MOMENT D`UNE FORCE
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MOMENT D`UNE FORCE
http://sbeccompany.fr MOMENT D’UNE FORCE – MOMENT CINETIQUE I – Moment d’une force Le moment d’une force F , appliquée en un point M, par rapport à un point O, est défini par : mO F = OM ∧ F ( ) M : moment de F par rapport à O en N.m (≡J) (le moment scalaire peut être perçu comme l’énergie pour mettre en rotation un objet autour d’un axe défini par la direction du vecteur moment et dans un sens lié au sens du vecteur moment). support : ∆ ⊥ OM & ∆ ⊥ F mO F = sens : défini par le sens de rotation intensité : mO F = OM ⋅ F ⋅ sin OM , F ( ) ( ) ( ) Le sens du vecteur moment est définit à l’aide du produit vectoriel. En clair, M, OM et F doivent former un trièdre direct (règle du tire-bouchon ou des trois doigts). Si la force F fait tourner le vecteur OM dans le sens trigonométrique direct, alors M « rentre » dans la feuille et inversement (même comportement qu’une vis qu’on tourne dans un sens ou dans l’autre). Le moment scalaire est maximum pour un angle entre les deux vecteurs de 90° et est nul lorsqu’ils sont colinéaires. Il peut être aussi calculer rapidement par le produit de la distance orthogonale d(O,F) (bras de levier) et de l’intensité de la force : mO ( F ) = F .d d F O mO ( F ) M II – Moment cinétique Le moment cinétique d’une masse m de quantité de mouvement p , située au point M, par rapport à un point O, est défini par : LO = OM ∧ p L : moment cinétique de m par rapport à O en kg.m2.s-1 Les règles du produit vectoriel sont donc toujours appliquées (pour le sens, la direction et l’intensité). ( LO = OM ⋅ mV ⋅ sin OM , p ) Tout comme le moment d’une force, le moment cinétique dépend donc du point O choisi. Le moment cinétique est nul si les vecteurs OM et p sont colinéaires. O LO M p Dans le cas particulier d’un mouvement de rotation autour de O, on a LO = rmV . III – Théorème du moment cinétique Le théorème du moment cinétique établit un lien entre la variation du moment cinétique et le moment de la force en un même point. Ce théorème est l’équivalent du principe fondamental de la dynamique qui établit un lien entre la variation de quantité de mouvement et la force appliquée. F ⋅ dt = d P ⇔ OM ∧ F ⋅ dt = OM ∧ d P ( or ) d OM ∧ P = dOM ∧ P + OM ∧ d P =V ⋅ dt ∧ m ⋅ V + OM ∧ d P =0 = OM ∧ d P donc OM ∧ F dt = d OM ∧ p ⇔ mO F ⋅ dt = d LO ( ) ( ) ( ) d L mO F = O dt ( ) Remarques : - on a utilisé le PFD, il faut donc être dans un référentiel Galiléen. - ce théorème est donc valable même avec une masse variable. - pour le vecteur vitesse du point (dérivée du vecteur OM) existe, il que O soit fixé. LO (t + dt ) mO F ⋅ dt ( ) LO ( t ) IV – Application : système matériel isolé 1) Système fermé de 2 points matériels Soit un système isolé constitué de deux points matériels exerçant l’un sur l’autre une force. D’après le principe d’action et de réaction on a : F1 2 = − F2 1 (OM ∧ F ) dt = d ( L ) (OM ∧ F ) dt = d ( L ) (OM ∧ F + OM ∧ F ) dt = d ( L + L ) ((OM − OM ) ∧ F ) dt = d ( L + L ) = 0 car OM ∧ F = OM ∧ F 1 21 1 21 1 1O 2 2 2 12 1O 21 12 1O 2O 2O 2O 1 21 2 21 Le résultat ci-dessus est valable pour un système isolé de n points matériels. Il en résulte la loi de conservation du moment cinétique d’un système isolé. 2) Système fermé de n points matériels ( ) n ext OM ∧ F + OM ∧ F dt = d Li O ∑ ∑k i j i i k i j , j ≠i n n n n ext ∑ ∑ OM i ∧ Fj i + ∑∑ OM i ∧ Fk i dt = ∑ d Li O i j , j ≠i i k i somme des moments ext / O Ltotal / O =0 n n ext ∑∑ OM i ∧ Fk i dt = d ∑ Li O = d Ltot i k i ( ) ∑ mF ( ) ( ) ext /O ( = d Ltot / O ( ( ) ) ( ) ( ) ) V – Application : mouvement à force centrale Mouvement d’un point matériel autour d’un point O fixe soumis à une force F toujours dirigée vers ce point fixe (exemple : un satellite assimilé à un point autour du centre de la Terre). mO ( F ) = OM ∧ F = 0 = d ( LO ) LO = OM ∧ mV = cste Cela implique que le mouvement du point M est contenu dans un plan orthogonal au vecteur moment cinétique. Mouvement à force centrale: coordonnées polaires z L0 k uθ O uρ ρ θ dθ y ρdθ M dρ x LO = mρ 2 dθ = cste dt dθ = C ⇒ ρ 2 ⋅ dθ = C ⋅ dt dt 1 2 C ρ ⋅ dθ = dS ⇒ dS = dt 2 2 ρ2 dS est la surface balayée par le vecteur OM pendant un instant dt. C S = t + C′ 2 On peut donc en conclure que pour des durées égales, les surfaces balayées par le rayon vecteur sont égale. Cette loi est connue sous le nom de loi des aires ou encore deuxième loi de Kepler (relative aux ellipses formées par les trajectoires des satellites et des planètes). t+2∆t S2 θ2 O θ1 t+∆t S1 S1 = S2 t En général, θ1est différent de θ2 VI – Moment d’un couple Un couple est constitué de 2 forces égales et opposées (même module, même direction, de sens opposé, mais pas colinéaires). Son moment est la somme de chacun des moments: mO F = OM1 ∧ (− F ) + OM 2 ∧ F soit : mO F = M1O ∧ F + OM 2 ∧ F qui s'écrit finalement : mO F = M1M 2 ∧ F ( ) ( ) ( ) Contrairement au moment d'une force, celui d'un couple est donc indépendant de l’origine choisie. Il est nul si les forces sont colinéaires, ce qui se conçoit aisément. VII – Moment par rapport à un axe En mécanique de rotation des solides, ou tout simplement lorsqu’on serre une vis, c’est le moment par rapport à l’axe (de la vis par exemple) qui est la valeur "efficace". Si le point O est sur cet axe, et si n est un vecteur unitaire de cet axe, le moment "efficace" par rapport à l’axe est donné par le scalaire : Μ = mO F ⋅ n ( ) Si le produit scalaire est > 0, le moment engendre une rotation dans le sens du tire-bouchon. Pour résoudre de petits problèmes, tels que celui du treuil et de sa manivelle, ou de la balance romaine, précisons que, pour qu’un système en rotation autour d’un axe ne soit pas accéléré (entre autres cas, immobile), il faut que la somme des moments, par rapport à cet axe, des forces extérieures appliquées soit nulle.