Devoir à envoyer à la correction

Renforcer ses compétences en mathématiques
Devoir
I. Conseils pour mieux réussir le devoir
Le devoir porte sur les notions des chapitres VI, VII, VIII, IX, X et XI (seulement les paragraphes 4, 5 et 6).
Une difficulté d’ordre logique peut arrêter nombre d’étudiants dans l’exercice 3 ; on consultera à cet effet, le
paragraphe 1.2.3 du chapitre XV pour la contraposition d’une proposition.
EXERCICE 1
C’est un exercice typique du chapitre IX. Revoir les exercices corrigés du cours dans ce chapitre.
EXERCICE 2
Hormis le cône de révolution dont il faut connaître le volume, il s’agit de travailler avec les fractions, les
pourcentages et les durées. Par la suite, penser au théorème de Pythagore.
Ne pas oublier que pour dessiner le patron d’un cône, il faut rechercher l’« angle au sommet du cône » lorsqu’on le
déplie.
EXERCICE 3
Exercice typique concernant le théorème de Thalès et le théorème réciproque de Thalès.
Attention, le théorème de Thalès nous informe que si deux droites sont parallèles alors il y a en fait trois égalités
entre trois nombres ; par conséquent, la contraposition (cf. chapitre XV) indique que si au moins une de ces égalités
n’est pas vérifiée alors les deux droites ne peuvent pas être parallèles. Si cette méthode vous dérange, vous pouvez
utiliser un raisonnement par l’absurde.
EXERCICE 4
Revoir la formule de calcul de l’aire d’un triangle et l’appliquer de multiples fois dans des triangles différents (faire
apparaître sept triangles judicieux et considérer les hauteurs issues des sommets de ABC et A’B’C’). Pour la suite,
utiliser les angles et utiliser le théorème de Pythagore.
EXERCICE 5
Évidemment commencer par faire un dessin sur le cahier de brouillon. Dire que l’intersection est un cercle signifie
que l’intersection est incluse dans un cercle à préciser puis que ce cercle est lui-même dans l’intersection. Pour la
suite, dégager des inégalités vérifiées par x… sans en oublier !
1
II. Énoncé du devoir
EXERCICE 1 (2 points)
Le plan est muni d’un système d’axes de coordonnées (O, I, J) orthonormé.
1. Déterminer l’équation de la droite D qui passe par les points A (–1 ; -2) et B (3 ; 2).
2. Déterminer l’équation de la droite D’ qui est perpendiculaire à D et qui passe par le point M (–1 ;
5
).
2
3. Placer dans le repère (O, I, J) les points A, B et M puis représenter graphiquement les droites D et D’.
4. Calculer la valeur exacte de la distance d(M, D) du point M à la droite D.
EXERCICE 2 (5 points)
Un pâtissier doit réaliser pour un mariage une pièce montée qui a la forme d’un cône de révolution dont la hauteur
est de 40 2 centimètres et dont le rayon de la base vaut 20 centimètres.
1. Calculer la valeur exacte du volume de cette pièce montée.
2. Le pâtissier prévoit de réaliser
S
3
- les
du volume de la pièce montée durant la matinée,
8
5
- les
du volume restant à réaliser entre 12h00 et 14h00,
6
- la fin de la pièce montée durant l’après-midi.
+O
+ A
a) Dans ces conditions, déterminer le pourcentage de la partie du volume de la pièce montée réalisée
durant la matinée, entre 12h00 et 14h00 puis à la fin de la confection (arrondis à 10 −2 près).
b) Sachant que le pâtissier travaille toujours au même rythme et qu’il a mis 1h20min entre 12h00 et 14h00
pour réaliser ce qu’il avait prévu de faire, exprimer le temps qu’il a mis pour réaliser ce qu’il avait
prévu durant la matinée et durant l’après-midi. Combien de temps lui a demandé finalement la
confection de cette pièce montée (exprimer les durées en heures, minutes, secondes) ?
3. a) Si le point O est le centre du disque qui constitue la base de la pièce montée, le point S est le sommet
de la pièce montée et le point A est un point du cercle qui délimite la base, calculer la valeur exacte de
la distance SA (cf. figure ci-dessus).
b)
Réaliser un patron de cette pièce montée à l’échelle 0,2 =
1
.
5
EXERCICE 3 (4 points)
L’unité de longueur est le centimètre.
Considérons la figure ci-dessous sur laquelle ABCD est un parallélogramme, le point J appartient au segment [AB],
le point I est le point d’intersection de [AC] et [DJ], JI = 9, ID = 12 et le point M est un point de la demi-droite [DJ)
qui n’appartient pas au segment [DJ]. On pose x = MJ (x > 0).
1. Démontrer que AJ =
3
AB .
4
2. Si x = 6,3, les droites (MB) et (AD)
sont-elles parallèles ?
3. Déterminer la valeur exacte de x pour
que les droites (MB) et (AD) soient
parallèles.
2
EXERCICE 4 (5 points)
Soit ABC un triangle (non aplati) quelconque. Considérons le point A’, symétrique de A par rapport à C, le point
B’, symétrique de B par rapport à A et le point C’, symétrique de C par rapport à B.
1. Démontrer que l’aire du triangle A’B’C’ est proportionnelle à l’aire du triangle ABC.
2. Si ABC est un triangle équilatéral de côté a, démontrer que A’B’C’ est également un triangle équilatéral
dont on exprimera la longueur du côté en fonction de a.
EXERCICE 5 (4 points)
Considérons S (O ; R) une sphère de centre O et de rayon R > 0.
Soit P un plan de l’espace tel que la distance de O à P, notée d(O, P), vérifie 0 ≤ d(O, P) ≤ R . On note I le point
d’intersection du plan P et de l’unique perpendiculaire à P passant par O si bien que OI = d(O, P)
.
1. Démontrer que l’intersection du plan P et de la sphère S (O ; R) est un cercle de centre I dont on précisera
le rayon noté r en fonction de R.
2. Dans cette question, on suppose que d(O, P) vérifie : 0 < d(O, P) < R.
Soit C le cône de révolution de sommet O et dont la base est constituée du cercle C (I ; r).
Le plan P coupe la sphère pour définir deux surfaces, appelées « calottes sphériques », l’une contenue dans
le demi-espace défini par P auquel appartient le point O et l’autre contenue dans le demi-espace défini par
P auquel n’appartient pas le point O.
Considérons la surface S’ qui est obtenue comme réunion du cône C et de la calotte sphérique incluse dans
le demi-espace défini par P qui ne contient pas le point O (cf. figure ci-dessous).
Quel est le rayon maximal, noté x , de la sphère de centre I que l’on peut insérer à l’intérieur de S’ ; on
exprimera x en fonction de R, r et OI (voir figure ci-dessous) ?
Indication : on pourra effectuer une figure de la section de S’ par un plan perpendiculaire à P qui passe par le
point O.
Solide S'
O
L’attribution des points de votre devoir prendra en compte l’orthographe et la qualité de la rédaction.
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