Université Paris-Est Marne-la-Vallée L2 Intégrales multiples

Université Paris-Est Marne-la-Vallée
L2
Intégrales multiples
Exercice 1. Calculer les intégrales doubles suivantes :
RR
a) D xydxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1}
RR
dxdy
2
b) D (1+x+y)
2 où D = {(x, y) ∈ R ; x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}
RR
c) D 2ydxdy où D = (x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 < x
RR
d) D min(x, y)dxdy où D = [0, 1] × [0, 1]
RR
RR
Exercice 2. Calculer D dxdy et D xdxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ 1}, en coordonnées
cartésiennes puis en coordonnées polaires.
Exercice 3.
Soit D le domaine défini par D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ x}.
1. Dessiner D.
2. En utilisant les coordonnées polaires, calculer l’intégrale
ZZ
I=
xy dxdy.
D
Exercice 4. Calculer les intégrales doubles suivantes (en passant en coordonnées polaires) :
RR
a) D 1+x12 +y2 dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ 1}
RR
1
2
2
2
b) D (x2 +y
2 )2 dxdy où D = {(x, y) ∈ R ; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, x + y ≥ 1}.
2
2
Exercice 5. a) Calculer l’aire intérieure de l’ellipse d’équation xa2 + yb2 = 1. On pourra faire le
changement de variable x = ar cos(u), y = br sin(u).
b) Calculer l’intégrale double suivante :
ZZ
x2 y 2
(x2 + y 2 )dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; 2 + 2 ≤ 1}.
a
b
D
Exercice 6. On pose DR = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ R2 } et on considère l’ intégrale
ZZ
2
2
IR =
e−x −y dxdy.
DR
1. Calculer IR .
2. En déduire la valeur de
RR
R2
e−x
2 −y 2
dxdy, puis celle de
R +∞
−∞
2
e−x dx.
Exercice 7. Soit p > 0, et D = {(x, y) ∈ R2 ; y 2 − 2px ≤ 0, x2 − 2py ≤ 0}. Calculer,
ZZ
3 +y 3 − x xy
dxdy
e
D
en utilisant le changement de variable x = u2 v, y = uv 2 .
1
RR
2
2
Exercice 8. Calculer D (x + y)2 ex −y dxdy où D = {(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1} en
utilisant u = x + y, v = x − y.
Exercice 9. Soit V le domaine défini par V = {(x, y, z) ∈ R3 ; x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x+y +z ≤ 1}.
1. Dessiner V .
2. Calculer le volume de V .
RRR
3. Calculer
V (x + y) dxdydz.
Exercice 10. Déterminer le volume de la boule unité B en dimension 3 :
B = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}
(passer en coordonnées sphériques).
Exercice 11. Calculer
ZZZ
I=
D
z3
dxdydz
(y + z)(x + y + z)
où D = {(x, y, z) | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1} (indication : on effectuera le changement
de variable u = x + y + z, v = y + z, w = z).
Exercice 12. Calculer les intégrales triples suivantes :
RRR
xzdxdydz pour D = {(x, y, z) ∈ R3 ; x ≥ y 2 , z ≥ 0, y ≥ 0, x + z ≤ 1}
a)
RRRD 2
3 2
2
2
2
b)
D x dxdydz pour D = {(x, y, z) ∈ R ; x + y + z ≤ a } (passer en coordonnées
sphériques)
RRR
2
2
3 2
2
c)
D (x + y )dxdydz pour D = {(x, y, z) ∈ R ; x + y ≤ 1; 0 ≤ z ≤ 1} (passer en
coordonnées cylindriques)
RRR
2
2
3
2
2
d)
D (x+y)(x +y )dxdydz, où D = {(x, y, z) ∈ R ; 1 ≤ x +y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1}
(utiliser les coordonnées cylindriques).
2