Correction - Laboratoire de Physique des Solides

DEA DE PHYSIQUE DES SOLIDES ET MILIEUX DENSES
Juin 2004
CORRIGÉ
I A) 1) Le réseau ne possède pas de symétrie d’ordre 6, bien que les plans (a,b) aient
cette symétrie.
b
C
D
(1/3,2/3,2/3)
(2/3,1/3,1/3)
A
a0 B
a
E
Figure 1: Projection de la structure du Bi dans la direction c. Les cercles représentent les
centres de gravité des paires Bi-Bi dans le plan z/a=0 (blanc), z/a=1/3 (orange), z/a=2/3
(orange clair).
2) La symétrie selon c est d’ordre 3. Le réseau appartient soit au système trigonal soit
au système cubique.
−→ −→
−→
3) La maille primitive définie par AB, AD et AE est rhomboédrique de paramètres
(a0 ,α0 ). Le paramètre a0 est le module du vecteur 13 (2a + b + c).
a0 =
1√ 2
1√ 2
4a + b2 − 2ab + c2 =
3a + c2 = 4.7458 Å
3
3
L’angle α0 est l’angle d’un triangle isocèle de base BD=a. On a
a
2aR
= 57, 23◦
cos(α0 /2) =
α0
4) Pour le réseau c.f.c., la maille primitive rhomboédrique la plus simple est formée
des vecteurs de√base (0,1/2,1/2), (1/2,0,1/2) et (1/2,1/2,0). Le module des deux premeirs
vecteurs vaut a 2/2 et ils font entre eux un angle αF = 60◦ . En effet :
√
1 1
2 2 1
cos αF = ( . )/(
) =
2 2
2
2
La valeur obtenue α0 = 57, 23◦ montre que le maille rhomboédrique du Bi est proche de
celle du c.f.c. et confirme que le système cristallin du Bi n’est pas cubique mais trigonal. On
1
a choisi de décrire cette structure par une maille hexagonale multiple non conventionnelle. La
direction c de la maille hexagonale est dans la direction [111] de la maille R et pseudo-c.f.c.
5) La figure 2 montre que les atomes en (0, 0, 0.234)H , représentés en bleu, forment un
réseau voisin d’un c.f.c. et les atomes en (0, 0, −0.234)H (en mauve) forment un autre réseau
c.f.c. décalé selon la grande diagonale de 0.234×2= 0.468. On peut donc décrire la structure
du Bi à partir d’une structure cubique simple, subissant deux distorsions i) un déplacement
interne des deux sous-réseaux c.f.c le long de la diagonale (111) et ii) une distorsion trigonale.
Ainsi, si les atomes étaient aux coordonnées réduites (0, 0, v) et (0, 0, −v), avec v = 0.25, le
réseau mauve serait décalé d’une demi-maille selon la grande diagonale : la structure serait
rhomboédrique de maille deux fois plus petite.
On interprète cette structure comme due à une distortion de « Peierls » des chaînes de
Bi dans la direction [111].
6) La distance entre les deux atomes de Bi est
2vc = 5.55 Å
Les atomes premiers voisins sont par exemple en (00v) et en (1/3, 2/3, 1/3 − v). On
trouve que :
v
1
a2
d1er =
+ ( − 2v)2 c2 = 3.0725 Å
3
3
C-1) La maille H contient six atomes par maille : trois nœuds fois deux atomes du motif.
2) Inversions rotatoires : 3 selon c. Rotations : axes d’ordre 2 dans les directions secondaires (a, b et -a-b), Réflexions : orthogonales aux A2 dans les direction tertiaires (2a+b,
-a+2b, -a+b). La structure est centrosymmétrique, le centre de symétrie est situé entre deux
Bi bleu et mauve. Par composition avec les translations, on obtient aussi des translations
hélicoïdales 31 , 32 et 21 et des réflexions avec glissement c, qui ne sont représentées.
3) Le groupe d’espace est donc R3m et la classe de symétrie 3m.
D1) La symétrie du réseau réciproque est la même que celle du réseau direct. C’est la
classe du réseau rhomboèdrique 3m.
2) Le réseau réciproque s’obtient à partir de la maille réciproque de la maille hexagonale
et des conditions d’existence dues à sa multiplicité. La maille réciproque est hexagonale de
paramètres :
a∗
c∗
α∗
γ∗
=
=
=
=
b∗ = 2π/(cos(30◦ )a)
2π/c
β ∗ = 90◦
60◦
Les conditions d’existence pour un nœud (hkl) situé à q s’écrivent q.τ où τ pointe
de l’origine vers les nœuds de la maille. On trouve donc, pour les nœuds de coordonnées
(2/3,1/3,1/3) et (1/3,2/3,2/3) :
2h + k + l = 3n
h + 2k + 2l = 3n
2
Figure 2: Représentation de la structure du Bi, mettant en évidence sa similitude avec le
réseau cubique simple. Le motif est représenté par un atome bleu et un atome mauve.
z=2/3
z=1/3
M
Figure 3: Réprésentation schématique des principaux éléments de symétrie du groupe 3m
selon l’axe de symétrie 3.
3
Ces deux conditions sont en fait équivalentes (il suffit d’ajouter −3h − 3k − 3l à la première
équation). Dans la direction c∗ , les premiers nœuds sont (003) et (006). Ceci est dû à la
périodicité des plans réticulaires (00l), qui est de c/3 dans la maille hexagonale.
3) Les paramètres réciproques valent :
a∗
c∗
α∗
γ∗
=
=
=
=
b∗ = 1, 596 Å−1
2π/c = 0, 53 Å−1
β ∗ = 90◦
60◦
II A1) La longueur de diffusion d’un atome s’écrit :
b = bth
]
ρe (r)e−iq.r d3 r =bth f (q)
où bth est la longueur de Thomson, ρe (r) la densité électronique de l’atome et q le vecteur de
diffusion. f (q) est le facteur de diffusion, qui dépend principalement du vecteur de diffusion
si l’énergie des photons incidents n’est pas voisine de celle d’un seuil d’absorption du Bi.
2) Le facteur de structure du motif s’écrit :
F (q) = fBi exp(2πlv) + fBi exp(−2πlv)
= 2fBi cos(2πlv)
L’intensité vaut donc :
2
cos2 (2πlv)
I(q) = 4fBi
2
(1 + cos(4πlv))
= 2fBi
3) Avec v = 0.25 − 0.016 = 0.25 − δ. On trouve :
2
I(q) = 2fBi
(1 + cos(4πlδ)) pour l pair
2
= 2fBi (1 − cos(4πlδ)) pour l impair
Si 4πlδ
1, (soit si l
(4πδ)−1 = 4.97) on peut développer le cosinus. On trouve alors
deux types de taches de Bragg, fortes pour l pair et faibles pour l impair :
2
(1 − 0, 01l2 ) pour l pair
I(q) = 4fBi
2
0, 01l2 pour l impair
= 4fBi
Si v = 1/4, on aurait :
2
pour l pair
I(q) = 4fBi
= 0 pour l impair
Ceci est dû au fait que si v = 1/4 la maille serait deux fois plus petite, comme indiqué
au A). La périodicité réelle serait deux fois plus courte dans la direction c, et donc deux
4
4
(006)
I/f
2
3
Oscillation
due au
phonon cohérent
2
1
0
Position
d'équilibre
Position
(003) avant fusion
0,000
0,005
0,010
δ (= 0.25-u )
0,015
0,020
Figure 4: Intensité normalisée des réflexions (003) et (006) en fonction de la distance entre
atomes de Bi.
fois plus grande dans la direction c∗ . Il y aurait donc une condition d’existence des taches
l = 2(3n) = 6n ce qui correspond à la condition trouvée.
B)1) Les valeurs des intensités des deux premières réflexions sont :
2
I(003)/fBi
= 2(1 − cos(12πδ))
2
I(006)/fBi = 2(1 + cos(24πδ))
2) Comme toutes les mailles se comportent de la même façon, le calcul de l’intensité est
le même que précédemment, avec δ = δ(τ ). On vérifie que les formules donnent bien une
variation des intensités en opposition de phase. La période d’oscillation est également la
même.
3) Comme la distance entre les deux atomes du motif varie et que les mailles vibrent en
phase, il s’agit d’un mode de phonon optique en centre de zone (q = 0). La période entre
les oscillations est de 467 fs, ce qui correspond à une fréquence de 2,12 THz.
4) On peut mesurer la fréquence des phonons par diffusion inélastique des neutrons, ou
bien, comme il s’agît d’un phonon optique en centre de zone par des méthodes optiques. La
valeur obtenue par diffraction résolue en temps est inférieure à la valeur mesurée par d’autres
méthodes. Ceci peut être dû à un effet d’anharmonicité, car les déplacements du phonon
cohérent sont assez grands (voir ci-dessous).
5) L’intensité normalisée calculée (I/f 2 ) de la réflexion (006) est 2.71283. Le maximum
d’intensité mesuré est 1.06×2.71283=2.8756, ce qui correspond à δ = 0.0148 d’après la
formule ci-dessus. Pour la réflexion (003), l’intensité calculée vaut 0.35293. Le minimum
mesuré est 0.8×0.35293=0.2823, ce qui correspond à δ = 0.0143. On déduit de ces chiffres
que la distance entre les atomes de Bi varie de
2(δ − 0.016)c = 0.035(5) Å
(Comme on le verra dans la suite, si on tient compte de la pénétration de la lumière laser dans
la couche cette valeur augmente légèrement à 0.05 Å).Rem. On peut estimer le déplacement
5
quadratique moyen uT en écrivant le théorème d’équipartition de l’énergie :
1
1
Mω2 u2T = kT.
2
2
Avec MBi = 209,on trouve :
uT = 0.002 Å
Le déplacement induit par le laser est donc dix fois plus grand que le déplacement thermique
moyen.
C1) L’espace réciproque d’un liquide n’est plus formé de pics de Bragg mais d’anneaux
diffus caractéristiques d’un liquide. La diminution de l’intensité est due à la disparition d’une
partie de la diffraction à cause de la couche liquide. De plus, comme les modes de phonon
optique n’existent pas dans un liquide, on a pas d’effet d’oscillation cohérente.
2) L’intensité mesurée est égale à la somme de l’intensité diffractée par la partie illuminée
Ii et la partie non éclairée. L’intensité diffractée étant proportionnelle au volume diffractant,
pour une profondeur de pénétration de 22 µm sur 50 µm on a :
28
I0 = I0
50
28
Ii (τ Max ) + I0 = 1.2I0
50
Ii (τ 0 ) +
On trouve alors que :
Ii (τ Max ) = xIi (τ 0 )
avec
x=
1.2 − 28/50
= 1.4545
1 − 28/50
Le maximum d’intensité mesuré est donc égal à 1.4545×2.71283=3.946, ce qui correspond à
δ = 0.003. La distance entre Bi a varié de 2(δ − 0.016)c =0.3 Å.
3) Les domaines se recristallisent en gardant la direction c normale à la couche, leur
orientation dans le plan (a,b) étant aléatoire (c’est un polycristal à 2D). Comme la direction
(00l) est commune aux domaines : les reflexions (00l) restent mesurables alors que les autres
taches s’étalent en anneaux de poudre.
4) D’après le critère de Lindemann, un cristal fond lorsque l’écart quadratique moyen des
déplacements atomiques atteint 10% de la distance premier voisins. Dans cette expérience,
le cristal fond quand l’amplitude du déplacement vaut ∼ 10% de d1er , en accord avec le
critère. Malgré cet accord, il faut remarquer que ce type de fusion n’est pas thermique, car
il prend place en moins d’une ps : c’est une fusion athermique.
6