Le tenseur d`inertie - Olivier Castéra

TENSEUR D’INERTIE
OLIVIER CASTÉRA
Résumé. Le tenseur d’inertie calculé dans le repère principal d’inertie ayant pour centre le centre d’inertie d’un solide est une caractéristique intrinsèque de ce solide. Il apparait naturellement lorsque l’on calcule le moment cinétique d’un solide par rapport à son
centre d’inertie, ou son énergie cinétique de rotation.
Table des matières
1. Moment d’inertie
2. Tenseur d’inertie
3. Repère principal d’inertie
3.1. Moments principaux d’inertie
3.2. Axes principaux d’inertie
3.3. Ellipsoı̈de d’inertie
3.4. Théorème de Huygens
4. Moment cinétique
4.1. Moment cinétique par rapport à un point
4.2. Projection du moment cinétique sur l’axe de rotation
4.3. Lien entre tenseur d’inertie et moment d’inertie
5. Energie cinétique d’un solide
6. Annexe
1
2
5
5
6
6
7
8
8
10
11
11
12
1. Moment d’inertie
Soit un solide S et soit ∆ un axe quelconque ne passant pas nécessairement par S, de direction fixe dans le repère (R).
Date: 22 novembre 2015.
1
2
OLIVIER CASTÉRA
∆
+ r
(S)
+
Le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe ∆ est un scalaire
qui caractérise l’inertie en rotation du solide S autour de l’axe ∆.
Définition 1.1. Moment d’inertie
Le moment d’inertie d’un système par rapport à un axe ∆, est la somme
des masses mi de ce système, pondérées par leurs distances ri à l’axe
au carré :
X
∆
I∆ =
mi ri2
i
Dans le cas d’un système continu :
Définition 1.2. Moment d’inertie
Le moment d’inertie par rapport à un axe ∆, d’un solide S de volume
V et de masse volumique ρ(x, y, z), a pour expression :
ZZZ
∆
I∆ =
ρ r 2 d3 V
V
Le moment d’inertie dépend du choix de l’axe ∆ mais pas du choix
du repère (R), car seule la distance à l’axe intervient.
Remarque. Lorsque le solide est homogène, sa densité est constante
dans l’espace et l’on peut sortir ρ de l’intégrale de volume.
2. Tenseur d’inertie
Cherchons l’expression du moment d’inertie par rapport à un axe
quelconque ∆, en fonction du tenseur d’inertie. Soit (R) un repère orthonormé dont le centre O est sur l’axe ∆. Soit un élément de volume
du solide S, de masse dm, situé au point M tel que OM (x, y, z).
Soit u(α, β, γ) un vecteur unitaire de l’axe ∆, et soit H la projection
orthogonale de M sur l’axe ∆, tel que r = MH.
TENSEUR D’INERTIE
3
∆
u
(S)
H+ r
z
(R) O
+
M
y
x
En appliquant le théorème de pythagore dans le triangle OMH rectangle en H :
MH 2 = OM 2 − OH 2
= OM 2 − (OM · u)2
= x2 + y 2 + z 2 − (αx + βy + γz)2
Le vecteur u étant unitaire :
u · u = α2 + β 2 + γ 2
=1
si bien que :
MH 2 = (α2 + β 2 + γ 2 )(x2 + y 2 + z 2 ) − (αx + βy + γz)2
= (x2 + y 2 + z 2 )α2 + (x2 + y 2 + z 2 )β 2 + (x2 + y 2 + z 2 )γ 2
− α2 x2 + β 2 y 2 + γ 2 z 2 + 2xyαβ + 2yzβγ + 2xzαγ
= (y 2 + z 2 )α2 + (x2 + z 2 )β 2 + (x2 + y 2 )γ 2
− 2xyαβ − 2yzβγ − 2xzαγ
Ecrivons l’expression du moment d’inertie par rapport à l’axe ∆ :
ZZZ
I∆ =
ρ MH 2 dV
V
Z
Z
Z
2
2 3
2
2
2 3
2
2
ρ(x2 + y 2 )d3 V
ρ(x + z )d V + γ
ρ(y + z )d V + β
=α
V
V
Z
Z
Z V
− αβ
ρ 2xy d3 V − βγ
ρ 2yz d3 V − αγ
ρ 2xz d3 V
(1)
V
V
V
4
OLIVIER CASTÉRA
Nous pouvons écrire cette expression sous la forme de deux produits :
 R
 
R
R
2
2 3
α ρ(y
V R−β ρ xyd3V
−γ R ρ xzd3 V
α
R + z )d
3
2
2 3
3



β
−α R ρ xyd V
β ρ(x
I∆ =
R + z 3)d V R−γ 2ρ yzd2 V3
3
−α ρ xzd V
−β ρ yzd V
γ ρ(x + y )d V
γ
R





R
R
ρ(yR2 + z 2 )d3 V R − ρ xyd3 V
− R ρ xzd3 V
α α
ρ(xR2 + z 2 )d3 V R − ρ yzd3 V β β 
=  − R ρ xyd3V
− ρ xzd3 V
− ρ yzd3 V
ρ(x2 + y 2 )d3 V
γ
γ
= [I]O u · u
(2)
= u · [I]O u
où [I]O est le tenseur d’inertie du solide S calculé au centre O du repère
(R). La première opération effectuée, [I]O u, est la multiplication d’une
matrice par un vecteur colonne, elle redonne un vecteur colonne. La
seconde opération est alors le produit scalaire de deux vecteurs.
Le tenseur d’inertie dépend du choix du centre O et de l’orientation
des axes du repère (R), comme on peut le constater dans l’expression
de ses éléments. Par contre, il ne dépend pas du choix de l’axe ∆.
Dans l’expression du premier terme diagonal, y 2+z 2 est la distance au
carré à l’axe x. Les termes diagonaux sont par conséquent les moments
d’inertie par rapport aux axes x, y, z du repère (R). Les opposés des
termes non diagonaux sont appelés produits d’inertie.
Exemple.
Supposons que l’axe ∆ soit confondu avec l’axe des z :
Iz = [I]O k · k
R 2
R
(y R+ z 2 )d3 V R − xyd3V
(x2R+ z 2 )d3 V
= ρ  − R xyd3V
3
− xzd V
− yzd3 V

 
RRR
− RRR xzd3 V
0
3



−
yzd V
0
= ρ RRR
2
2 3
(x + y )d V
1
ZZZ
=ρ
(x2 + y 2)d3 V
  
R
0
0
− R xzd3 V
3
00
−
yzd
V
R 2
(x + y 2)d3 V
1
1
qui est le moment d’inertie par rapport à l’axe z.
Définition 2.1. Tenseur d’inertie
Le tenseur d’inertie calculé au centre O d’un repère (R), d’un solide
de volume V et de masse volumique ρ, s’écrit :
RRR

RRR
RRR
ρ(y 2 + z 2 )d3 V RRR
−
ρ xyd3V
− RRR ρ xzd3 V
RRR
∆
ρ(x2 + z 2 )d3 V RRR
−
ρ yzd3 V 
[I]O =  − RRR ρ xyd3 V
RRR
−
ρ xzd3 V
−
ρ yzd3 V
ρ(x2 + y 2 )d3 V
TENSEUR D’INERTIE
⇒
5
↔
ˆ I , I . Cependant,
Notation. Le tenseur [I] est aussi noté I, I , I , I,
= ≈
c’est la notation indicielle de ses éléments Iij qui s’est imposée pour
des raisons pratiques lors de la résolution d’équations :


Ixx −Ixy −Ixz
[I]O = −Iyx Iyy −Iyz 
−Izx −Izy Izz
Il faut deux indices pour repérer ses éléments, c’est donc un tenseur
d’ordre deux. Il est symétrique :
Iij = Iji
Chaque indice pouvant prendre trois valeurs, x, y ou z, il appartient à
un espace vectoriel de dimension 3.
Les signes négatifs sont conventionnels. La dimension de l’espace
puissance l’ordre du tenseur donne le nombre de composantes du tenseur, soit 32 = 9 composantes.
3. Repère principal d’inertie
Comme tout tenseur symétrique d’ordre deux, le tenseur d’inertie en
tout point O peut être diagonalisé 1.
3.1. Moments principaux d’inertie.
Cherchons les vecteur propres non nuls P (x, y, z) liés au point O tels
que l’on ait l’équation aux valeurs propres suivante :
[I]O P = IP
où I est un scalaire. Soit donc à résoudre le système d’équations linéaires homogènes :


 (Ixx − I)x + Ixy y + Ixz z = 0
Iyx x + (Iyy − I)y + Iyz z = 0

 I x + I y + (I − I)z = 0
zx
zy
zz
Ce système admet des solutions non triviales si le déterminant des
coefficients s’annule,
Ixx − I
I
I
xy
xz
Iyx
Iyy − I
Iyz = 0
Izx
Izy
Izz − I ce qui donne l’équation caractéristique d’ordre trois en I :
(Ixx − I)[(Iyy − I)(Izz − I) − Izy Iyz ]
− Iyx [Ixy (Izz − I) − Izy Ixz ]
+ Izx [Ixy Iyz − (Iyy − I)Ixz ] = 0
1. Voir Algebre lineaire.pdf
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OLIVIER CASTÉRA
Les trois racines Ix , Iy , Iz de ce polynôme sont les valeurs propres du
tenseur d’inertie, et sont les moments principaux d’inertie au point O.
Nous obtenons alors le tenseur principal d’inertie au point O :


Ix 0 0
 0 Iy 0 
0 0 Iz
3.2. Axes principaux d’inertie.
Cherchons les directions des trois vecteurs propres qui forment le référentiel d’inertie de centre O. Commençons par le vecteur propre associé
à la valeur propre Ix :


Ixx − Ix
Ixy
Ixz
 Iyx
Iyy − Ix
Iyz 
Izx
Izy
Izz − Ix
où les vecteurs colonne sont linéairement dépendants. En utilisant par
exemple la première ligne, on choisit les valeurs des coordonnées du
premier vecteur propre P 1 (x1 , y1 , z1 ), telles que l’on ait :
(Ixx − Ix ) x1 + Ixy y1 + Ixz z1 = 0
Ainsi P 1 est défini à un facteur multiplicatif près, et nous avons donc
sa direction. Nous procédons de même pour les deux autres vecteurs
propres. Les vecteurs propres sont les axes principaux d’inertie qui
forment le repère principal d’inertie (O, P 1 , P 2 , P 3 ) dans lequel le tenseur d’inertie est diagonal. Ainsi, il existe un repère principal d’inertie
en tout point O.
En particulier, le tenseur d’inertie calculé dans le repère principal
d’inertie ayant pour centre le centre d’inertie G du système, est une caractéristique intrinsèque de ce système (elle ne dépend que du système),
comme le sont sa masse, son volume ou sa charge électrique. C’est la
répartition des masses du solide S, pondérée par la distance au centre
d’inertie au carré.
3.3. Ellipsoı̈de d’inertie.
Soit un solide S, et soit un repère (R) de centre O. Le tenseur d’inertie
[I]O est donc fixé. Soit ∆ un axe de rotation quelconque, de vecteur
TENSEUR D’INERTIE
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unitaire u(α, β, γ) :
I∆ = [I]O u · u

  
Ixx −Ixy −Ixz
α
α





−I
I
−I
β
β
=
xy
yy
yz
−Ixz −Iyz Izz
γ
γ

 
Ixx α − Ixy β − Ixz γ
α
= −Ixy α + Iyy β − Iyz γ  β 
−Ixz α − Iyz β + Izz γ
γ
= Ixx α2 + Iyy β 2 + Izz γ 2 − 2Ixy βα − 2Ixz γα − 2Iyz βγ
on retrouve l’équation (1). C’est l’équation d’un ellipsoı̈de, appelé ellipsoı̈de d’inertie, dans laquelle les composantes du tenseur d’inertie
sont des paramètres.
Pour chaque axe ∆ défini par une direction u, autrement dit pour
chaque ensemble de valeurs (α, β, γ), l’équation donne une valeur pour
le moment d’inertie I∆ du solide S. De même qu’un vecteur peut être
représenté par une flèche, un tenseur symétrique d’ordre deux peut être
représenté par un ellipsoı̈de.
3.4. Théorème de Huygens.
Théorème 3.1. Soit ∆G un axe parallèle à l’axe ∆ et passant par le
centre d’inertie G d’un solide S de masse m. Soit a = KH la distance
entre ces deux axes, où K ∈ ∆G et H ∈ ∆, alors :
I∆ = I∆G + a2 m
Démonstration.
ZZZ
I∆ = ρ
(MH)2 d3 V
ZZZ
=
ρ (MK + KH) · (MK + KH) d3 V
ZZZ
ZZ Z
ZZZ
2 3
2 3
=
ρ (MK) d V +
ρ (KH) d V + 2
ρ MK · KH d3 V
ZZZ
2
= I∆ G + a m + 2
ρ (MG + GK) · KH d3 V
Le vecteur KH étant constant :
ZZZ
ZZZ
2
3
I∆ = I∆G + a m + 2KH ·
ρ MG d V + 2
ρ GK · KH d3 V
RRR
Par définition du centre d’inertie,
ρ MG d3 V = 0.
De plus, GK ⊥ KH, d’où :
I∆ = I∆G + a2 m
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OLIVIER CASTÉRA
4. Moment cinétique
Définition 4.1. Moment cinétique
Le moment cinétique 2 par rapport à un point quelconque O, d’un corps
situé en M, est le produit vectoriel du rayon vecteur OM par la quantité de mouvement p de ce corps.
∆
σ /O = OM × p
4.1. Moment cinétique par rapport à un point.
Le moment cinétique d’un solide ou d’un système dépend du point
par rapport auquel il est calculé. En effet, soient O et O ′ deux points
distincts d’un repère R, le moment cinétique par rapport au point O ′
d’un point massique M de quantité de mouvement p s’écrit :
σ O′ (M) = O’M × p
= (O’O + OM) × p
= O’O × p + OM × p
= O’O × p + σ O (M)
σ O′
σO
P
+ M
O ⊙
⊙ O′
Le terme O’O × p permet de passer du moment cinétique au point
O, à celui au point O ′.
Soit un solide S de masse volumique ρ, tournant avec la vitesse angulaire ω autour d’un axe ∆ de direction fixe dans (R). Si le solide S
est libre alors l’axe de rotation passe obligatoirement par son centre
d’inertie G, mais l’on envisage ici le cas plus général de la rotation
d’un solide autour d’un axe quelconque, le solide S étant relié à l’axe
de rotation. Calculons le moment cinétique par rapport au centre du
référentiel O situé sur l’axe ∆.
2. Voir Mecanique classique.pdf
TENSEUR D’INERTIE
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∆
z
(S)
ω
(R)
v
⊗M
O
x
y
Considérons un élément de volume du solide S, de masse dm, de
volume d3 V , de vitesse v, situé au point M. Son moment cinétique
dans (R) par rapport au point O s’écrit :
dσ R
O (M) = OM × v dm
L’axe de rotation ∆ passant par le point O, la vitesse du point M
s’écrit v = ω × OM
dσ R
O (M) = OM × (ω × OM) dm
= ρ OM × (ω × OM) d3 V
Le moment cinétique total du solide S s’obtient par intégration sur son
volume total :
ZZZ
R
σ O (S) =
ρ OM × (ω × OM) d3V
Développons le double produit vectoriel :
     
x
ωx
x






ωy × y 
OM × (ω × OM) = y ×
z
ωz
z
  

x
ωy z − ωz y
=  y  ×  ωz x − ωx z 
z
ωx y − ωy x


ωx y 2 − ωy xy − ωz xz + ωx z 2
= ωy z 2 − ωz yz − ωx yx + ωy x2 
ωz x2 − ωx zx − ωy zy + ωz y 2


ωx (y 2 + z 2 ) − ωy xy − ωz xz
= −ωx yx + ωy (x2 + z 2 ) − ωz yz 
−ωx zx − ωy zy + ωz (x2 + y 2 )
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OLIVIER CASTÉRA
D’où l’expression du moment cinétique :
 RRR

ρ [ωx (y 2 + z 2 ) − ωy xy − ωz xz] d3 V
RRR
2
2

ωz yz] d3 V 
σR
O (S) =
RRR ρ [−ωx yx + ωy (x + z ) −
2
ρ [−ωx zx − ωy zy + ωz (x + y 2 )] d3 V


RRR
RRR
RRR
ωx RRRρ (y 2 + z 2 )d3 V RRR
− ωy
ρ xyd3V − ωz RRRρ xzd3 V
− ωz
ρ yzd3 V 
= −ωx RRR ρ xyd3V + ωy RRR ρ (x2 + z 2 )d3 VRRR
−ωx
ρ xzd3 V − ωy
ρ yzd3 V + ωz
ρ (x2 + y 2)d3 V
 

RRR
RRR
RRR
2
2 3
3
3
ωx
ρ
(y
+
z
)d
V
−
ρ
xyd
V
−
ρ
xzd
V
RRR
RRR
RRR
 ωy 
ρRRR
(x2 + z 2 )d3 V RRR
−
ρ yzd3 V 
=  − RRR ρ xyd3V
−
ρ xzd3 V
−
ρ yzd3 V
ρ (x2 + y 2)d3 V ωz
Cette expression est de la forme :
σR
O (S) = [I]O ω
où [I]O est le tenseur d’inertie du solide S, au point O dans le repère
(R).
4.2. Projection du moment cinétique sur l’axe de rotation.
Soit u le vecteur unitaire porté par l’axe de rotation ∆ :
ω = ωu
R
et soit σ∆
(S) la projection du moment cinétique sur l’axe de rotation ∆.
Soit MH la distance du point M à l’axe de rotation. En utilisant le
théorème 6.2 de l’analyse vectorielle donné en annexe, on a :
R
σ∆
(S) = σ R
O (S) · u
ZZZ
=
ρ OM × (ω × OM) d3 V · u
ZZZ
=
ρ [ω(OM · OM) − OM(OM · ω)] d3 V · u
ZZZ
=ω
ρ u · u (OM)2 − (OM · u)(OM · u) d3 V
ZZZ
=ω
ρ (OM)2 − (OH)2 d3 V
ZZZ
=ω
ρ (MH)2 d3 V
Cette expression est de la forme :
R
σ∆
(S) = I∆ ω
(3)
où le scalaire I∆ est le moment d’inertie du solide S par rapport à
l’axe ∆.
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∆
σ∆
O×
σO
(S)
ω
H
v
⊗M
4.3. Lien entre tenseur d’inertie et moment d’inertie.
Soit u le vecteur unitaire porté par l’axe de rotation ∆. Alors :
R
σ∆
(S) = σ R
O (S) · u
= [I]O ω · u
= [I]O u · u ω
Par conséquent, avec l’équation (3) :
I∆ = [I]O u · u
Nous retrouvons l’équation (2).
5. Energie cinétique d’un solide
Soit O un point quelconque d’un référentiel inertiel (R). Soit S un
solide de masse m, de volume V et de masse volumique ρ. On considère
un élément du solide S, de masse dm, de volume d3 V situé au point M.
Soient v sa vitesse en translation dans (R), et ω sa vitesse de rotation.
Son énergie cinétique dT s’écrit :
dT =
=
=
=
1
2
ρ
2
ρ
2
ρ
2
v 2 dm
v 2 d3 V
(v + ω × OM)2 d3 V
2
v + 2v(ω × OM) + (ω × OM)2 d3 V
12
OLIVIER CASTÉRA
L’énergie cinétique totale T s’obtient par intégration sur le volume total
du solide S :
ZZZ
ZZ Z
ZZZ
ρ 2 3
ρ
3
T =
v d V+
ρ v(ω × OM) d V +
(ω × OM)2 d3 V
2
2
ZZZ
ZZ Z
ZZZ
ρ 3
ρ
2
3
=v
dV +
ρ OM(v × ω) d V +
(ω × OM)2 d3 V
2
2
ZZZ
ZZZ
3
1
mv2
ρ OM d V + 2
ρ (ω × OM)2 d3 V
= 2 + (v × ω)
Le premier terme est l’énergie cinétique de translation du solide S. En
choisissant l’origine du système de coordonnées
d’inertie G du
RRR au centre
solide S, le deuxième terme s’annule car
ρ GM d3 V = 0. Calculons
le dernier terme grâce au théorème 6.4 de l’analyse vectorielle donné
en annexe :
(ω × GM)2 = ω 2(GM)2 − (ω · GM)2
= (ωx2 + ωy2 + ωz2 )(x2 + y 2 + z 2 ) − (ωx x + ωy y + ωz z)2
= (ωx2 + ωy2 + ωz2 )(x2 + y 2 + z 2 ) − ωx2 x2 + ωy2y 2 + ωz2 z 2
+ 2 (ωx xωy y + ωx xωz z + ωy yωz z)]
= ωx2 (y 2 + z 2 ) + ωy2 (x2 + z 2 ) + ωz2 (x2 + y 2)
− 2(ωx xωy y + ωx xωz z + ωy yωz z)
Ce scalaire peut s’écrire sous la forme suivante :

 
ωx (y 2 + z 2 ) − ωy xy − ωz xz
ωx
2
2
2



ωy 
(ω × GM) = −ωx yx + ωy (x + z ) − ωz yz
2
2
−ωx zx − ωy zy + ωz (x + y )
ωz



 
 2
ωx
ωx
y + z 2 −xy
−xz
2
2





ω
ωy 
−xy
x
+
z
−yz
=
y
2
2
ωz
ωz
−xz
−yz
x +y
D’où l’expression du dernier terme :
  
R
R
R
2
2 3
3
3
ρ (y
+
z
)d
V
−
ρ
xyd
V
−
ρ
xzd
V
ωx
ωx
R
R
R
1
2
2 3
3
ωy ωy 
− R ρ xyd3V
ρ (x
+
z
)d
V
−
ρ
yzd
V
R
R
2
− ρ xzd3 V
− ρ yzd3 V
ρ (x2 + y 2)d3 V
ωz
ωz
L’énergie cinétique T s’écrit sous la forme :
T = 21 mv2 + 21 [I]G ω · ω
où [I]G est le tenseur d’inertie du solide S, au centre d’inertie G.
6. Annexe
Théorème 6.1. Permutation circulaire
A · (B × C) = (A × B) · C
TENSEUR D’INERTIE
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Démonstration.
  

Ax
By Cz − Bz Cy
A · (B × C) = Ay  . Bz Cx − Bx Cz 
Az
Bx Cy − By Cx
= Ax (By Cz − Bz Cy ) + Ay (Bz Cx − Bx Cz ) + Az (Bx Cy − By Cx )
= Ax By Cz − Ax Bz Cy + Ay Bz Cx − Ay Bx Cz + Az Bx Cy − Az By Cx
et,

  
Ay Bz − Az By
Cx



(A × B) · C = Az Bx − Ax Bz . Cy 
Ax By − Ay Bx
Cz
= (Ay Bz − Az By )Cx + (Az Bx − Ax Bz )Cy + (Ax By − Ay Bx )Cz
= Ay Bz Cx − Az By Cx + Az Bx Cy − Ax Bz Cy + Ax By Cz − Ay Bx Cz
Théorème 6.2.
A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B)
Démonstration.
et,
  

Ax
By Cz − Bz Cy
A × (B × C) = Ay  × Bz Cx − Bx Cz 
Az
Bx Cy − By Cx


Ay (Bx Cy − By Cx ) − Az (Bz Cx − Bx Cz )
= Az (By Cz − Bz Cy ) − Ax (Bx Cy − By Cx )
Ax (Bz Cx − Bx Cz ) − Ay (By Cz − Bz Cy )


Ay Bx Cy − Ay By Cx − Az Bz Cx + Az Bx Cz
= Az By Cz − Az Bz Cy − Ax (Bx Cy + Ax By Cx )
Ax Bz Cx − Ax Bx Cz − Ay (By Cz + Ay Bz Cy )
B(A · C) − C(A · B)
= B(Ax Cx + Ay Cy + Az Cz ) − C(Ax Bx + Ay By + Az Bz )


Bx (Ax Cx + Ay Cy + Az Cz ) − Cx (Ax Bx + Ay By + Az Bz )
= By (Ax Cx + Ay Cy + Az Cz ) − Cy (Ax Bx + Ay By + Az Bz )
Bz (Ax Cx + Ay Cy + Az Cz ) − Cz (Ax Bx + Ay By + Az Bz )


Bx Ay Cy + Bx Az Cz − Cx Ay By − Cx Az Bz )
=  By Ax Cx + By Az Cz − Cy Ax Bx − Cy Az Bz 
Bz Ax Cx + Bz Ay Cy − Cz Ax Bx − Cz Ay By
Application. Pour A = C = oM et B = ω, on a :
oM × (ω × oM) = ω(oM · oM) − oM(oM · ω)
14
OLIVIER CASTÉRA
Théorème 6.3.
(A × B) × C = B(A · C) − A(B · C)
Démonstration.
(A × B) × C = −C × (A × B)
et avec le théorème 6.2, en remplaçant A par C, B par A, et C par B,
(A × B) × C = −[A(C · B) − B(C · A)]
= B(A · C) − A(B · C)
Théorème 6.4.
(A × B) · (C × D) = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C)
Démonstration. D’après le théorème 6.1 :
X · (C × D) = (X × C) · D
On pose X = A × B, alors
(A × B) · (C × D) = [(A × B) × C] · D
et avec le théorème 6.3 :
(A × B) · (C × D) = [B(A · C)] − A(B · C)] · D
= (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C)
Application. Pour A = C = ω et B = D = GM, on a :
(ω × GM)2 = (ω · ω)(GM · GM) − (ω · GM)(GM · ω)
= ω 2(GM)2 − (ω · GM)2
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