Exercice 1 Un mobile auto-porteur de masse m = 740 g se déplace

TD terminale S
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Exercice 1
G
Un mobile auto-porteur de masse m = 740 g se déplace sur une table
k
G
k
K
A
A
horizontale. Il est accroché à deux ressorts métalliques identiques de masse 1
2
négligeable, de longueur au repos l0, et de constante de raideur k. Les autres
(R)
extrémités des ressorts sont accrochées à deux points fixes A1 et A2 de la table x'
Oi
x'
O i
x
x
(fig1).
fig 1
fig 2
On admet que ce dispositif est équivalent à un mobile auto-porteur de masse
(G)
-5V
+5V
0V
m fixé à l’extrémité d’un ressort unique (R) de constante de raideur K = 2 k dont l’autre
M
extrémité est fixe (fig 2).
On a ainsi constitué un oscillateur mécanique horizontal.
Lorsque l’ensemble est en équilibre, le centre d’inertie G du mobile se projette en O, origine
(C)
d’un repère horizontal x’x, orienté positivement vers la droite.
O
S
A un instant de date t quelconque, en cours d’oscillation on désigne par x l’abscisse du centre x' P'
P
x
Cu + SO
d’inertie G du mobile.
On se propose d’étudier le mouvement du centre d’inertie du mobile au moyen
d’un ordinateur muni d’un capteur de déplacement et d’une interface appropriés.
Considérons le dispositif suivant :
(C) est une cuve parallélépipédique contenant une solution de sulfate de cuivre
(II). Deux plaques de cuivre (P et P’), de forme rectangulaire, fixées sur les bords
de la cuve sont reliées aux pôles positif (+5V) et négatif (-5V) d’un générateur (G)
délivrant une tension constante de 10V. (alimentation symétrique 5 V).
La borne COM d’un multimètre, utilisé en voltmètre, est reliée à la borne M
(référence des potentiels 0 V) du générateur, l’autre borne du volmètre est reliée à une sonde S constituée d’une tige de cuivre
qui peut se déplacer suivant l’axe horizontal x’x entre les plaques P et P’, (O étant situé au centre de la cuve).
1. Enregistrement du mouvement du centre d’inertie du mobile auto-porteur.
On utilise le capteur précédent; la sonde S, fixée au mobile auto-porteur, est reliée à un des ressorts par un fil conducteur. A
l’équilibre l’abscisse de la sonde est nulle.
1.1) Indiquer sur le schéma ci-contre les connexions à réaliser pour envoyer sur l’interface la tension uSM, (les branchements
s’effectuent comme avec un oscilloscope).
x/mm
1.2) On écarte le mobile de sa position d’équilibre et on le lâche sans vitesse initiale. Après m
x = f(t)
quelques oscillations, on déclenche l’acquisition des mesures.
L’enregistrement des différentes positions du centre d’inertie au cours du temps donne la
courbe 1.
t/s
1.2.1) Quelle est la durée totale d’acquisition des mesures?
1.2.2) Sachant que lors d’une acquisition on a effectué 192 mesures, quel est l’intervalle de
Courbe 1
temps qui sépare deux mesures successives ?
1.3) Pourquoi au cours de cette manipulation utilise-t-on deux ressorts au lieu d’un seul?
2. Exploitation de l’enregistrement
2.1) Déterminer la période propre T0 de l’oscillateur mécanique. Vérifier, à partir d’une étude dimensionnelle, que la relation
m
ci-dessous est homogène. (2π est un nombre pur). T 0 =2 
k
En déduire la constante de raideur k de chaque ressort.
2.2) Déterminer l’amplitude xm du mouvement .
V
COM
2+
-5V
OV
4
2-
+5V
M
masse
P'
x'
P
S
x
interface
O
Voie 1
sonde
fil conducteur
A1
k
k
A2
l'oscillateur et le capteur sont vus de dessus
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
0.2
0.4
0.6
0.8
1

2.3) A l’instant de date t = 0 la coordonnée de la vitesse du mobile est :
nulle
positive
Choisissez la bonne réponse et justifier votre choix.
négative
2.4) Déterminer les caractéristiques de la tension du ressort (R) aux dates t = 0,2 s et t = 0,3 s.
En déduire les caractéristiques du vecteur accélération du mobile à ces instants.
2.5) 2.5.1) Déterminer l’énergie mécanique du système équivalent au ressort (R) + mobile.
2.5.2) Déterminer la vitesse maximale du mobile.
2.5.3) Que vaut l’énergie potentielle élastique de ce système équivalent à la date t = 0,2 s?
2.5.4) En déduire la valeur de la vitesse à cet instant. Quel est le sens du vecteur vitesse?
Exercice 1 : corrigé
1.1) La voie 1 de l’interface est reliée à la sonde S par l’intermédiaire du ressort conducteur; on relie le zéro de l’alimentation à
la masse de l’interface.
1.2) Durée totale d’acquisition des mesures: 1,1 s (par lecture graphique sur la courbe 1).
1.3) Intervalle de temps t entre deux mesures:
∆t = 1,1/192 = 5,7 ms
1.4) L’usage de deux ressorts permet d’assurer un bon guidage en translation du mobile auto-porteur sur la table.
2
2 m
2.1) Par lecture graphique sur la courbe 1: T0 = 0,58 s.
T 0 =4 
k
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m s’exprime en kg, K s’exprime en N.m-1 ou en kg.s-2. 4π2 est sans unité. m/K s’exprime en s2; l’expression proposée est bien
homogène à une durée.
K
V
G
2 m
2 0,74
-1
k =4  2 =4 
=87 N.m
K = 2k
donc K = 43 N/m
2
T0
0,58
x'
x
O
x
2.2) L’amplitude est xm = 40 mm (lecture graphique).
2.3) Pour que la vitesse soit nulle à t = 0, il faudrait que l’élongation ( ou abscisse) x soit maximale ou minimale (x = xm) ; ce
qui n’est pas le cas car x = 12 mm.
Entre les dates t = 0 et t = 0,11s l’élongation x est positive et augmente ; le mobile s’écarte de sa position d’équilibre dans le
dx
sens positif; la coordonnée vx de la vitesse du mobile est positive : v x =
dt
2.4) A t = 0,2 s on lit x = 25 mm x >0
T
K
G
le ressort (R) équivalent est allongé.


Tension du ressort (R ) : T x =−K x i
x
x'
(force de rappel) donc
O i
x
Tx = -87*0,025 = -2,2 N
T = 2,2 N
A t = 0,3 s on lit x = -14 mm ; x < 0
le ressort (R) équivalent est comprimé.
Tension du ressort (R ) : Tx =−K x i (force de rappel) donc
Tx = -87*-0,014 = 1,2 N T = 1,2 N
K = 2k
T
x'
Accélération du mobile:
Référentiel terrestre, supposé galiléen.
Système: le mobile auto-porteur:
Inventaire des forces extérieures agissant sur le système:
Le poids
La réaction du
La tension du ressort (force
coussin d’air
de rappel)


P
R
Tx =−K x i
x'
K
x
O
x
R
T
G
x'
O
i
x
P
x
 R
 T =m a (1)
P
Appliquons le théorème du centre d’inertie:
Projetons la relation vectorielle (1):
Tx
Sur i Tx = m.ax
a x=
m
A t = 0,2 s
ax = - 3 m.s-2
A t = 0,3 s
A t = 0,2s
G
ax = 1,6 m.s-2
A t = 0,3s
a
K
O
K
G
x
x
i
x'
G
a
x
O
x
Le vecteur accélération est un vecteur qui varie au cours du temps.
2.5.1) Le mobile se déplaçant dans un plan horizontal, l’énergie potentielle de pesanteur du système (Terre + mobile ) reste
constante; on prend cette constante nulle.
Système : (mobile + ressort équivalent R).
Energie mécanique du système: Em = Epe + Ec
Epe : énergie potentielle élastique du système : Ec: énergie cinétique du système.
Les frottements étant négligeables, l’énergie mécanique du système est constante.
Lorsque x = xm alors Ec = 0 donc Em = Epe
1
1
2
-3 2
-2
E m=E pe = K x = ×87 ×40.10  =7,0 .10 J =70 mJ
2
2
2.5.2) La vitesse est maximale lorsque le mobile passe par sa position d’équilibre.
1
2 Em
2
2 ×7.10-2
x = 0 alors Epe = 0 donc E C =E m= m v
v=
=
=0,43 m.s-1
2
m
0,74
2.5.3) A t = 0,2 s, lorsque x = 25 mm, l’énergie potentielle élastique du système est :
1
1
E pe = K x 2 = ×87 ×25.10 -3 2 =2,7 .10 -2 J =27 mJ
2
2
2.5.4) Energie cinétique du système :
1
2 EC
2
2 ×43.10-3
E C = m v =E m−E pe=70 −27 =43 mJ
v=
=
=0,34 m.s-1
2
m
0,74
A t = 0,2s, l’élongation est positive mais diminue, le mobile se rapproche de la position d’équilibre vx <0.



