Puissances de 10

Voir aussi http://perso.wanadoo.fr/pernoux/expos.pdf (règles de calcul concernant les puissances entières)
QUELQUES RAPPELS CONCERNANT LES PUISSANCE DE 10
1°) Exposants entiers positifs.
a) On pose par définition : 10 × 10 × 10 = 103
b) Pour écrire les nombres : 16 203 = 1,620 3 × 10 000 donc
16 203 = 1,6 203 × 10 4
c) Règles de calcul :
• 103 × 104 = 1000 × 10000 = 10000000 = 107 et de manière générale
10a × 10b = 10a+b
•
10a
106 1000 000
=
=
= 10a−b
100
et
de
manière
générale
4
b
10
000
10
10
("exposant du haut moins exposant du bas")
(
• 103
)
4
= 1000 × 1000 × 1000 × 1000 = 1000 000 000 000 = 1012
et de manière générale
(10 )
a
b
= 10a×b
Les trois règles sont valables avec un autre entier que 10 :
5 2 × 5 6 = 5 2 + 6 = 58
46
= 4 6 − 3 = 43
3
4
78
= 78 − 2 = 7 6
2
7
2°) Exposant nul
10a
= 10a−b soit encore valable pour a = b, on pose,
b
10
0
par définition, 10 =1
a) Pour que la règle
b) Pour écrire les nombres : 2 = 2 × 1 = 2 × 100 [pas nécessairement très
passionnant ;-) ]
c) Les règles de calcul vues au 1°) restent valables quand a ou b vaut 0.
Exemple :
105
= 105−5 = 100 = 1
5
10
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D. Pernoux
D. Pernoux 03/12/05
3°) Exposants entiers négatifs
10a
= 10a −b soit encore valable pour a<b, on pose,
b
10
1
par définition, 10-5 = 5 = 0,000 01 (on peut retenir que le 1 est à la
10
cinquième place à droite après la virgule ou bien qu'il y a cinq zéros
en comptant le zéro avant la virgule)
1
Ce n'est pas valable que pour 10 : de façon générale a-5 = 5
a
1 1
Exemple : 2-3 = 3 =
8
2
a) Pour que la règle
b) Pour écrire les nombres : 0,002 36 = 2,36 × 0,001 = 2,36×10-3
c) On démontre que les trois règles vues au 1 restent valables quand a ou b
(ou les deux) sont négatifs et que donc elles sont valables avec a et b entiers
quelconques
• Exemple pour la première règle :
105 × 10 −3 = 105+( −3) = 10 2
(ce qui signifie :100000×
1
=102 )
1000
• Exemples pour la deuxième règle :
10-5
0,000 01
= 10 −5−3 = 10 −8 ce qui signifie :
= 0,000 000 01
3
1000
10
1000 000
106
= 106−( −3) = 109 ce qui signifie :
= 1000 000 000
−3
0,001
10
• Exemples pour la troisième règle :
(10 )
3
−2
(10 )
−2
−3
1
= 0,000 001
1000 × 1000
1
= 106 ce qui signifie
= 1000 000
0,01 × 0,01 × 0,01
= 103×( −2) = 10−6 ce qui signifie
= 10( −2)×( −3)
• Exemple plus complexe :
2,5 × 10−3 × (5 × 104 )2 25 × 10 −1 × 10−3 × 52 × 108
=
25 × 10 −4
25 × 10 −4
25 × 25 × 10 −1−3+8 25×10 4
=
=
=25×10 4-(4) =25×108
−4
-4
25 × 10
10
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