L3 – TDs de soutien en Math Opérateurs linéaires - Inac
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L3 – TDs de soutien en Math Opérateurs linéaires - Inac
Université Joseph Fourier L3 Physique Julia Meyer [email protected] L3 – TDs de soutien en Math Opérateurs linéaires Plus d’informations sur les TDs de soutien en Math se trouvent à : http://inac.cea.fr/Pisp/julia.meyer/math-L3_SOUTIEN.html Algèbre: Soit a, b, c ∈ E, donc a + b, a · b ∈ E a+b=b+a a · (b + c) = a · b + a · b, (a + b) · c = a · c + b · c (a · b) · c = a · (b · c) ∃0∈E : a+0=a ∃1∈E : 1·a=a·1=a ∃ − a ∈ E : a + (−a) = 0 ∃ 1/a ∈ E : (1/a) · a = a · (1/a) = 1 [A, B] = A · B − B · A Opérateurs linéaires: O[λf1 + µf2 ] = λO[f1 ] + µO[f2 ] (u, Ov) = (O† u, v) Ovn = λn vn (λn valeur propre, vn vecteur propre) Df (x) = f 0 (x) Xf (x) = xf (x) 1. Quelques exemples d’opérateurs linéaires a) Démontrer que D2 − X 2 = (D + X)(D − X) + 1 = (D − X)(D + X) − 1. En déduire, [D − X, D + X] et [D2 − X 2 , D ± X]. b) Démontrer que exp[P −1 AP ] = P −1 exp[A]P où A, P sont deux opérateurs linéaires. 2. Equation d’onde Résoudre l’équation d’onde 2 ∂2 2 ∂ u − c u=0 ∂t2 ∂x2 avec les conditions initiales u(x, 0) = f (x) et ∂t u(x, t)|t=0 = g(x). 3. Fonctions d’Hermite Soit les fonctions d’Hermite hn (x) = Cn (−1)n exp x2 dn exp −x2 . n 2 dx On peut démontrer que les fonctions hn forment une base. Démontrer que pour l’opérateur H = −D2 + X 2 , nous avons Hhn (x) = (2n + 1)hn (x). Donner alors la représentation de H dans la base des hn . 1 4. Valeurs et vecteurs propres Soit 0 −1 1 1 . 0 1 1 M = 3 −4 Déterminer les valeurs et vecteurs propres. En déduire les valeurs et vecteurs propres de exp[tM ]. 5. Oscillateur harmonique On définit A = D + X. a) Trouver A† . En déduire [A, A† ] = 2. b) Ecrire H = −D2 + X 2 en fonction de A et A† . c) Soit HψE = EψE . Trouver HA† ψE . d) Il existe une fonction ψ0 pour laquelle Aψ0 = 0. Trouver Hψ0 . En déduire ψ0 . e) Soit Hψn = (2n + 1)ψn . Utiliser les résultats ci-dessus pour déterminer ψn . 2