Chapitre n°1 : « Équations et inéquations du 1 er degré. »

3ème
2009-2010
Chapitre n°1 : « Équations et inéquations du 1er degré. »
I. Calcul littéral (rappels)
• Remplacer dans une expression : on considère l'expression A=2 x – 5 , calcule A
pour x=2,5 ; x=– 3 et x=0 .
A=2× – 3 – 5
A=– 6 – 5
A=– 11
• Rappels
 – 5– 8=– 5 – 8=– 13
5 – 11=5 – 11=– 6
 – 5 – 3=– 5 – 3=– 8
 – 813=– 813=5
311=14
8 – – 2=82=10
• Règles de signe pour la multiplication : « - par – donne + » ; « + par + donne + » ;
« - par + donne - » et « + par – donne - ».
 – 5×– 8=40
 – 0,5×5=– 2,5
• Réduire une somme :
8 x – 5 x=3 x
– 3 x 7 x=4 x
– 8 x25 x=−3 x2
2
2
2
3 x 7 x – 5 x =−2 x²7 x
– x5 x8 x =8 x² 4 x
• Réduire un produit :
2 x ×4 x = 2×4× x×x =8 x 2
2 x × – 11=– 22 x
x×– 8 x =−8 x²
– 8 x×7 x=– 56 x 2
– 5 x× – 4 x =20 x²
– 12×2 x=−24 x
• Développements simple et double
k  ab=kakb
k  a−b=ka−kb (formules de développement simple)
ab cd =acad bcbd (développement double)
7 2 x – 5=14 x – 35
– 8  x – 7=– 8 x56
 – 2 x87 – 5 x =– 2 x×7 – 2 x×– 5 x 8×78× – 5 x 
−2x87−5x=−14x10x²56−40x
2
 – 2 x87 – 5 x =10 x – 54 x56
• Réductions et parenthèses :
A=5 –  – 3 x8 – x 2
2
A=53 x – 8x
2
A= x 3 x – 3
2
2
– 4 x  – 2 x4=8 x – 16 x
B=2 x – 7 – x – 4 x 
2
B=2 x – 7x 4 x
2
B=x 6 x – 7
3ème
2009-2010
II. Équation
Alice et Bertrand saisissent le même nombre de départ sur leurs calculatrices puis effectuent
les programmes de calculs suivants :
• Alice multiplie le nombre de départ par 8 puis ajoute 7 au résultat obtenu.
• Bertrand multiplie le nombre de départ par 6 puis ajoute 12 au résultat obtenu.
Ils s'aperçoivent alors que leurs calculatrices affichent le même résultat.
Quel est ce nombre ?
1/ Vocabulaire (rappels)
L'inconnue est le nombre que l'on cherche à trouver lors de la résolution de l'équation.
Une équation est composée de deux parties : le membre de gauche et le membre de droite :
• Alice (membre de gauche) : 8× x7
• Bertrand (membre de droite) : 6×x12
L'équation est donc 8 x7=6 x12 .
Résoudre une équation c'est chercher à trouver le nombre qui rend le membre de gauche égal
au membre de droite. Une fois trouvé, ce nombre s'appelle la solution.
2/ Tester une équation
C'est remplacer l'inconnue par un nombre et « voir » si c'est une solution.
Exemple/Méthode
Testons notre équation 8 x7=6 x12 pour x=2 ; x=3 et x=2,5 .
Membre de gauche : 8 x7
Membre de droite : 6 x12
Solution ?
8×27=167=23
6×212=1212= 24
non
8×37=247=31
6×312=1812=30
non
8×2,57=207= 27
6×2,512=1512=27
oui
3/ Équations simples (à savoir résoudre)
Méthode
Pour résoudre une équation du genre x5=−12 , il faut se poser la question suivante :
« Quel nombre ajouté à 5 donne – 12 ? ».
C'est – 17 car – 175=– 12 .
Exemples
x−5=9
x=14
x5=−3
−7x=−12
4=7−x
−x4=−5
6−x=8
x=– 8
x=– 5
x=3
x=9
x=– 2
3ème
2009-2010
Méthode
Pour résoudre une équation du genre 7 x=28 , il faut se poser la question suivante :
« Quel nombre multiplié à 7 donne 28 ? ».
C'est 4 .
Exemples
5 x=55
x=11
– 2 x=8
7 x=– 49
8× – 4 x =64
– 32 x=64
– 121=11 x
x=– 4
x=– 7
x=– 2
x=−11
Autres exemples
7 x=4
5=4 x
x=
4
7
x=
5
4
−2 x=4
x=
4
=−2
−2
−2=8 x
x=
−2
1
=−
8
4
Propriété
a et b représentent deux nombres non nuls.
La solution de a=b x est x= a . De même, la solution de x×a =b est x= b
b
a
4/ Méthode générale pour résoudre une équation (1er degré)
Activité/Exemples
On admet le principe suivant : « lorsqu'on ajoute ou retranche un même nombre aux deux
membres d'une équation, on ne change pas les solutions ».
Appliquons ce principe pour résoudre autrement l'équation :
−5x=2
5−5 x =25 (on ajoute 5 dans chaque membre)
x=7
De même :
−6=x4
−4−6= x4−4
−10= x
x=−10
On complique...
72 x=−5
−772 x=−5−7
2 x=−12
3ème
2009-2010
x=
−12
=−6
2
Encore...
8−2 x=−4 x
−x8−2 x=−4 x− x
−3 x8=−4
−8−3 x8=−4−8
−3 x=−12
−12
x=
=4
−3
Remarque
On pourra aussi consulter un cours sur la résolution d'équations à l'adresse suivante :
http://manuel.sesamath.net/index.php?page=diapo&niveau=4e&atome=1755&ordre=1
Exemple type avec méthode
On veut résoudre cette équation 2 x−8=−12− x .
• 1ère étape :
−2 x2 x−8=−12− x−2x
– 8=– 12 – 3 x
• 2ère étape :
– 812=– 12 – 3 x12
4= – 3 x
• 3ère étape :
4
x=
–3
• 1ère étape :
On fait disparaître le terme en x du
membre de gauche. Il n'y a des x que
dans le membre de droite.
• 2ère étape :
On débarrasse du nombre – 12 . Les
nombres sont dans le membre de
gauche.
• 3ère étape :
b
x=
b=ax a pour solution
a
5/ Mise en équation (méthode)
Énoncé du problème
Des amis organisent un repas en commun, en partageant les frais équitablement. Si chacun
donne 9 euros, il y a 8 euros en trop. Si chacun donne 6 euros, il manque 13 euros.
Combien y a-t-il d'amis ?
Résolution
• 1ère étape : « choix de l'inconnue »
x représente le nombre d'amis
• 2ème étape : « traduire mathématiquement l'énoncé »
On exprime en fonction de x le prix du repas en commun
9× x – 8 correspond à « chacun donne 9 euros, il y a 8 en trop »
3ème
2009-2010
6× x13 correspond à « chacun donne 6 euros, il manque 13 »
• 3ème étape : « mise en équation »
9 x – 8=6 x13
– 9 x9 x – 8= – 9 x6 x13
– 8=– 3 x13
– 8 – 13=– 3 x13 – 13
– 21= – 3 x
−21
x=
−3
x=7
• 4ème étape : « conclusion »
Il y a 7 personnes. Le prix du repas est 55 euros.
Sites
Méthode animée pour la résolution d'équations ax+b=cx+d
http://mathenpoche.sesamath.net/pages/arbre_aides/voir_aide.php?idres=1063
Exercice n°22 p79
x représente le nombre d'années recherchées.
Aujourd'hui
Dans x années
Zelda
11
11 x
Agnès
26
26 x
2×11 x=26 x
222 x=26 x
222 x – 2 x =261 x – 2 x
22=26 – 1 x
22 – 26=26 – 1 x – 26
– 4=– 1 x
x=4
Dans 4 ans, l'âge d'Agnès sera le double de celui de Zelda
3ème
2009-2010
III. Inéquation
1/ Symboles à connaître
...... signifie « .. est strictement inférieur à ... »
...... signifie «... est strictement supérieur à ... »
...... signifie « … est inférieur ou égal à ... ».
...... signifie « … est supérieur ou égal à ... »
Exemples
Je peux écrire
6
6
2 car
est égal à 2 . Avec ces mêmes nombres, je ne peux pas utiliser
3
3
le symbole < .
Si x représente un nombre, l'inégalité x7 signifie que x est un nombre plus petit ou égal
à 7.
De même :
• – 2 x est l'ensemble des nombres supérieurs à – 2 ( – 2 y compris)
• y 0 est l'ensemble des nombres supérieurs à 0 ( 0 y compris).
2/ Inéquations « simples »
Quels sont les solutions de l'inéquation : x25 . Les solutions sont les nombres qui ajoutés
à 2 , donne une somme supérieure (strictement) à 5 : ce sont les nombres strictment
supérieurs à 3 .
De même :
x4– 7
x35
x – 26
3 x12
– 4 x12
x– 11
x2
x8
x4
x– 3
Exemples
4 x7
x3
5 x – 3
8 x
ou bien
x8
5 x – 9
x– 14
5 x35
x7
– 3 x27
x– 9
3/ Représentation des solutions sur une droite graduée
a = -1
b = 10
On souhaite représenter les solutions d'une inéquation sur une droite graduée.
On considère x32 .
Les solutions sont x– 1 .
-1 0
On considère une autre inéquation (presque la même !) : x32
a = -1
b = 10
3
2009-2010
ème
Les solutions sont x– 1 .
-1 0
Il faut arriver à distinguer sur la droite graduée si – 1 fait partie ou non des solutions.
Pour cela, on utilise le crochet : [ ou ] .
[ est appelé « crochet droit » et ] est appelé « crochet gauche ».
Lorsque le nombre (ici c'est – 1 ) fait partie des solutions, on oriente le crochet vers le trait
à l'opposé du trait rouge.
= 10
a rouge.
= -1 Sinon, bc'est
Les solutions de x– 1 se représentent ainsi :
]
a = -1
-1 0
b = 10
et les solutions de x– 1 :
[
-1 0
4/ Tester une inéquation
Exemple/Méthode
Est-ce que x=−2 est une solution de l'inéquation 3 x7−2 x2 ?
On calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite pour x=– 2 .
• 3 x7=3×– 27=– 67=1
• – 2 x2= – 2× – 22=42=6
1 n'est pas strictement supérieur à 6 , donc x=– 2 n'est pas solution.
Même question pour x=5 .
• 3 x7=3×57=157=22
• – 2 x2= – 2×52= – 102= – 8
22– 8 donc x=5 est solution.
Autre exemple
Est-ce que x=– 3 est une solution de l'inéquation – 2 x43 x – 7 .
• – 2 x4=– 2× – 3 4=64=10
• 3 x – 7=3× – 3 – 7= – 9 – 7= – 16
Donc x=– 3 n'est pas une solution.
5/ Méthode résolution
3ème
2009-2010
Activité/Exemple
On applique le même principe que pour les équations : « On ne change pas les solutions d'une
inéquation en ajoutant ou retranchant un même nombre dans chaque membre ».
Par exemple :
2 x5 x – 3
2 x5 – x  x – 3 – x
x5–
b =3-10
a =1-8
1 x5 – 5– 3 – 5
1 x– 8
x– 8
[
-8
0
Cas où l'on change l'ordre
2 x33 x – 2
2 x3 – 3 x 3 x – 2 – 3 x
– 1 x3– 2
– 1 x3 – 3 – 2 – 3
– 1 x – 5
–5
x
–1
x5
D'après cette inégalité, 0 est une solution. Remplaçons x par 0 dans l'inéquation du début.
• 2 x3=2×03=3
• 3 x – 2=3×0 – 2= – 2
On n'a pas 3 qui est inférieur à – 2 : problème ! Les solutions sont fausses.
Les solutions sont peut-être x5 (?). Dans ce cas, 10 serait une solution :
• 2 x3=2×103=203=23
• 3 x – 2=3×10 – 2=30 – 2=28
On a bien 2328 .
On remarque que lorsque le coefficient de x est négatif, le sens de l'inéquation est renversé.
Propriété
a et b représentent deux nombres. x est l'inconnue.
b
Si a 0 alors les solutions de ax b sont x a .
b
Si a 0 alors les solutions de ax b sont x
a
Exemples
7 x – 8
8
x–
7
– 3 x9
9
x–
3
3ème
2009-2010
6/ Mise en inéquation (problème)
Exercice n°59 page 81 (2ème question)
• Choix de l'inconnue : x représente le nombre de glaces qu'il doit vendre pour faire
un bénéfice supérieur à 76 euros.
• Traduction de l'énoncé en fonction de l'inconnue : 2,5 x – 75 représente son bénéfice
par semaine.
• Mise en inéquation : 2,5 x – 7576
• Résolution :
2,5 x – 7576
752,5 x – 757675
2,5 x151
151
x
2,5
x60,4
• Conclusion : il doit vendre au moins 61 glaces pour pouvoir faire son bénéfice.