d,u si~uslre (montant al4atoire de chaque sinistre particulier). L'algorithme de simulation doit 6tre programmd de fa¢on 5.
~tre utilisable quelles que soient les coordonn6es stochastiques.
E n introdui.aant dans l'ordinateur des valeurs particuli~res - - donc
numdriques - - de ces coordonndes stochastiques, celni-ci rdalisera
mac dpreuve simulde, dont le rdsultat est la ddpense totale annuelle
pour un contrat. E n rdpdtant cette dpreuve un grand n o m b r e de
lois, et en enregistrant les rdsultats, on constitue la pop~tlation
•n,um&ique de rdfdrcnce A partir de cette derni6re, on ddduira comn-m
sous-produits par des sous-routines les autres rdsultats statistiques.
Dans nos exp6riences, cette population de base c o m p o r t a n t 36o.ooo
valeurs simuldes (nombre non pris au hasard), elle nous a pennis de
nou~ rendre c o m p t e de la convergence effective annonc6e par le
thdor+me de Cantelli-Glivenko.
Le mdtier d'assureur est possible parce que par les cumuls dec
rdsultats individuels des rdgularitds statistique~ sent constatdes. Le
probl6me des cumuls est par suite essentiel.
Une question que nous heirs sonlmes posde peut s'dnoncer comme
suit: Ex~ste-t-iI une mdthodc systd,matiqu.e 7bermctta,zt de calculer le
budget slochaslique relalif d ctn hombre arbitraire de co.ntrals?
E n d'autres mots, si un ensemble de risques comporte k = 765
contrats est il possible de donner en ddbut d'exercice les valeurs
numdriques de la fonction de distribution du total ~t payer pour cet
ensemble de contrats ?
D e u x mdthodes p e u v e n t ~tre envisag6es:
-
-
la premiere : par cumul des r~sultats de eontrats de la population
de base et application de la mdthode de Cantelli-Glivenko; clle a
L'ASSURANCE ,,NON LIFE"
89
dtd effectivement utilisde pour les valeurs de k = I, 4, 9, 25,
IOO, 400, 900.
- - la seconde: par une mdthode d'approxinlation, (interpolation
ou extrapolation) Lt partir de certaines courbes de budget
particuli6res (celles d6duites par la premiere mdthode) on
cherche 5. dtablir celle de l'effectif impos6. La deuxi6me mdthode
est bas6e sur l'utilisation des ,,courbes de transforn-tations".
Si .F(x) et q)(y) sont dcux fonctions de rdpartition des variables
X et Y, une telle courbe de t r a n s f o r m a t i o n ddfinit la fonction
3' = f ( x ) t e l l e
que: t0[f(x)] ~ . F ( x )
Darts it cadre d'une dtude num6rique, l'image statistique des
courbes de transformation est obtenue 5. la machine, mais ajustde
g r a p h i q u e m e n t ou par calcul dl6mentaire. Le choix de la fonction
de rdfdrence F(x) n'est pas arbitraire. L'idde d'Esscher nous a amend
5. es,,ayer la loi normale en particulier.
Des rdsultats encourageants ont dtd obtenus de cette mani6re,
ils indiquent que des dtudes subs6quentes sont souhaitables.
A p a r t i r du m o m e n t oh l'on di.~pose du budget stochastique d'un
ensemble de risques, on peut dtudier t o u s l e s probl6mes et dtablir
n ' i m p o r t e quelle tarification. Dans cette note, nous avons voulu
dtudier.
- - l'~nfluc~ce de l'effeclif d'.m~e classe de risques sur les chances qu'a
u~ assureur de subir des fluclualions ddfavorables.
- - l'influen.ce de l'effeclif d'une classe de risques sur la partition de la
prime globale pure entre assureur er rdass~lreur, lorsqu.e ce dernier
ppre.~z.d a sa charge l'i.ndemnisaliol~ au delc~ d'~me cerlai~ze limite de
retention. (stop loss).
Ce choix particulier m o n t r e que les 6tudes ont atteint actuellement un niveau tel que la rdsolution effective el: numdrique des
probl6mes pratiques est devenu possible.
Cependant, pour que l'algorithme soit gdndral, et les rdsultats
comparables, il a fallu prendre une ddfinition invariante des fluctuations ddfavorables. Si E ddsigne la valeur m o y e n n e du budget d ' u n e
classe de risques, une fluctuation ddfavorable sera mesurde par:
3' = E (~ + p)
p~>o
9o
L'ASSURANCE ,,NON L I F E "
La fluctuation y correspond h une d@ense budgdtaire d @ a s s a n t
la valeur probable. La valeur de E d @ e n d des coordondes stochastiques et de l'effectif qui varient de cas en cas.
D6s lors, le p a r a m & r e principal de l'dtude est la valeur de p,
exprimde en pour cents de la valeur moyenne.
L'influence de l'effectif est non n6gligeable ; les r~sultats con,signals
dans des tableaux p e r m e t t e n t les calculs rdels pour un effectif
quelconque. Un r a p p r o c h e m e n t avec les considdrations de la fullcredibility am6ricaine est instructif.
Le prdsent travail a dr6 exdcutd en team. L'un d'entre nous s'est
chargd de la conception gdndrale, le second de la p r o g r a m m a t i o n et
de l'exdcution sur IBM 162o, le troi.~i~me de l'exploitation des
r6sultats. Ce t e a m a eu le sentiment net d'avoir appris beaucoup
dans l'exfcution du prdsent travail. I1 esp6re que cette exp6ricnce
sera aussi constructive pour les autres.
2. DESCRIPTION DES T R A V A U X DE SIMULATION EFI:ECTUI:~S
2.1. Donndes
a
L a variable al6atoire N, i,ntensild du risque, suit une loi clont
la fonction de rdpartition est une image statistique observde, suivant
les donndes ci-apr6s
-
-
(~)
(z)
(.3)
N o m b r e de sinistres
Fr~quence observdc
lnlage s t a t i s t i q u e de ht
fonction de rdparation
F.
Sn
774
375
i2o
4°
15
5
2
i
o 58ozo989
o 8613;934
o.95127436
o.98125937
o0025o374
o 09625r87
o 99775112
o.9985oo74
o 99925o37
i
T.O000000
1
L'ASSURANCE
,,NON
91
I.IFE"
Cette loi cst extraite de l'article: ,,Un probl6me de tarification
de l'assurance accidents d'automobiles examin6 par la statistique
m a t h 4 m a t i q u e " Pierre Delaporte, X V I e Congr6s I n t e r n a t i o n a l
d'Aetuaires. Vol. II, 196o.
b - La variable aldatoire M, h a u t e u r d'un sinistre, suit la loi
th6orique exponentielle de m o y e n n e unit6 dont la fonction de
%paration est
F(m) = P r o b ( M < m) = I - - e -m
c - P e n d a n t la pdriode de r6f6rence considdr6e (une ann6e), tin
c o n t r a t subit un nombre n de sinistres, dont la s o m m e des ddgals
S=m~+m2+...+m~
est 6galement une variable al6atoire et repr6sente la d6pense possible
de l'assureur pour le contrat consid6r6.
2.2. Crdation d ' u n f i c h i e r de base
On a simul6 360.000 contrats p e n d a n t la p6riode de r6f6rence
d ' u n e ann6e. On a not6 pour chacun d ' e n t r e eux les valeurs obtenues
pour les variables N (intensit6) et S (somme des d6gats). Ces r6sultats out 6t6 perfords sur des cartes h raison de 6 contrats par carte,
et ont servi h l'6tablissement des statistiques d6crites clans les
paragraphes suivants.
L a simulation d'un c o n t r a t se fait par la m6thode classique suivante. La g6n6ration d ' u n e variable al6atoire de fonction de r@artition donn6e se fait ~ partir de nombres pseudo-al4atoires h distribution uniforme stir l'intervalle (o, I).
P o u r ceux-ci, on utilise les formules suivantes (hombres entiers):
Xi = 40353607 = 7 :~
X:+i = aXy(modM)
avec a
= 7"
jl/I =
I010
Les nombres pseudo-al6atoires (compris entre o et I) sont
x a = IO -1oX:
j = I, 2 . . . .
Cheque lois qu'on a besoin d'un tel nombre, quel qua soit son
usage, on le d6termine 5 partir du prdc6dent, qui a 6t6 conserv6
en n%moire.
92
L'ASSURANCE
,,NON
LIFE"
P o u r slmuler la v a r i a b l e N, on p r e n d un tel n o m b r e x~ et on utilNe
la table du p a r a g r a p h e 2.1., c o l o n n e (3)Si .f,_~ .~ .~q < ft, on p r e n d n = i
(f_, = o)
P o u r simuler une v a l e u r s de la v a r i a b l e S, on simule n fois la
v a r i a b l e M (hauteur), p a r la f o r m u l e de la f o n c t i o n inverse de la
f o n c t i o n exponentielle, avec un n o m b r e p s e u d o - a l d a t o i r e -D c o m m e
argument.
,uj
--
=-
In
(I
--
x;)
n
et on fait la s o m m e s =
3.2 mj
1 l
Les p r e m i e r s couples o b t e n u s p o u r n (intensitd) et s (sore.me des
ddggtts) sont :
IZ
S
0
0
O.000000
0.000000
2
0
2 0881,03
0 000000
I
I
1"26625I
2.3. U~ se2tl contral. Quelques statistiq,ucs imporlantes el imace
slatistique de la fonclio~ de rdpartition de la variable S.
i °) Les
moyenne~
note les
36.ooo et
m o m e n t s et coefficients s u i v a n t s o u t 6t6 c a l c u l & p a r des
p o r t a n t sur 54.000 c o n t r a t s . A u cours de ce calcut, o a a
r d s u l t a t s c o r r e s p o n d a n t ~t N = 9.ooo, I8.ooo, 27.o0o,
45.ooo c o n t r a t s .
a) la m o y e n n e : S
b) l'6cart q u a d r a t i q u c :
v(S)=
~/-S~ - - (S)"-
c) le m o m e n t de troisihme o r d r e :
m:,(S) = S~ - - 3 .s'~ S + 2( S) ~
d) le m o m e n t de q u a t r i + m e o r d r e :
m4s) = S~ --4 s~ s + 6 s~ (s)~ + 2(s)~
L'ASSURANCE ,,NON L I F E "
e) le coefficient de symdtrie: c ~ -
.m~ (S)
[~(S)]3
f) le coefficient de curtosis: ~ -
.,~ (S)
?,(S)]"
N
N
X sl
S'--~ '
N'
avec
S~ - '
£s~
'
N'
93
N
N
~
3
S~
S:~=L'
N'
4
~ S~
Sa-'''
N
La wtriable s p r e n d les N valeurs donndes par la simulation.
Le tableau ci-apr&s r e p r e n d les r6sultats obtenus.
,v
S
v(S)
m.~(S)
m.~(S)
0ooo
18000
27ooo
36000
450o0
34000
o6254844
o6278716
o.633137 o
o.632126I
o6322193
o6326388
t.2755o 4
I 264979
I 255849
1.249589
1.2542t 5
1.253524
6 788709
6535621
6.218o3o
6.123oo 4
6.261316
6 214783
46.60566
44.90871
41 34800
,to 59645
42 030o0
41.43o[o
2 °) Pour N =
~
3.27]460
3 228761
3 139365
3.138o68
3 173577
3 1552o3
p
I 7 6o8o 5
17.53865
16.6232I
r6.65ol6
16.98519
16 77970
9ooo, I8OOO, 27000, 36000, 45000 et 54000
On a ddtermind l'image slatislique de la variable S et ceci avec un
pas de probabilild de o,I.
Afin de faive a p p a r M t r e le stabilild de eerie image en fonction du
h o m b r e d'~preuves, on a r e i m s dans la tableau ci dessous quelques
points i p o u r les diffdrentes valcurs de N.
I o
2.o
3o
4.0
5.0
6o
7-0
8o
9 o
14 o
14.o
15.o
9000
18ooo
27000
36000
45000
54000
o 794333
0.802999
o94o777
o 968666
o982555
0.990444
0.993999
0.996222
0.997999
0909111
o 990888
0.999990
o79o944
o.892~22
o.941277
0.968333
0.983611
o.991~I1
o994888
o 996944
0.998222
o998999
0.999888
o 999999
o 786111
o89o111
o.941296
0.969555
o 983666
o.991259
o995296
o 997222
o 998407
o.999111
0.999925
o 099999
o.78536t
0.891222
o942o83
0.969666
0.983555
o991333
0.995583
0.997333
o 998444
0.999138
o 999916
o 999999
0.785622
o.891377
0.942533
o.969644
o.983177
o9913II
0.995333
0.997177
o 998288
o999o22
o 999911
o 999999
o785814
o.890703
0.942148
0.969499
o9834o 7
0.99137 °
o.99537 o
o 997222
o 998259
o.998999
0.999925
o 999999
94
L'ASSURANCE ,,NON L I F E "
On a tracd sur la figure I la reprdsentation de cette image statistique p o u r N = 54ooo, d'apr~s les rdsultats numdriques de la table
de l ' a n n e x e I.
P R O 8 ($ (s )
1o
og
08,
07
06
Y
05
04
FI6.1
03.
02
01
0
2.4. k Contrats. Image statistique de la fonction de rdpartition de S.
Statistiques.
A p a r t i r du richer de base, on a construit des dchantillons des
variables aldatoires
k
Sk = X sj
t t
oil sj est une des variables S du fichier de base. Les valeurs de k ont
dtd choisies comn-te indiqufi au tableau ci dessous:
P
4
9
25
[ oo
40o
900
36
36
25
o
4
4
Une variable Stc reprdsente la s o m m e des ddgats p o u r un effectif
de k c o n t r a t s p e n d a n t la pdriode de rdfdrence. Pour obtenir une
L'ASSURANCE ,,NON LIFE"
95
image statistique de la fonction de r @ a r t i t i o n de Sk, on a effectu6
IOO simulations de cette variable. Les rdsultats, classds par ordre
de grandeur croissante donnent une image statistique de la fonction
de r6partition (figure 2, trait continu pour k = 4)En r6pdtant la d6termination expdrimentale de cette image
statistique, on a constatd que les dchantillons successifs prdsentaient
une dispersion a,isez consid6rable. C'est pourquoi, pour chaque
valeur de k, on a construit p fichantillons (volt tableau ci dessus),
10!
P R O B C S4<s )
?
8
9
I0
11
12
13
14
2---;. . . . . . . . . . . . . . .
o9!
/
07"
06
05
04
03
/"
t
t
'/
2
FIG
02
01
I
I
I
I
dont on a fait la m o y e n n e arithm6tique pour constituer une image
statistique .moyenne de la fonction de r6partition de Sk. Le n o m b r e
total de contrats simul4s a 6t6 imposd par les valeurs maximales
de k et p choisies (900 × 4 × IOO = 360 ooo).
Plus pr6cis6ment, on peut r e m a r q u e r que les cent valeurs de Sk
qui servent 5. construire une image statistique sont let cent percentiles empiriques, abscisses de l'image statistique oh la frdquence
relative atteint un pourcentage donnd. Pour clmcun des percentiles,
on fait la m o y e n n e des p percentilles obtenus pour obtenir le percentile de l'image moyenne. L'image statistique m o y e n n e o b t e n u e
pour k = 4 et p ---- 36 est prdsentde en traits interrompus ~t la
L'ASSURANCE ,,NON L I F E "
96
figure 2. On constate qu'elle est beaucoup plus r6gulifire que les
images statistiques dont d i e est la moyenne.
Dans ce qui suit, on n'utilisera plus que les images statistiques
moyennes pour rdsoudre les problfimes posds. E n particulier, ces
images statistiques moyelmes ont 6td utilisdes pour calculer les
statistiques suivantes :
k
Se
v(Se)
4
9
25
Ioo
400
900
2 5420
5 7oot
16 079
64 3 t o
256 09
576 7 °
2.4703
3 6429
6 2589
12.395
26.o51
37 3 [8
m~(S,)
2o 549
42 568
~47.87
553.56
38o8.o
980.00
m.,(&.)
181 oo
6t9.14
4849.9
65890
t281ooo
545000o
~(&)
~(S~)
1.3632
o 88054
0.60309
o 29068
o.2t54o
o.ol886
4 8604
3 5157
3.t6o4
2.7914
2.78t 5
2 81oo
L ' a n n e x e 2 reproduit la table de l'image statistique moyenne
obtenue pour k = ioo, 4oo, 9oo.
3. EXPLOITATION DES RI:;SUL'I'ATS DE LA SIMULATION
Dans ce qui suit, on ddcrit les mdthodes utilisdes, et on note un
certahl n o m b r e d'observation,~ On donne tr6s peu de justifications
5. base thdorique.
3.1. Comparaison des fomlions de rdpartition de S~, somme des ddgdts
de k contrals groupds, avec la fonclion de r@arltlion d'u.ne loi de Gauss.
Le budget de k contrats groupds est une somme de k w~riables
aldatoires identiques et inddpendantes. On peut donc a'attendre k
pouvoir apptiquer les thdor6mes de la tendance centrale. Pratiquement, pour un n o m b r e k donnd de contrats, on peut vdrifier graphiq u e m e n t si l'adoption de la loi normale est admissible en utilisant
la technique de la droite de H e n r y .
Celle-ci consiste k reprdsenter darts un syst~me cart6sien Oxy
les points de coordonn6es (x~,yi) tels que xt soit le i5 percentile
de la loi de Gauss-Laplace idduite, et 3,l le m~me percentile (empirique) de la fonction de rdpartition particuli6re dtudide. Dans les
graphiques des figures 3, 4 et 5, ces points n ' o n t dtd reprdsent6s que
pour les percentiles de rangs multiples de 5, et pour k = 4, 9, 25,
IOO, 4oo et 9o0.
L'ASSURANCE ,,NON LIFE"
97
Si la fonctio.n de rdparlilion dludide est effecliveme.nl celle d'u~te
loi normale, et. si on remTblace les percentiles empiriques ~ar les
percentiles thdoriques sur l'axe Oy, les 7boints du graphique doivent se
trouver sur une droile, qui est la reprdsentation de la foncti.on de
transformation dont il est question darts l'introduction.
Y
FIG 3
20
iII
~t
/ / p=35
10 / "
//
ij
I///
."
/11 p:36
s
~-"
''~"
-~
o
percenttles
,
th~or~¢lues G (0,1)
%
Rdciproquement, la fonction de r6partition est inconnue, et si
les points d6d.uits des percentiles empiriques sont suffisamment
alignds, on peut a d m e t t r e que la loi thdorique est une loi normale.
L a m o y e n n e et l'dcart q u a d r a t i q u e de cette loi normale p e u v e n t
~tre estimds sur le graphique (voir la fig. 4) ou encore calcul6s (2.3)
Au vu des graphiques repr6sent6s, on peut ad,metlre q~e pour k =
IOO, 4oo, 900 la loi de la somme des ddgdls est ,,pratiquemenY' normcde,
tandis que pour k = 4, 9, 25, l'app r°ximati°.n de la los rdelle par une
loi normale est 7braKquement d rejeter.
Ceci constitue un excmple p r a t i q u e de d6termination de la valeur
98
L'ASSURANCE ,,NON LIFE
d'un effectif 5_ partir duquel la tendance centrale devient pratiquem e n t utilisable (ce que la thdorie n'assure pas).
Y
F I G .4
.o
"
1"qsw° )
iO
50
5
10
20
-1
30 l,,.O .5
60
70 80
, J . i ,
i
1
percentiles
90
95
~
th~omques
i
G(OjI)
•
x
3.2. Comparaison des fonctio'ns de r@arlilion de la somme des ddgdts
de k co~zlrals groupds avec une fonclion de r@artition empiriquc de
~'df eYg't~CC.
Au lieu de prendre comme loi de rdfdrence une loi de GaussLaplace, comme dans le paragraphe prdcddent, on peut prendre
une des lois de la famille dtudide, en l'occurence la fonction de
rdpartition empirique de la somme des ddgfits pour k = IOO.
On peut ain~i se ddgager complhtement de toute considdration
thdorique pour la rdsolution des probl6mes pratiques qui seront
envisagds dans la suite.
Dans les graphiques des figures 6 et 7, on a effectu~ un travail
analogue it celui des figure.~ 3, 4 et 5, en p o r t a n t sur l'axe Ox, au
lieu des percentiles thdoriques de la loi normale rdduite, les percentiles empiriques de la loi de Sto., somme des d6gats de IOO contrats.
L'ASSURANCE ,,NON LIFE"
99
A l ' e x a m e n de ces graphiques, on p e u t a d m e t t r e que la corresp o n d a n c e des percentiles est p r a t i q u e m e n t lindaire entre k = IOO
d ' u n e part, et k = 25, 4oo et 9o0 d ' a u t r e part. On p e u t dcrire les
Y
60C
I
""""
""'k:900
p=4
500
FIG 5
400
301
.._.-'"
......~oo
p=4
200
~o , s 9 . s,o 4P 5
qo, 7,o, sp ,
oercenti/es
90I
9s
J
th~oriques G(O,1)
•
ff
dquations d ' u n e ch'oite qui repr6sente cette t r a n s f o r m a t i o n ,
utilisant la m 6 t h o d e des m o m e n t s ; on choisit l'6quation
en
y=ax+b
avec des coefficients a e t b tels que les m o m e n t s empiriques calcul6s
se c o r r e s p o n d e n t effectivement.
E n t r e Sto. et Se on 6crit les 6quations
v(Sk)
=
a v(Sloo)
p o u r k = 25, 400 et 900, o n o b t i e n t les c o e f f i c i e n t s s u i v a n t s
Ioo
L'ASSURANCE ,,NON L I F E "
b
0,505
25
4oo
9oo
-[6,40
2 , 1 0 1
I2t
3,o[
383
k=25
30
FIG
25
20
k=9
15
k--4
5
~........---.-"r5 ~£....j..o--~'O.,~ 5o6,o ~
i
40
,
SO
:
:
:
~
60
,
~
~
!
8,0
~
70
,
I
I
ntcles SfO 0
,9,o 95
,
wo
Ji
I
'
80
i
90
x
L'ASSURANCE ,,NON LIFE"
IOI
Le~, droitcs c o r r e s p o n d a n t c s ont dtd tracdes sur les figures 6 et 7
Elles seront utilisdes p o u r rdsoudre certains probl~n-tes p r a t i q u e s
au p a r a g r a p h e 3.4.
3.3. Utilisalio~ directe d'¢t~e image stalistiqlte moyerme
3.3.1 Probldmes - - types
On p r e n d r a c o m m e exemple la variable Sto,, d o n t une table de
r i m a g e statistiq ue est donnde on a n n e x e 2. Pour l'utilisation directe
iii
.~o~¢¢~
400
2OO
5
i
40
i
10
i
20
,
50
i
i
30 40 EO 60 70
i
i i i
J
60
i
i
i
i
i
70
80
i
i
90
i
i
i
,5'0
p~r~enttle$
S
955
100100
I
i
90
f
•
x
Io2
L'ASSURANCE ,,NON LIFE"
d'une telle table, on consid&re que chacune des valeurs apparaissant
darts la table arrive avec une probabilit4 de o,oi.
La moyenne et l'6cart quadratique empiriques de S~oo sont
respectivement S~oo = 64,31 et v(Stoo) = 12,4o.
Probl&ne I. Estimation de la probabilit4 pour que la somme des
d6gS.ts relatifs ~ IOO contrats ddpasse 75 unitds" 2o pour cent
(ligne 81 de la table).
ProbI&~e 2. Estimation de la somme des d6g~ts qui a une probabilit4 d'etre ddpassde 4gale ~t 5 % ' 86
i% 98
I1 est h. remarquer que l'estimation correspondant ~ une probabilitd de 1 % est moins prdcise que celle qui correspond ~t 5 %, par
suite de la dispersion plus grande qui apparait clans les ,,queues"
des images statistiques simuldes.
Probl&ne 3- Ddtermination approchde (approximation de la
m4thode des rectangles) du montant de la prime de r6assurance
,,stop loss".
On suppose par exemple que lorsque la somme des d4ggtts d4passe
70, 74 untt~s pendant la p&iode de r6f4rence {pour l'ensemble des
lOO contrats), le rdassureur prend b. sa charge la pattie qui d4passe
ce montant. Le montant 7o, 74 correspond /t IiO % de la valeur
moyenne 64,31. Dans ce cas, la valeur moyenne de l'intervention
du rdassureur est de
(70,84
-
-
7o,74)
I00
(71,o5 - - 70,74 )
+ - __+...+
I00
(98,35
-
-
70,74)
I00
=2,569
ce qui constitue une fraction de 4 % de la moyenne 64,3 I, La
fraction 0,04 est un laux relalif de slop loss.
3.3.2. Tables des probabilitds d'dcarls ddfavorables el de taux de stop loss
Pour les probl&mes 2 et 3 du paragraphe prdcddent, on a effectual
des calculs systdmatiques, en fonction d'arguments normalis4s,
qui sont des exc~s relatifs h la moyenne empirique: les annexes 3
et 4 donnent, en fonction de p (i~re colonne) et de k (I~re ligne),
respectivement
prob [S~ > Sk (I + p)]
(probabilild d'dcarls ddfavorables)
L
'
lO3
ASSURANCI= ,,NON L I F E "
r
-
et la valeur m o y e n n e du taux relatzf de slop loss lorsque le rdassureur
prend k sa charge la partie du m o n t a n t Sic qui d6passe Se (I + p)
On peut r e t r o u v e r dans cette derni6re table le rdsultat calcul6 5.
la fin du paragraphe 3 3 .1, et faire la constatation i m p o r t a n t e
suivante: lorsque l'effeclz~ augmenlc, la probabilitd f u n dcart ddfa-
vorable el le taux relalzf de stop toss diminuenl pour une mdmc
valeur de p.
Ainsi, la probabilitd d'un dcart ddfavorable de io % passe de
0,36 ~. 0,29 et 5t 0,06 lorsque l'effectif passe de k = 4 8 k = IOO et
k : 900. Dans les m4mes conditions, le t a u x relatif de stop loss
passe de o,34 ~ 0,o4 et it o,ool 7.
On r e m a r q u e r a cependant que la probabilit6 des petits 6carts
ddfavorables (jusque 2o % environ) commence par c r C t r e en
fonction de k, pour ddcroite ensuite. Ceci est dO /l la forte dissyntdtrie de la loi de S.
3.4. Ddtermination d'une fonction de rdparlition i ntermddiaire d
parlir de cerlaines fonclions de rdparliHon simul&s.
On se propose de d6terminer par exemple une fonction de r @ a r tition approch6e pour Saoo.
3.4.1. Interpolation enlre les fonclions de r@artition simuldes.
On peut interpoler les fonctions de rdpartition de St,o, 5400 et
$9 oo. P o u r cela, on utilise les coefficients d'interpolation de Lagrange.
On note pt, p4 et p9 les percentiles correspondants p o u r k = IOO,
400 et 900. Le percentile interpold pour k = 500 est
p5 = Lt pt + t., p4 + Lg p,a
avec
(5--4)
L ! --
(5 --" 9)
--I
(1 - - 4 ) ( 1 - - 9 )
(5--I) (5--9]
L4
:
---
-
(4 ---I)
(4 -- 9)
0,167
6
x6
--
15
(5 -- 1) (5 -- 4)
1
(9 -- I) (9 -- 4)
IO
:
Lo67
--
O,I
(i)
lO4
L'ASSURANCE ,,NON LIFE"
a) Interpolation entre les donn6es brutes des trois simulations.
P o u r le percentile de rang IO, on t r o u v e
p.~ = - - o , I 6 7 x 48,76 + I,O67 X 222,6 + o,I x 526,8 -- 282,0
(annexe 2)
l)ans ee cas, il faut disposer de trois tables de fonctions de
r~partition simul~es, mais il n'est pas ndcessaire de faire l ' h y p o t h ~ e
de la lindaritd de la transformation entre ces trois fonctions de
rdpartition. Cette mdthode pourrait servir pour interpoler entre les
fonctions de rdpartition simuldes de $4, $9 et S~s par exemple.
b) Interpolation entre les donndes de,~ simulations lissdes par
l'intermddiairc d'une droite de H e n r y (3.2.)
On prend pour p~ les percentiles de la table de l'image statistique
de la fonction de rdpartition de Sloo, et pour p4 et :b~ respectivement
p4 = 2,101 /St + 121
p,~=3,Ol
(Ia)
pt+383
Ce sont les valeurs donndes par les fonctions de transformation
calculdes au paragraphe 3.2. On trouve ainsi pour le percentile
de rang IO,
pl = 48,76,
p4 = 223,4,
p9 = 529,8 (annexe 2 et formules ia)
et, par la formule (I)
/55 ~ 283,2
Pour appliquer cette mdthode, il suffit de disposer d'une seule
table (ceIlc de S~.~), mais il faut faire l'hypoth~se de la lindarit~
de la transformation des fonctions de rdpartition.
R e m a r q u e : on peut tracer sur la figure 7 une droite de transformation de la fonction de rdpartition de S,.o vers Ssoo. lres coefficients a et b de celle ci s'obtiennent par interpolation entre les
coefficients des droites relatives k Stoo (non tracfic), 54o0 et .%o0.
On t r o u v e l'dquation
y = 2,376 x + 167, 4
(2)
Cette droite est repr~sentde sur la figure 7 (droit interpole)6
L'ASSURANCE ,,NON L I F E "
10 5
3.4.2. ExlrapolaHon d'une fonction de r@arlilion simulde
On fair l ' h y p o t h ~ s e que les variables Sk envisagdes suivent une
loi de Gauss.
a) E q u a t i o n
thdorique d ' u n e fonction de t r a n s f o r m a t i o n .
On note G(E, ~) une loi de Gauss de m o y e n n e E et dcart q u a d r a t i que ,. Si S , t suit une toi G(E1, crt) et Sn2 une loi G(E% ~2), avec n i =
k.~ n e, on a
E2 =
k 2 El
et la droite de t r a n s f o r m a t i o n de la fonction dc r @ a r t i t i o n de Sn~
vers celle de Sn: est
y=
kx+
Et(k a-k)
(3)
On t r o u v e cette 6quation en e x p r i m a n t que les m o m e n t s de la
f o n c n o n de r @ a r t i t i o n t r a n s f o r m d e doivent 6tre E-. et ~2.
b) T r a n s f o r m a t i o n de Stoo en $5oo.
On fait k °- = 5 dans l'expression (3) et E~ = 63,26 (valeur c a p
culde h p a r t i r de la m o y e n n e de S sur 54ooo contrats). On t r o u v e
y = 2,236 x + I74,85
(4)
L a droite c o r r e s p o n d a n t e est reprdsentde sur la figure 7 (droite
extrapol6e).
Si on l'utilise pour caleuler le percentile de r a n g IO de $5oo 5.
p a r t i r de celui de Stoo, on t r o u v e
y = 283,9
Observation. La correspondance r e m a r q u a b l e entre ce rdsultat
et ceux du p a r a g r a p h e 3.4.1 prdsente un caract&re accidentel: la
droite interpol6e et la droite extrapolde se coupent en effet a u x
environs du percentile de rang IO. On r e m a r q u e r a dans le tableau
du p a r a g r a p h e 3.4.4. que la correspondance des percentiles de r a n g
9 ° est moins bonne.
3.4.3. Calcul direcl de la loi de S~oo.
Darts la formule (4) oll a utilisd p o u r x les percentiles en-tpiriques
de la loi de Sloo. A y a n t f l i t l ' h y p o t h ~ s e de la loi de Gauss, et con-
I06
L'ASSURANCE ,,NON LIFE"
n a i s s a n t la m o y e n n e et l'dcart q u a d r a t i q u e de 51oo ~t p a r t i r de ceux
de S, d & e r m i n 6 s au p a r a g r a p h e 2.3., on a u r a i t t o u t aussi bien pu
p r e n d r e p o u r x les percentiles t h d o r i q u e s de la loi de $1oo. D a n s ces
conditions, il est inutile de passer p a r l'interm&!.iaire de la loi de
S~oo, et on p e u t d d t e r m i n e r la f o n c t i o n de r d p a r t i t i o n de Stoo directem e n t tt p a r t i r de celle de la loi de Gauss rdduite G(o,I), de la m a n i & e
suivante:
I ° Donndes" les m o m e n t s de la loi de D e l a p o r t e sont
E(N) = o,6418 et ~2(N) = 0,9722
les m o m e n t s de la loi e x p o n e n t i e l l e sont
E(M) = i et cr2(M) = i
2 ° M o m e n t s de la loi de S ~):
E(S) = E ( N ) . E ( M ) = o,6418 × i = o , 6 4 1 8
~e(S) = E(N) ~ ( M ) + E2(M) ~2(N)
= o,6418 x i + 12 X 0,9722 = 1,614o
o(S) =
V~-I40 = L27o 4
3 ° M o m e n t s de la loi de Ssoo:
E = o,6418 x 50o = 32o, 9
a = 1,27o 4 ×
/5oo=28,4
I
4 ° F o n c t i o n de t r a n s f o r m a t i o n de G(o,i) vers la loi de Ss,o:
y = 28,41 x + 32o, 9
A p p l i c a t i o n ' Le percentile t h d o r i q u c de r a n g I o de la loi de
Gauss r6duite G(o,I) est --i,282. On en d6duit le percentile de m 4 m e
r a n g de $1oo p a r la t r a n s f o r m a t i o n
y = 28,4I
x ( - - I , 2 8 2 ) + 32o, 9 = 284,5
3.4.4. Comparaison el vdrificalion des mdlhodes ulilisdes
O n a rassembl6 ci-dessous les rdsultats des calculs faits prdcdd e m m e n t p o u r la loi de .55oo et relatifs au percentile de r a n g io.
') L D'HooGE et P. It.. GENNART. Les risques non-viagers Foncttons
actuarmlles et tables, t965.
lO7
L'ASSURANCE ,,NON L I F E "
On y ajoute une colonne, o~ les m i m e s mdthodes ont 6t6 appliqudes
p o u r le percentile de rang 9 o. La derni~re ligne contient les m~mes
rdsultats d6duits d i r e c t e m e n t de la loi enlpirique de $5oo, dont les
percentiles ont dtd ddterminds par une m o y e n n e de 4 @ r e u v e s
(P = 4, voir 2.4). On peut considdrer que la correspondance entre
les rdsultats des diverses m6thodes est tr&s satisfaisante.
percentile ro
Interpolation 3 4 i &
I n t e r p o l a t i o n 3.4 i b
E x t r a p o l a t m n de Szoo
Calcul direct 3 4-3S m m l a t i o n directe
282,o
283,2
283,9
284,5
285,8
percentile 90
36o,99
36o,5 i
356,6o
357,3
356,o
3.5. Exlension
A condition de conserver la loi de Delaporte pour l'intensitd des
sinistres, on peut utiliser les r~sultats numdriques de notre 6tude
lorsque le m o n t a n t des d4g~,ts suit une loi exponenfielle de m o y e n n e
m comn'te unit6 mondtaire au lieu de l'unitd; il suffit pour cela de
multiplier par m le m o n t a n t des d6ggtts.
3.6. Conclusions
La simulation est une op6ration ondreuse. La seule constitution
du fichier de base a demand6 85 heures de travail sur o r d i n a t e u r
IBM 162o. I1 faut donc 6viter la simulation si le calcul peut la
remplacer. Ainsi, nous avons montr6 que pour les calculs relatifs 5.
la loi de ,55oo l'utilisation de la loi de Gauss rdduite, et des m o m e n t s
d6duits des donndes du probl~me pouvait donner des r6sultats
sans aucune simulation.
Cependant, la simulation a apportd deux rdsullats importants:
I ° Elle a permis de d6terminer e x p 6 r i m e n t a l e m e n t l'effectif g.
p a r t i r du quel l'approxirnation de la loi de Gauss est admissible
(en l'occurrence, k >/ IOO)
2° E n dessous de cet effectif, elle p e r m e t d'effectuer des calculs
prdvisionnels sur des foncfions de r @ a r t i t i o n simuldes ou interpol6es.
Notons encore que les r6sultats de la simulatiou ont mis en 6vi-
xo8
L'ASSURANCE ,,NON L I F E "
dence l'6volution des 6carts ddfavorables et des taux relatifs de
stop toss en fonction de i'effectif.
R e m a r q u e finale: darts l'exposd, on a ddveloppd ~t dessein les
aspects les plub 6ldmentaires, de fafon & Iaciliter le travail de ceux
qui voudraient utiliser effectivement ces mfthodes.
ANNEXE
1
IJN S E t ' l , C O N T R A T
I M A G E b T A T I S T I Q U E I)F. S, SOMME I)ES I ) E G A T S
54000 E p r e u v e s
Classe
Frdquence
I)e
.00
O0
.00
10
.tO
20
20
3°
4°
5°
.60
7o
8o
0o
3°
•4 °
.5 °
.Oo
• 7°
•
• 80
O0
• 90
I
1 . O0
1
[0
1.10
1
20
I .20
i
3 °
.30
1
0
°
I
5 °
1.5o
[.
60
I . 60
t
7 °
i
1.4
I .
7°
I .80
!
90
l . 80
t
.90
2 . O0
2 .00
2.IO
2,10
2,20
2 .20
2.3 °
22.4 °
22.5 °
2.60
2.70
2.8o
2.3o
2.4 °
2.50
2.60
2.70
2.80
Frdq. Relatwe
Frdq. Rel. Cumulde
A
2.90
2 . (10
3 oo
3.00
3.m
3.20
3.3 °
3.m
3.20
3.3 °
3.4 °
315o6
1452
1337
1311
tt66
11o6
io52
963
92o
851
77 °
7Ol
745
645
626
62t
532
513
489
387
4o5
382
345
3t8
3o9
281
.583444
.026888
•024759
.024277
o21592
.020481
.o1948I
.o17833
.oI7o37
.ol5759
.or4259
.ol2981
.o[3796
.ott944
.0[[592
.Oil500
-009851
OO05O0
•009055
.007166
.oo75oo
007074
-oo6388
.005888
.oo5722
•005203
.583444
.6Io333
.635092
659370
680962
7o1444
720925
738759
755796
771555
785815
.798796
.812592
.824537
836129
.847629
.85748I
.866981
.876o37
.8832o 3
.89o7o3
.807777
.9o4166
.91oo55
280
.005185
235
234
212
182
t88
202
.00435[
.004333
.003925
•003370
.oo348[
.003740
926t66
.93o5t8
.93485 l
.038777
•942148
•945629
• 94937 °
95248t
-955055
168
OO3lll
139
.oo2574
.915777
.92o08t
L'ASSURANCE
,,NON 1.1FE"
IO 9
ANNEXE [
IMAGE
UN SEUL CONTRAT
STAT[ST[QUE
D E S, S O M M E
DES
I)EGArI'S
54000 Eprcuves
Classe
Dc
3.4 °
3.5 °
3.60
3.70
3.80
3.90
4 .oo
4.1o
4.2o
4 3°
4.40
4 5°
4.60
4 7°
4.80
4.9o
5- oo
5.1o
5.2o
5.3 °
5.4 °
5.5o
5.6o
5.7 °
5-8o
5.90
6. oo
6.1o
6.20
6.30
6.40
6 5°
6.6o
7-70
6.80
6.9o
7.00
7.Io
7.2o
7.3o
7.4o
7.5o
17rdquence
Frdq. Relative
Frdq. Rel Cumulde
A
3.5 °
3 60
3.7 °
3.80
3.90
4.00
4 .lo
4 20
4.3 °
4-4 °
4.5 °
4 60
4.70
4.8o
4.9o
5.00
5 "IO
5.20
5.3 °
5 4°
5.5 °
5 .60
5.7 o
5.80
5.9o
6.00
6.1o
6,2o
6.3o
6.40
6 5°
6.60
6 7°
6.80
6.90
7.00
7.IO
7.20
7.3 °
7.4 °
7.50
7 .60
157
147
135
116
127
98
95
1Ol
87
73
98
62
55
7°
53
57
54
48
43
57
5°
44
39
3°
34
31
26
37
23
28
L9
21
16
i7
12
17
1I
t6
I1
lo
lO
7
oo29o 7
.002722
.002500
.002[48
.002351
.oo1814
.001759
.001870
.001611
.001351
.oo1814
.ootl48
.OOlOl8
.o01296
.ooo981
.oolo55
.ootooo
.ooo888
.o00796
.oom55
.000925
.000814
.000722
.000555
.ooo629
.000574
.ooo48I
000685
.ooo425
.ooo518
,ooo35 r
.000388
000206
.ooo314
000222
ooo3r4
.000203
.000296
,ooo2o 3
.000185
000185
.OOO12Q
.957962
.96o685
.963185
.965333
.967685
.969499
,971259
.973129
•97474 o
•976o92
.9779o7
979o55
.98oo74
.98137o
.982351
.9834o7
.9844o7
.985296
.986o92
.987148
.988o74
.988888
.98961[
99ol66
99o796
99137o
991851
992537
992962
993481
993833
994222
994518
.994833
.995055
.99537 °
.995574
•99587 °
.996074
.906259
-996444
.996574
II0
L'ASSURANCE ,,NON L I F E "
ANNEXE I
UN SEUL
1MAGE STATISTIQUE
DE
CONTRAT
S, S O M M E D E D E G A T S
540oo E p r e u v e s
Classe
Frdq~ence
De
7.60
7.7 °
7.80
7.9o
8.oo
8.1o
8.20
8.3 °
8.4 °
8.50
8.6o
8.70
8.8o
8.9o
9.00
9.1o
9.20
9.3 °
9.4 °
9.5 °
9.60
9.7 °
9.80
9.9o
lO. oo
10.20
10"30
ro.4o
lo.5o
lO.6O
lO.7O
10.80
lO.9O
11 . o o
i i .1o
11.20
lI.30
I1 .4 0
11.50
7- 7 °
7.80
7.90
8.oo
8. i o
8.2o
8.30
8.4 °
8.5o
8.60
8.7 °
8.80
8.9o
9.oo
9. IO
9.20
9.3 o
9.4 °
9.5 °
9.60
9- 7 °
9.80
9.9o
IO.OO
IO. IO
I O . 20
IO.30
IO-40
lO 5 °
lO.6O
lO.7O
1o.8o
10.90
11.oo
it.to
i i .20
I I .3 o
11.40
I I .5 °
II.60
i ~ .60
11.7
11 . 7 °
I r .80
IO. IO
Frdq. Relative
Frdq. Rel. Cumulde
A
°
9
15
3
8
6
4
4
9
7
6
5
5
6
4
3
3
5
6
5
4
2
6
3
3
5
IO
1
4
3
i
3
2
o
'2
3
o
i
O
I
I
2
o
.000166
.000277
.000055
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.OOOlII
.0o0o74
.o0o074
.ooo166
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.000092
.000092
.ooorlt
.oooo74
.oooo55
.000055
.oooo92
.OOOlll
.o00092
.000074
.oooo37
.OOOlii
0oo055
000055
000092
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000018
00o074
000055
oooo18
000055
.000037
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.oooo37
.oooo55
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.ooool8
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.ooooi8
.oooo18
.000037
.oooooo
.99674o
.997oi8
.997o74
.997222
-997333
.9974o7
.997481
.997648
-997777
.997888
997981
998074
998185
998259
998314
99837o
998462
-998574
.998666
.99874o
.998777
.998888
.998944
.998999
.999o92
.999x77
.999296
-99937 o
-999425
.999444
-999499
.999537
.999537
.999574
.999629
.999629
.999648
.999648
.999666
.999685
.999722
.999722
L'ASSURANCE
,,NON
LIFE"
III
ANNEXE I
IMAGE
UN
SEUL CONTRAT
STATJSTIQUE
D E S, S O M M E
DES
DEGATS
54000 Epreuves
Classe
De
11.8o
lt.9o
12.OO
12.10
12.20
I2.30
I2.40
12.50
12.60
I2.7o
12.80
12.9o
13 oo
13.1o
I3.20
13.3o
13.4o
13.5o
13.60
13.7o
13.8o
a3.9o
14.oo
14.2o
14.2o
14.3o
14 4 °
~4.5 o
14.6o
14.7o
~4.8o
T4.9o
Frdquence
Freq. Relative
Frdq. Rel. Cumulde
A
11.9o
12.oo
12.10
I2.20
12.30
12.40
12.50
I2.60
12.70
12.8o
12.90
13.oo
13.1o
13.2o
13.30
13.4o
13.5o
13.6o
13.70
13.8o
13.9o
14.oo
14.1o
14.2o
14.3o
14.4 o
14.5 °
14.6o
14.7o
14.8o
14.9o
15.oo
o
o
4
I
O
O
I
O
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-°°°°74
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o
o
o
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1
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1
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I
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1
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o
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2
1
t
o
o
o
o
o
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.000018
.000018
.O00018
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.oooooo
.oooooo
.00o037
.0o0018
.000018
.oooooo
.oooooo
.oooooo
.oooooo
.oooooo
.999722
.999722
.999796
.999814
.999814
.999814
.999803
.999833
.999833
.999833
.999833
.999833
.999833
.999833
.999851
.999851
.999870
.999888
.999907
.999907
.999925
.999925
.999925
.999925
999962
.99998I
.999999
.999999
.999999
.999999
.999999
.999999
ANNEXE 2
MOYENNE
P=
7( =
9
ioo
35.81o937
4° . 457026
42 . 173830
43- 2 0 5 1 4 o
IMAGE
STATISTIQUE
P=
4
/ ( = 4oo
P =
4
1( = 900
194,38185o
203 . 158040
208 2 2 7 4 5 0
212.39957 °
483.857800
494.81462o
5oi.Io8o7o
507.327900
L'ASSURANCE ,,NON L I F E "
112
ANNEXE
2
MOYI~NNE iMAGE STATIST[QUE
P =
9
1(= loo
5
6
7
8
9
lO
ii
i2
13
14
15
16
17
18
~9
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
3°
31
32
33
34
35
36
37
38
39
4°
41
42
43
44
45
46
47
48
49
44.443374
45.755113
46.688143
47.433847
48-098112
48.756672
49.3o6315
49.829517
50.392770
5o.7945 o2
5t.344973
51.799667
52.081677
52.367562
52.968056
53.318453
53.879375
54.234845
54 8 t 5 6 8 7
55.197748
55.556980
55.75264 i
56.127717
56.517837
57.050903
57-309046
57.467345
57.760184
57.93437 °
58.379o6o
58.69556o
59.062500
59.302428
59.515447
59.8o1793
6o.o313oo
6o.3o3512
60.560064
60.902626
6t.213°°5
61.66o194
61.9o9792
62.2t8o2I
62.454640
62-688465
P =
4
K = 4oo
215.°9562°
216.94955 o
2J7"6t°52°
2~9-31o81o
221.12463°
222.607480
224.537220
225.94464 °
226.52547 °
227.39234o
228.7o9i5o
229.923850
23t.22237o
232.355230
232"999740
233.248880
233.796510
234.41839 °
235"93277 °
237.o2ot9o
237.32o64 o
237.782560
238.514690
239.332310
239.920730
240.630640
241.45439o
242.2~3o8o
243 1256oo
243.2456oo
244"45432°
245.442010
246'337t5°
246.449030
247"43777 °
248.124280
248.270330
248.559440
249.243910
249'942670
250.677120
25t-62112o
252.2741oo
252.634200
253"558800
l' =
4
K = 9oo
511-73647 °
517.45895 o
52o'147oo0
522 46982o
523 384920
526.786t2o
527.900600
529.955 l o o
534.871270
537-34t37 o
538.54265 °
541.7229o o
542.395400
543.498020
545"72375 °
547-052320
548.37477 °
548.998620
549"94°t7 °
55o.96597 o
551.34347 °
551.9613oo
552.83737 °
553-977o7 o
555 3355 °0
555.55245 °
558.16937o
559.452~7o
56°'46372°
56o-92557 o
56124732°
562.32185 o
563'366500
564.506320
565't5487°
565.71595 °
566.68855 °
567.160650
567.5579 °0
568"044550
5 6 9 . 7 r 8 9 oo
569.98195 °
57o.986too
57t.47o7oo
572'f8172°
L'ASSURANCE ,,NON LIFE"
113
ANNEXE 2
MOYENN]~ IMAGE S T A T I S T I Q U E
5°
5t
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
7°
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
8I
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
P=
9
K = IOO
P=
4
K = 400
P =
4
I f = 900
63.28t537
63.442t67
63.78o96o
64. t55385
64 36137 o
64.596761
64.986747
65.3t267 o
65.573835
66.064563
66.409206
66.811998
67.167274
67.585756
67.870540
68.235498
68.660640
69.o87292
69.484280
69.724957
7o.lot4ti
7o.462124
70.842231
7t.o5462o
7t.3945o7
72.221943
72.562167
73.005240
73.98J65o
74.365360
74 73°39 t
75.221394
75.99o143
76 529to5
77.o62385
77.792913
78.t61836
78.643232
79.271936
8o.366588
81.28o56t
82.014604
82.335445
83.[72634
84.217065
254.364600
254.85415o
255.47565 °
256.t72o5o
256.979270
257.879o7o
258.82515o
259.o76o5o
259.58792o
259.973470
26o.85r45o
26x.28642o
26t.77775o
262.279250
263.57152o
264.769520
265.318700
266.968570
267.368770
267 95407 °
268.842850
269.845420
270.402900
27t.t7242o
271.76o4oo
273.256020
274.205970
274.8L715o
275.543600
276.939600
277.878170
279.~4245o
28o.32842o
28t.o2765o
281.46437o
282.493o5 o
283.778820
286.053600
288.122ooo
289 826050
292.627520
294 12235o
295.037350
295.996720
296.82oo5o
573.246400
575.778500
577.061800
577.682500
578 308150
578.8279oo
58o.23587 o
58I.t65050
582 395100
583.98L670
586.t63400
586.98O2OO
587.568300
588.26915O
588.9962OO
590.505070
591-353350
592.198700
592.728650
593.66795 o
594.862800
595.904020
597.6t097 o
599.834L70
601.9~997 o
602.954800
6O4.94272O
605.311570
6O6.77652O
607.502750
6o9.33862O
611.430430
6t3.O5367 o
6t4.70175o
615.17482o
018.OO8920
6t8.507750
619.4024OO
619.65177 °
62t.163870
623.272720
625.7IO~OO
628.1~462o
629.48425 o
631.2246oo
1I 4
L'ASSURANCE ,,NON L I F E "
ANNEXE
MOYENNE
95
96
97
98
99
lOO
2
IMAGE
STATISTIQUE
P=
9
K = ioo
P=
4
K = 400
P=
K=
85.329858
86.798047
88-541oo6
89.685274
93.553544
98.349o9o
298.403600
3oi.98647o
3o5.57t35 o
3t2.24657o
3 [ 7 582720
323.6r222o
635.040100
639.847370
647-587 I2o
654.25782o
6 5 8 - 9 7 6 4 oo
668.64t27o
ANNEXE
PROBABII,tTES
K =
.0O
,0i
.02
• 03
• 04
.05
.06
.07
.08
.09
.I0
.lI
.I2
.I 3
• 14
•l5
.I6
.t 7
.18
.19
.20
.2I
.22
.23
.24
.25
.26
27
.28
.20
.3 °
.3 I
• 32
.33
.39
• 3 {}
.38
.38
.38
.37
.37
.37
.36
.36
.36
.35
.35
• 35
.35
.34
.34
-34
.33
.33
-33
.32
,32
• 32
.3 l
.3 j
.3 I
• 3o
.3 °
.3 °
.29
29
.29
. 2 9
4
1¢ =
43
42
42
4x
4t
4°
39
• 39
• 38
.38
• 38
.37
.36
.36
.35
.35
.34
,34
.34
.33
.32
.32
-31
.31
.3 I
.3 °
3°
,29
.29
.28
• 27
.27
.27
.26
9
4
900
3
1)' E C A R ' F S D I E F A V O R A B L E S
K = 25
I(
-~-
IOO
K =
400
]f =
-45
44
.43
.42
.41
.4 °
• 39
.38
.37
.37
.36
-35
-35
.34
.33
.32
.31
• 3°
.29
.29
.28
.27
,27
.26
.25
.24
.24
,23
.47
.45
.42
.4 I
.39
.38
.36
.34
.33
.3 l
• 29
.27
.26
.24
.23
23
.48
.45
.4 °
.36
.34
.3 °
.27
.25
.49
.22
.ll
.20
08
o6
.04
.o 4
.o3
.02
21
.o6
.o5
• 04
.03
.03
.O3
.22
.09
.08
• 07
.06
.06
.O5
2.2
.21
.20
.20
.
I9
t9
19
18
16
15
t4
I3
12
.II
.II
.IO
16
.I 4
.I 3
.12
.II
. 0 9
.02
.02
.0'2
O. 00
. 4 2
.38
.3 t
.28
.23
.20
.16
•
0. O 0
900
L'ASSURANCE
,,NON
115
LIFE"
ANNEXE 3
PROBABILITES
K
.34
.35
.36
.37
.38
.39
•4 °
• 41
.42
.43
.44
.45
•46
.47
.48
.49
.5o
.55
.60
.65
•7°
-75
• 80
.85
9°
-95
I . OO
•
I .05
I.IO
1.15
I .20
i .25
t. 30
i "35
I .4 °
i -45
I .5 °
I. 60
I . 7°
I .8o
i .90
2. oo
2.io
2.20
2.30
2.4 °
=4
K=
9
.28
.28
.26
.26
.28
.28
.27
.27
.27
.27
.26
.26
.26
.26
D'ECAIZTS
K =
25
K
=
• t9
.o5
• t9
.04
.25
.25
.24
.24
.24
.23
.23
.22
.22
.22
• i8
.04
• 18
.o 4
• 17
.o3
• 16
. o 3
• 16
.o2
• 15
.02
• 15
.o2
• 14
. o2
.25
.25
.25
.25
.21
.2i
20
.20
• 24
.19
.i 3
.i2
.t2
.ii
.ii
.23
.22
.2t
.20
.19
• t8
.18
.I 7
.16
. r5
.13
. i2
.17
.16
.ti
.io
I5
14
~4
~3
i2
12
.o9
.o8
.08
.07
.06
.06
I t
II
lo
.o 5
1o
• o9
•0 9
.08
.07
.06
.05
.05
.04
• 04
.03
.03
.0 4
.04
.03
. o3
.o3
.02
.02
• 14
.02
• 13
.02
.09
.07
.06
.05
• 04
•0 4
.03
.03
.02
.02
o.oo
DEFAVOI~ABLES
IOO
K
=
400
K
=
9oo
116
L'ASSURANCE ,,NON L I F E "
ANNEXE 3
P I { O B A B I L I T E S 1)' E C A R T S 1 ) E F A \ r O R A B L E S
1£ = 4
2.5o
2.60
2 . 7°
2.80
K = 9
K -
25
K =
lOO
K = 400
K = 900
.03
.02
.o2
.02
ANNEXE 4
TAUX RELATIF
/f = 4
oo
.o2
,o 4
.06
.08
.io
.12
.I 4
.16
.18
.20
•
.22
.24
.26
.28
.3 °
.32
-34
.36
38
•
.4 °
• 42
.44
• 46
• 48
.50
.52
.54
.50
.58
.60
.62
64
.66
.68
7°
•
•
376531o
36878o0
36118o0
3537220
346365 °
339165o
3320760
325o76o
318267 °
3~1548o
3049480
2984690
2921050
2859050
2798300
2738540
2680540
2622780
2566780
251175o
2457750
2404620
2352620
23o149o
2251490
.220198o
.2153980
.2106540
2060540
.201536o
.197136o
.192771o
.1885710
.1843710
.t8034IO
.I7634IO
K=9
.2543780
.2459150
.23769oo
.2296910
.22189to
.2142910
.2069000
.1997410
.1927430
.1859430
.1793500
.t7296IO
.166761o
.16o718o
.1548660
.1492660
.r43866o
.t38582o
.1334460
.128468o
123668o
.119o39o
.1145540
.ItO251o
.1o6o64o
.1o2o67o
.0982070
.o94472o
.0908720
.o87331o
.o839310
.o806210
.o7742~o
.O742210
.o712180
.O682180
K =
D E S T O P LOSS
25
.1556800
.146896o
,t38518o
.~3o499o
.1228360
.1154460
.1083520
.1015860
.095144 °
.o89o72o
.0832960
.o77824o
.0726640
.0677780
o63195 o
•o5883oo
.054737 °
•0508430
.04714o0
.0436230
.o4o342o
.o37294o
.0344200
.o31768o
.0292960
.0270790
.0250350
.o23o35o
.0212250
.0195400
.o1797oo
.ol657oo
O152240
0140240
.O12888o
.ot18880
K = 400
K = 400
]4 = 900
•0775030
.0685930
,o6o4o4o
•0528960
•0460660
•0399620
.0345960
.0297300
.025263 °
.0213450
.ot7846o
.oi4795o
.o1224oo
•oo9943 o
.oo7951o
.0064150
.oo5119 o
.oo4o51o
.oo3154o
.0023860
.oo184oo
oo144oo
.oolo4oo
.ooooooo
.0409380
.o32132o
.0248730
.o1876oo
.0138790
.OLOOO2O
.oo71~9o
.oo475io
•0029690
.oo1924o
.oo123to
.00o6380
.0002380
.O26O120
.O17429O
.OttO690
.OO63680
.oo33tlo
.oo17o[o
.0007950
.0002210
117
L'ASSURANCE ,,NON L I F E "
ANNEXE ,[
TAUX
N = 4
N = 9
• 75
.80
.85
.9 °
• 95
I.OO
t.o 5
.1667o7 o
,~57578o
.14889oo
,14o7t6o
.1328840
.t25498o
.1L8498o
I
.1[19ooo
.o61283o
.o54965o
.o49o94o
-o4384Io
•o 3 8 9 4 x o
.o34535o
03o5350
.0269620
.o237tlo
.o2o711o
.oi5858o
.o12o36o
.oo9o36o
.oo684oo
.0048400
IO
[.15
1.2o
1.3o
1.4o
t.5o
i 60
t.7 o
t.8o
i 90
2.00
2.20
2.40
2.6o
2.8o
2.98
.105454 °
.o99454 o
.0880160
.o778o3o
.o687o4o
.0605590
.o53405 °
.o47t58o
.o411620
.0361620
.O27344 o
.0204040
.oi51t8o
.Olli18o
o.ooooooo
I ~ E L A T I V 1)E S T O I ' I . O ~ S
A" ~ 25
.oo94t2o
.oo74t2o
.oo5812o
.oo4312o
.oo3~49o
.0022490
1¢ =
loo
Ix" = 400
1¢ :-~ 900