G.MANDALLAZ. Ecrit avec LATEX Ensemble Historique

G.MANDALLAZ.
Ecrit avec LATEX
Ensemble
Historique : Développée par Georg Cantor.
La théorie naïve des ensembles (théorie initiale) est contradictoire.
Elle reposait sur un principe central naturel : Si P (x) est une proposition significative alors il existe un ensemble
A dont les éléments sont les x qui vérifient P .
P (x) ↔ A = {x|P (x)}
Schéma d’axiome : Si P (x) est une proposition :
(∃A)(∀x)(x ∈ A ⇔ P (x))
A = {x|P (x)}
Paradoxe de Russel :
L’ensemble des ensembles qui ne sont pas élément d’eux même.
Posons P (x) ⇔ x 6∈ x (Appelons un tel ensemble x un ensemble normal).
Appelons χ l’ensemble des x tels que x 6∈ x (χ est l’ensemble des ensembles normaux) :
(∃χ)(∀x)(x ∈ χ ⇔ x 6∈ x)
χ est-il normal ?
1. χ 6∈ χ ⇒ χ ∈ χ : s’il est anormal alors il est normal.
2. χ ∈ χ ⇒ χ 6∈ χ : s’il est normal alors il est anormal.
Conclusion : χ 6∈ χ ⇔ χ ∈ χ, on a alors P ⇔ P : contradiction.
Idée de Zermelo-Fränkel (ZF) :
Le schéma d’axiomes naïfs est corrigé en un schéma d’axiomes de compréhension.
Soit P (x) une propriété significative, alors :
(∀E)(∃A)(∀x)(x ∈ A ⇔ (x ∈ E) ∧ P (x)) et on note A = {x ∈ E|P (x)}.
1
1
Axiomes de la théorie des ensembles
1.1
Axiome d’extensionnalité
Définition 1.1.1 A ⊂ B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Extensionnalité :
A = B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∀x)(x ∈ B ⇒ x ∈ A)
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
1.2
Axiome de l’ensemble des parties
Si A ⊂ E, on dit que A est une partie de E (ou un sous-ensemble de E).
Soit E un ensemble, il existe un ensemble (noté P(E)) dont les éléments sont les parties de E.
(∀E)(∃P)(∀x)(x ∈ P ⇔ x ⊂ E)
Exemple 1.2.1 Posons E = {1; 2; 3}.
P(E) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
1.3
Schéma d’axiomes de compréhension
Etant donné un ensemble E quelconque, et une propriété P (x), il existe un ensemble A dont les éléments x
sont des éléments de E.
(∀E)(∃A)(∀x)(x ∈ A ⇔ (x ∈ E) ∧ P (x))
Unicité de A : Soit x ∈ A ∩ B.
x est bien défini car (∀x)((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)).
x ∈ A ⇔ (x ∈ E) ∧ P (x).
x ∈ B ⇔ (x ∈ E) ∧ P (x).
Donc x ∈ A ⇔ x ∈ B et par l’axiome d’extensionnalité A = B.
On note A = {x ∈ E|P (x)}.
Ensemble vide : P (x) ⇔ x 6= x.
∅ = {x ∈ E|x 6= x}.
(∃∅)(∀x)(x 6∈ ∅).
Unicité de ∅ : Soient ∅ et ∅0 .
(∀x)((x 6∈ ∅) ∧ (x 6∈ ∅0 )).
(∀x) (x
∈ ∅} ⇔ x
∈ ∅}0 ) donc par l’axiome d’extesionnalité ∅ = ∅0 .
| {z
| {z
|
F
{z
F
}
V
2
1.4
Axiome de la réunion
Axiome de la paire :
Si x et y sont deux ensembles, il existe un ensemble t (noté t = {x, y}) dont les éléments sont x et y.
(∀x)(∀y)(∃t)(∀z)(z ∈ t ⇔ ((z = x) ∨ (z = y)))
L’ensemble t est unique (par extensionnalité) et on note t = {x, y}.
Si x = y alors z ∈ t ⇔ ((z = x) ∨ (z = y)) ⇔ z = x.
Dans ce cas, on a t = {x, x} = {x}.
Axiome de la réunion :
Soit E un ensemble.
Ses éléments sont eux-mêmes des ensembles.
Il existe un ensemble F qui regroupe tous les éléments
des éléments de E.
(∀E)(∃F )(∀t)((t ∈ F ) ⇔ (∃x)((x ∈ E) ∧ (t ∈ x)))
F est unique et
[s’appelle la réunion des éléments de E.
On note F =
x.
x∈E
Soient A et B deux ensembles, notons E = {A, B}.
Appliquons à E l’axiome de la réunion. Il existe F tel que :
t ∈ F ⇔ (∃x)((x ∈ E) ∧ (t ∈ x))
t ∈ F ⇔ (∃x)(((x = A) ∨ (x = B)) ∧ (t ∈ x))
t ∈ F ⇔ ((t ∈ A) ∨ (t ∈ B)).
On note F = A ∪ B.
Concl : t ∈ A ∪ B ⇔ ((t ∈ A) ∨ (t ∈ B)).
Définition 1.4.1 A ∩ B = {x ∈ A ∪ B|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
x ∈ A ∩ B ⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)).
On peut donc généraliser de la façon suivante :
\
(
x=
[
t∈
x∈E
)
x|(∀x ∈ E)(t ∈ x) .
x∈E
Caractérisation :
t∈
[
x ⇔ (∃x ∈ E)(t ∈ x)
t∈
x∈E
1.5
\
x ⇔ (∀x ∈ E)(t ∈ x)
x∈E
Schéma d’axiomes de remplacement
Soit R(x, y) une proposition que définit une relation fonctionnelle.
ie : (∀x)(∃y)(R(x, y)) et (∀x)(∀y1 )(∀y2 )((R(x, y1 ) ∧ R(x, y2 )) ⇒ y1 = y2 ).
Si E est un ensemble,
il existe un ensemble qui regroupe des y tels que R(x, y) avec x ∈ E.
L’image d’un ensemble par une relation fonctionnelle
est elle-même un ensemble.
3
1.6
Axiome de l’infini
Il existe un ensemble infini :
(∃ω)((∅ ∈ ω) ∧ ((∀n)((n ∈ ω) ⇒ (n ∪ {n} ∈ ω))))
Commentaire : On peut écrire :
0=∅
1 = {∅}
2 = 1 ∪ {1} = {∅, 1} = {0, 1} = {∅, {∅}}
3 = 2 ∪ {2} = {0, 1} ∪ {2} = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
L’ensemble ω contient {0, 1, 2, 3, . . .}, on désigne par N = {0, 1, 2, 3, . . .} (de Giuseppe PEANO venant de naturale).
Ceci est le dernier axiome de ZF.
1.7
Axiome du choix (AC)
Soit E un ensemble dont aucun élément n’est vide.
Il existe un ensemble C dont les éléments sont obtenus en
prenant un élément et un seul dans chaque élément de E.
(∀E)(((∀x)(x ∈ E ⇒ x 6= ∅)) ⇒
((∃C)(∀x)(x ∈ E ⇒ (∃t)(x ∩ C = {t}))))
2
Relations, fonctions
2.1
Produit cartésien
Soit t = {x, y}. On a alors :
(∀z)(z ∈ t ⇔ ((z = x) ∨ (z = y))).
(∀z)(z ∈ t ⇔ ((z = y) ∨ (z = x))) donc {x, y} = {y, x}.
Définition 2.1.1 (x, y) = {{x}, {x, y}}.
Propriété 2.1.1 (x, y) = (x0 , y 0 ) ⇒ ((x = x0 ) ∧ (y = y 0 )).
Preuve: Soient x, x0 , y, y 0 tels que (x, y) = (x0 , y 0 ).
1. Si x = y alors (x, y) = (x, x) = {{x}, {x, x}} = {{x}, {x}} = {{x}}.
Comme (x, y) = (x0 , y 0 ) alors {{x}} = {{x0 }, {x0 , y 0 }} et donc {{x0 }, {x0 , y 0 }} ⊂ {{x}}.
Ceci implique donc que {x0 } = {x0 , y 0 } = {x} d’où x0 = y 0 = x = y.
2. Si x 6= y alors x0 6= y 0 . En effet, supposons le contraire.
On aurait alors {{x}, {x, y}} = {{x0 }} et donc {{x}, {x, y}} ⊂ {{x0 }} et d’après le raisonnement précédent
on obtiendrait x = y, ce qui est contradictoire.
Ainsi :
(x, y) = (x0 , y 0 ) ⇔ {{x}, {x, y}} = {{x0 }, {x0 , y 0 }} ⇒ {{x}, {x, y}} ⊂ {{x0 }, {x0 , y 0 }}.
Donc on obtient les deux cas suivants :
(a) {x} = {x0 } et {x, y} = {x0 , y 0 } d’où x = x0 et y = y 0 .
(b) {x} = {x0 , y 0 } et {x, y} = {x0 } d’où x = y = x0 = y 0 : contradiction.
4
Définition 2.1.2 (x, y, z) = ((x, y), z).
Remarque 2.1.1 Si x ∈ E et y ∈ E alors (x, y) ∈ P(P(E)) et si x ∈ E et y ∈ F alors (x, y) ∈ P(P(E ∪ F )).
Définition 2.1.3 E × F = {(x, y) ∈ P(P(E ∪ F ))|(x ∈ E) ∧ (y ∈ F )}.
Exemple 2.1.1 Soient E = {1, 2, 3} et F = {0, 2}.
2.2
Relations
Une relation R de E dans F est un triplet (E, F, G) où G ⊂ E × F .
E est l’ensemble de départ, F l’ensemble d’arrivée et G le graphe de R.
Définition 2.2.1 xRy ⇔ (x, y) ∈ G.
E = {1, 2, 3}
F = {a, b}
G = {(1, a), (3, a), (3, b)}.
2.3
Applications
Définition 2.3.1 Une application f est une relation f = (E, F, G) telle que :
1. (∀x ∈ E)(∃y ∈ F )((x, y) ∈ G).
2. (∀x ∈ E)(∀y ∈ F )(∀y 0 ∈ F )((((x, y) ∈ G) ∧ ((x, y 0 ) ∈ G)) ⇒ y = y 0 ).
En résumé :
(∀x ∈ E)(∃!y ∈ F )((x, y) ∈ G) on note alors y = f (x) ⇔ (x, y) ∈ G.
y s’appelle l’image de x par f .
x est un antécédent de y.
Chaque élément x de l’ensemble de départ admet une image et une seule.
Exemple 2.3.1 Le graph suivant est celui d’une application.
5
2.4
Injection
Définition 2.4.1 Soit f = (E, F, G) une application.
f est une application injective ssi tout élément de l’ensemble d’arrivée admet au plus un antécédent.
f inj ⇔ (∀(x, x0 ) ∈ E × E)(f (x) = f (x0 ) ⇒ x = x0 )
Exemple 2.4.1 Exemples et contre-exemples d’applications injectives.
f est injective.
f n’est pas injective.
½
Exemple 2.4.2 Soit f :
Q→Q
.
x 7→ x3
f (x) = f (y) ⇒ x3 = y 3 .
f (x) = f (y) ⇒ x3 − y 3 = 0.
2
f (x) = f (y) ⇒ (x − y)(x
y 2 ) = 0.¶
µ³ + xy +
´
2
3y 2
y
+
= 0.
f (x) = f (y) ⇒ (x − y) x +
4
µ2³
¶
´
y 2 3y 2
f (x) = f (y) ⇒ (x − y = 0) ∨
x+
+
=0 .
2
4 ´
³
y
f (x) = f (y) ⇒ (x = y) ∨ (x + = 0) ∧ (y = 0) car on est en présence d’une somme de carrés qui est nulle.
2
f (x) = f (y) ⇒ (x = y) ∨ (x = y = 0).
f (x) = f (y) ⇒ x = y.
2.5
Surjections
Définition 2.5.1 Soit f = (E, F, G) une application.
f est une application surjective sso tout élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent.
(∀y ∈ F )(∃x ∈ E)(y = f (x))
Exemple 2.5.1 Exemples et contre-exemples d’applications surjectives.
6
f est surjective.
f n’est pas surjective.
Remarque 2.5.1 .
f non injective : (∃x ∈ E)(∃y ∈ E)((f (x) = f (y)) ∧ (x 6= y)).
f non surjective : (∃y ∈ F )(∀x ∈ E)(y 6= f (x)).
2.6
Bijections
Définition 2.6.1 Soit f : E → F une application.
f est bijective ssi f est injective et surjective.
½
R→R
.
x 7→ x2
On a f (−2) = f (2) = 4 donc f n’est pas injective.
Posons y = −1, on a alors ∀x ∈ R, f (x) ≥ 0 6= −1 donc f n’est pas non plus surjective.
Exemple 2.6.1 Considérons l’application f :
½
R→R
.
x 7→ x3
Par le même raisonnement p
que dans le paragraphe précédent, f est injective. Il reste à montrer qu’elle est surjective.
Soit y ∈ R p
et posons x = ε 3 |y| avec ε = sign(y).
3
3
f (x) = ε ( |y|)3 = ε|y| = y. Donc f est surjective et ainsi elle bijective.
Exemple 2.6.2 Considérons l’application f :
½
Q→Q
.
x 7→ x3
On a vu que f est injective, mais est-elle surjective ?
Posons y = 2, supposons qu’il existe x ∈ Q tel que f (x) = 2.
a
Posons x = avec a et b premiers entre eux dans Z.
b
On a clairement a3 = 2b3 donc 2 divise a3 et a fortiori a (car 2 est premier) ainsi a3 = 8p3 avec a = 2p ; p ∈ N.
D’où b3 = 4p3 donc 4 divise b3 et comme 2 divise 4 alors 2 divise b3 et a fortiori b. Ainsi b = 2q ; q ∈ N.
On a alors a = 2p et b = 2q ce qui contredit le fait que a et b sont premiers entre eux.
Donc f n’est pas surjective.
Exemple 2.6.3 Considérons l’application f :
7

 Z
½→ N
x 7→ 2x − 1
si x > 0
Exemple 2.6.4 Considérons l’application f :

x 7→ −2x
si x ≤ 0
1. Soient x1 ∈ Z et x2 ∈ Z tels que f (x1 ) = f (x2 ).
Supposons x1 > 0 et x2 ≤ 0 (l’autre cas est symétrique).
On a alors 2x1 − 1 = −2x2 ⇔ 2 (x2 + x2 ) = 1 : contradiction.
| {z }
.
∈Z
On a donc x1 x2 ≥ 0.
Supposons x1 > 0 et x2 > 0 (l’autre cas est similaire).
f (x1 ) = f (x2 ) ⇔ 2x1 − 1 = 2x2 − 1.
f (x1 ) = f (x2 ) ⇔ x1 = x2 , donc f est injective.
2. Soit y ∈ N.
Si y est impair alors il existe x ∈ N (donc dans Z aussi) tel que y = 2x − 1.
Si y est pair alors il existe x0 ∈ N tel que y = 2x0 = −2(−x0 ) = −2x avec x = −x0 ∈ Z.
Donc f est surjective.
L’application f est donc une bijection de Z dans N.
Par une bijection f : E → F , chaque élément de F a donc un unique antécédent dans E.
Si f = (E, F, G) est une bijection alors f −1 = (F, E, G 0 ) avec (x, y) ∈ G ⇔ (y, x) ∈ G 0 est une application.
En effet, comme f est un application bijective, (∀y ∈ F )(∃!x ∈ E)((x, y) ∈ G) ⇔ (∀y ∈ F )(∃!x ∈ E)((y, x) ∈ G 0 ).
Exemple
½ 2.6.5 L’identité de E : IdE .
E→E
IdE :
ou IdE = (E, E, G) où G = ∆ = {(x, y) ∈ E × E|y = x}.
x 7→ x
2.7
Composition
Soient
½ f : E → F et g : F → G deux applications, on note g ◦ f l’application :
E→G
g◦f :
g ◦ f = (E, G, G) .
x 7→ (g ◦ f )(x) = g(f (x))
(x, z) ∈ G ⇔ (∃y ∈ F )((y = f (x)) ∧ (z = g(y))).
Propriété 2.7.1 Si l’on a E →f F →g G →h H alors h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f (associativité de la composition).
Preuve: Les application h ◦ (g ◦ f ) et (h ◦ g) ◦ f ont le même ensemble de départ E, et d’arrivée H.
Soit x ∈ E.
(h ◦ (g ◦ f ))(x) = h((g ◦ f )(x)) = h(g(f (x))).
((h ◦ g) ◦ f )(x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x))).
Propriété 2.7.2 Soit E →f F →g G.
1. Si f et g sont injectives alors g ◦ f est injective.
2. Si f et g sont surjectives alors g ◦ f est surjective.
3. Si f et g sont bijectives alors g ◦ f est bijective.
Preuve: Le troisième point est évident, il découle de la conjonction des deux premiers.
1. Soit x, x0 ∈ E.
(g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(x0 ) ⇒ g(f (x)) = g(f (x0 )).
(g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(x0 ) ⇒ f (x) = f (x0 ) car g est injective.
(g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(x0 ) ⇒ x = x0 car f est injective et donc g ◦ f est injective.
8
2. Soit z ∈ G.
Il existe y ∈ F tel que g(y) = z car g est surjective.
Il existe x ∈ E tel que f (x) = y car f est surjective.
Ainsi z = (g ◦ f )(x) donc g ◦ f est surjective.
Définition 2.7.1 On note B(E) l’ensemble des bijections de E dans E.
Propriété 2.7.3 Si f, g ∈ B(E) alors f ◦ g ∈ B(E).
Preuve: Immédiat d’après le 3. de la propriété précédente.
Remarque
2.7.1 On dit que ◦ est une loi de composition interne (LCI) de B(E).
½
B(E) × B(E)
ϕ:
L’ensemble B(E) muni de la LCI ◦ est un magma.
(f, g) 7→ f ◦ g
Propriété 2.7.4 Soit le magma (B(E), ◦).
1. Associativité f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.
2. Neutre f ◦ IdE = f = IdE ◦ f .
Le magma (B(E), ◦) muni d’un loi associative et unifère est un monoïde.
3. Symétrique f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = IdE .
Un magma vérifiant ces trois propriétés est un groupe.
Preuve: Soit le magma (B(E), ◦).
1. L’associativité a déjà été montrée.
2. Soit x ∈ E.
(f ◦ IdE )(x) = f (IdE (x)) = f (x).
(IdE ◦ f )(x) = IdE (f (x)) = f (x).
3. Soit x ∈ E.
(f ◦ f −1 )(x) = f (f −1 (x)) = x.
(f −1 ◦ f )(x) = f −1 (f (x)) = x.
f
g
Propriété 2.7.5 Soit
½ E → F → G.
f injective
Si g ◦ f = IdE alors
.
g surjective
Preuve: Soient x, x0 ∈ E.
f (x) = f (x0 ) ⇒ g(f (x)) = g(f (x0 )).
f (x) = f (x0 ) ⇒ (g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(x0 ).
f (x) = f (x0 ) ⇒ IdE (x) = IdE (x0 ).
f (x) = f (x0 ) ⇒ x = x0 .
Soit y ∈ E.
Posons x = f (y), on a alors : g(x) = g(f (y)) = (g ◦ f )(y) = IdE (y) = y.
9
Exemple 2.7.1
f, g telles que g ◦ f = IdE où ni f , ni g n’est bijective.
½ 2 Exemple d’applications
½
R →R
R → R2
Posons g :
et f :
.
(x, y) 7→ x
x 7→ (x, 5x)
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x, 5x) = x. Donc g ◦ f = IdE .
g(7, 8) = g(7, 9) : donc g n’est pas injective.
(1, 1) n’admet pas d’antécédent par f : donc f n’est pas surjective.
Corollaire: Soit f : E →
½F .
f ◦ g = IdF
f bijective ⇔ ∃g : F → E,
.
g ◦ f = IdE
g est unique et g = f −1 .
Preuve: .
10