Toulouse – Devoir Commun aux classes de 1S – 26 Mai 2016. 3 h

Lycée Saint Sernin – Toulouse – Devoir Commun aux classes de 1S – 26 Mai 2016. 3 h
Le barème proposé est provisoire !
Exercice 1
a-
(4 points)
(NB : les 5 exercices numérotés a, b, c, d, et e qui suivent sont indépendants et
directement inspirés de « Savoir-faire » de votre livre)
Résoudre dans  l’inéquation : -5x² + 2x < 3.
2
3x²  5
1En utilisant l'inverse d'une fonction, donner le sens de variation de f sur son ensemble de définition.
2Calculer la dérivée de f en exprimant clairement la ou les formules que vous avez utilisées. Retrouver
ensuite ses varaitions sur 
b-
On considère la fonction f définie par f(x) =

cOn donne un pointA du plan et un vecteur u . Déterminer une équation de la droite d passant par A(1; 3) et de vecteur directeur u (-2 ; 5)
d-
Soit h la fonction définie sur  par h(x)=x3-3x+2.
1. Construire le tableau de variations de h sur  et en déduire le signe de h sur [-1 ; +[
2. Calculer h(-2) et en déduire le signe de h sur ]- ; -1].
3. En déduire que, pour tout x de [-2; +[, x3  3x – 2
e-
Résoudre dans ]-2π; π] l'équation cos x =
Exercice 2
2
et représenter ses solutions sur le cercle trigonométrique.
2
(3 points)
Soit A et B deux points tels que AB = 4 et K le milieu du segment [AB].
1Démontrer que pour tout point M du plan, on a : MA² + MB² = 2 (KM² + 4)
2En déduire que l'ensemble des points M du plan tels que : MA² + MB² = 40 est un cercle C de centre K et
dont vous préciserez le rayon.
On se place désormais dans un repère orthonormé (O ; I ; J). On donne A (- 2 ; 2) et B (2 ; 2).
3Montrer que l’équation (4+x)(4-x) - (2-y)² = 0 est celle du cercle C (on cherchera le centre et le rayon.)
4Déterminer les coordonnées des (éventuels) points d'intersection de C avec l'axe des abscisses.
5Déterminer une équation de la tangente au cercle C en D( 2 3 ;0)
Exercice 3
(2 points)
Exercice 4
(1,5 points)
 
A, B, C et D sont 4 points distincts. Dans chaque cas, calculer AB. AC
NB : 2/3 de la note est attribuée à l’argumentation de votre réponse numérique.
1)
ABCD est un rectangle avec DC = 3.
2)
A appartient au segment [BC] avec AB = 1 et AC = 4.
 vaut 60°, AB = 3 et AC = 2.
3)
L'angle BAC
4)
ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AC = 6 et AD = 3.
5)
Dans un repère orthonormé, A(2 ; -3), B(4 ; 2) et C (-4 ; 1).
ABCD est un carré de côté 1. On note E et F les points caractérisés par les égalités vctorielles :
 3 
 1 
AE  AB et AF  AB .
2
3
En utilisant un produit scalaire, montrer que les droites (FC) et (DE) sont orthogonales. (NB : vous expliciterez
clairement la méthode utilisée.)
Exercice5
(5 points)
Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite u
où un désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année (2010 + n). En 2010, la forêt possèdait 50
milliers d’arbres. Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide
d'abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.
1Montrer que la situation peut être modélisée par : pour tout entier naturel n, un+1 = 0,95 un + 3 et u0 = 50.
2On considère la suite v définie pour tout entier naturel n par vn =60 - un.
aMontrer que la suite v est une suite géométrique de raison 0,95.
bCalculer v0. Déterminer l'expression de vn en
fonction de n.
Variables :
A et U sont des réels.
Démontrer que, pour tout entier naturel n,
N est un entier naturel
un = 60 -10  (0,95)n.
Initialisation :
3Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On
Affecter à U la valeur 50.
donnera une valeur approchée arrondie à l'unité.
Affecter à A la valeur U + 0,1 U
4aPour tout entier naturel n, factoriser
Affecter à N la valeur 0
la différence un+1 - un.
Traitement :
bEn déduire les variations de la suite u.
Tant Que U < A faire :
5Conjecturer la limite de la suite u. Donner une
Affecter à N la valeur N+1
interprétation du résultat pour cette forêt ainsi gérée.
Affecter à U la valeur U – 0,05U + 3
6L’algorithme ci-contre parle de notre forêt. Quelle
Fin Tant Que.
information sa “sortie” donne t-elle aux forestiers ?
Sortie : Afficher N
Exercice 6
(4,5 points)
Un QCM (questionnaire à choix multiples) est composé de cinq questions numérotées de 1 à 5.
Pour chacune d'elles, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte.
Partie A
Le candidat répond à ce QCM en cochant, au hasard et de façon indépendante à chacune des 5 questions. On
décide de donner au candidat un point par réponse exacte.
Soit X la variable aléatoire associant aux réponses du candidat la note ainsi obtenue sur 5.
1Justifier que X suit une loi binomiale et en préciser les paramètres.
2Quelle est la probabilité, qu'un candidat obtienne la note maximale ?
3On remplit un très grand nombre de QCM dans ces conditions. Chacun reçoit donc une note. De quelle
valeur s’approchera la moyenne de toutes les notes ainsi obtenues ?
4Etablir la loi de probabilité de la variable aléatoire X, en complétant un tableau donnant pour chaque note
possible sa probabilité. NB : On donnera les valeurs arrondies au millième des 6 probabilités demandées, puis
la valeur exacte de P(X = 3) en détaillant les calculs, sans forcément aller jusqu’au bout.
5. Quelle est la probabilité, qu'un candidat obtienne au moins deux points ?
Partie B
Pour pénaliser les candidats qui ne comptent que sur le hasard, on décide de toujours accorder 1 point par réponse
exacte, mais cette fois d'enlever 0,2 points par réponse inexacte.
Soit Y la nouvelle variable aléatoire associant aux réponses du candidat, la note obtenue sur 5.
1.
Donner les 6 valeurs que peut prendre la variable aléatoire Y
2.
La variable aléatoire Y suit-elle une loi binomiale et pourquoi ?
3.
Prouver qu'avec cette nouvelle règle, la variable aléatoire Y s'exprime en fonction de l’ancienne X, par :
Y = l,2X – l.
4.
Quel calcul montre que l’objectif fixé est atteint?