CLASSEMENTS, SCORES ET PROBABILITÉS DE VICTOIRE

CLASSEMENTS, SCORES ET PROBABILITÉS DE VICTOIRE :
CONSTRUCTION D’UNE RÈGLE DE HANDICAP DE JEU
Loïc Champagne, Alain Coupet & Léo Gerville-Réache
Université bordeaux Segalen - UFR STAPS, Avenue Camille Jullian 33607 Pessac Cedex
Introduction : autour de l’écart de niveau
entre deux joueurs…
Méthode de construction d’une règle de
handicap
Joueur A
Joueur B
Niveau du
Joueur A
Méthode de
classement
Niveau du
Joueur B
Estimation
Estimation
Classement du
Joueur A
Ecart de
classement
Jeu à somme
nulle
Comptage du
score
Classement du
Joueur B
Modèle
Bradley-Terry
Probabilité
victoire partie
Probabilité
victoire point
p ≠1/2
p = 1/2
Score avec
Handicap=1,2,…
Règle de
Handicap
Règle de classement
Joueur A
Joueur B
Niveau du
Joueur A
Méthode de
classement
Niveau du
Joueur B
Estimation
Estimation
Classement du
Joueur A
Ecart de
classement
Jeu à somme
nulle
Comptage du
score
Classement du
Joueur B
Modèle
Bradley-Terry
Probabilité
victoire partie
Probabilité
victoire point
p ≠1/2
p = 1/2
Score avec
Handicap=1,2,…
Règle de
Handicap
Tableau d’attribution des points en fonction de l’écart
de classement entre les joueurs A et B (FFTT-2012)
COMPTAGE DES POINTS
ECART DE VICTOIRES DÉFAITES VICTOIRES DÉFAITES
POINTS NORMALES NORMALES ANORMALES ANORMALES
0-24
6
-5
6
-5
25-49
5,5
-4,5
7
-6
50-99
5
-4
8
-7
100-149
4
-3
10
-8
150-199
3
-2
13
-10
200-299
2
-1
17
-12,5
300-399
1
-0,5
22
-16
Un joueur classé à 1400
400-499
0,5
0
28
-20
qui rencontre un joueur
500+
0
-29
(mieux0classé) à 152040
Probabilité de victoire de la partie
Joueur A
Joueur B
Niveau du
Joueur A
Méthode de
classement
Niveau du
Joueur B
Estimation
Estimation
Classement du
Joueur A
Ecart de
classement
Jeu à somme
nulle
Comptage du
score
Classement du
Joueur B
Modèle
Bradley-Terry
Probabilité
victoire partie
Probabilité
victoire point
p ≠1/2
p = 1/2
Score avec
Handicap=1,2,…
Règle de
Handicap
Principe du jeu à somme nulle
Soit KA, le nombre de points gagnés par A s’il sort
vainqueur contre B (A étant le mieux classé).
}  Soit KB, le nombre de points perdus par A s’il sort
perdant contre B.
} 
KB
PA =
K A − KB
} 
On veut : PA K A + (1 − PA ) K B = 0 et donc
} 
On est donc en mesure de calculer, pour les KA et KB du
tableau précédent, la probabilité que le mieux classé sorte
vainqueur (PA).
Lissage des probabilités de victoire par le
modèle de Bradley-Terry
1,00
0,90
0,80
0,70
Probabilité Victoire normale
Probabilité Defaite normale
0,60
Probabilité moyenne
0,50
0,40
0
} 
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Un lissage permet d’associer, à tout écart de classement entre
deux joueurs, une probabilité de victoire pour le joueur le
mieux classé.
Probabilité de victoire d’un point
Joueur A
Joueur B
Niveau du
Joueur A
Méthode de
classement
Niveau du
Joueur B
Estimation
Estimation
Classement du
Joueur A
Ecart de
classement
Jeu à somme
nulle
Comptage du
score
Classement du
Joueur B
Modèle
Bradley-Terry
Probabilité
victoire partie
Probabilité
victoire point
p ≠1/2
p = 1/2
Score avec
Handicap=1,2,…
Règle de
Handicap
De la probabilité de gagner la partie à la probabilité
de gagner chaque point et vis et versa
} 
Au tennis de table, une partie « classique » se joue au
meilleur des 5 manches de 11 points.
} 
La règle de handicap que l’on cherche consiste à donner :
} 
} 
} 
} 
Un même nombre de points d’avance (H),
au joueur le moins bien classé,
à chaque manche.
Il est ici possible de mettre en relation la probabilité de
victoire d’une partie à handicap P(p,H) en fonction de la
probabilité, p, de victoire du point.
De la probabilité de gagner la partie à la probabilité
de gagner chaque point et vis et versa
Soit PGM(p,H) la probabilité de gagner une manche avec le
handicap H
}  Soit P(p,H) la probabilité de gagner la partie avec le
handicap H
} 
𝑃(𝑝, 𝐻 ) = 𝑃𝐺𝑀 (𝑝, 𝐻 )3 + 3𝑃𝐺𝑀 (𝑝, 𝐻 )3 ,1 − 𝑃𝐺𝑀 (𝑝, 𝐻 )/
+6𝑃𝐺𝑀 (𝑝, 𝐻 )3 ,1 − 𝑃𝐺𝑀 (𝑝, 𝐻 )/
2
(1)
avec 𝑃𝐺𝑀 (𝑝, 𝐻 ) = ∑9𝑖=0 𝐶 (11 + 𝑖 − 𝐻 − 1; 𝑖 )𝑝11−𝐻 (1 − 𝑝)𝑖
+𝐶 (20 − 𝐻; 10)𝑝
11−𝐻 (
1−𝑝
)9
𝑝(1−𝑝)
1−2𝑝(1−𝑝)
Règle de handicap de jeu
Joueur A
Joueur B
Niveau du
Joueur A
Méthode de
classement
Niveau du
Joueur B
Estimation
Estimation
Classement du
Joueur A
Ecart de
classement
Jeu à somme
nulle
Comptage du
score
Classement du
Joueur B
Modèle
Bradley-Terry
Probabilité
victoire partie
Probabilité
victoire point
p ≠1/2
p = 1/2
Score avec
Handicap=1,2,…
Règle de
Handicap
Construction de la règle de handicap
} 
Par résolution de l’équation pour H=0, 1, 2,…, on obtient la probabilité de gagner le point, pH,
pour un handicap H qui conduit à une probabilité de gagner la partie P(pH,H)= ½.
} 
Par calcul direct de l’équation pour tout H on obtient alors la probabilité de gagner la partie
sans handicap P(pH,0).
} 
Par mise en correspondance P(p,0) et P(pH,0), on obtient les écarts de points de classement
équivalents à chaque handicap H.
200 points d’écart
Handicap
0
6
5
4
3
2
1
0
50
100
150
200
250
300
y = 0,010x
Ecart de classement
350
400
450
500
La règle de handicap de jeu
} 
Les étapes précédentes conduisent à proposer une règle
de handicap de jeu remarquablement simple.
} 
En effet, la relation entre les écarts de classement et les
handicaps est raisonnablement linéaire.
} 
La règle que nous proposons est la suivante.
Ecart de classement
Avantage du moins bien classé
0-­‐99
100-­‐199
200-­‐299
300-­‐399
400-­‐499
500-­‐599
0
+1
+2
+3
+4
+5
600-­‐699 700 et plus
+6
+7
Discussion
} 
} 
Il reste à expérimenter la règle sur divers tournois pour en mesurer les
éventuels effets « imprévus ». C’est programmé…
Mais également…la question de la vitesse de convergence du classement
vers le niveau… la question de l’équivalence de classement entre
différents sports…
Bibliographie
[1] Bradley, R.A. and Terry, M.A. (1952). Rank analysis of
incomplete block designs. Biometrika, 39, 324-345.
[2] Binmore K. (1999). Jeux et théorie des jeux. Edition DeBoeck
Université.
[3] Gerville-Réache L. & Paris N. (2009). Evolution de la méthode
de classement au tennis : Approche par simulation probabiliste.
Actes de l'ACAPS (pp. 563-564). Lyon : 28-30 octobre.
[4] Coupet A. Gerville-Réache L. (2007). Comparison between
table tennis scoring systems (11 & 21 points) by probabilistic
simulation, The proceedings of the ninth International Table
Tennis Federation sports science congress, Beijing, 33-40.