CHAPITRE 13 : SYSTÈMES D`ÉQUATIONS

CHAPITRE 13 : SYSTÈMES D'ÉQUATIONS
Objectifs :
[3.240] Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues
[3.241] Interpréter graphiquement la résolution d'un système de deux équations.
I. Systèmes de deux équations à deux inconnues
Exemple :
2 x −5 y=12
est un système de deux équations à deux inconnues x et y.
−x3 y=−7
● Pour x = 1 et y = – 2, les deux égalités sont vraies :
2×1−5×−2=210=12
et −13×−2=−1−6=−7
On dit que x = 1 et y = -2 est une solution du système.
Ou bien que le couple (1 ; -2) est une solution du système.
{
●
Le couple (8,5 ; 1) n’est pas solution du système. En effet, pour x = 8,5 et y = 1, l’une des
égalités est fausse :
−8,53×1=−8,53=−5,5≠7
II. Résolution d'un système
Définition et méthode
Résoudre un système, c’est trouver toutes les solutions de ce système.
Pour cela on se ramène à la résolution d’équations à une inconnue.
a) Résolution par substitution
Exemple : Résous le système
{ xx
−3  y =9
par substitution.
4 − 3 y = − 17
On exprime
équation.
y = 9  3x
On remplace (substitue)
équation.
4x − 3(9  3x) = − 17
x
4x − 27 − 9x = − 17
− 5x = 10
=−2
y = 9  3 × (− 2)
y=9−6
y=3
Donc, si
{ xx
− 3  y =9
alors
4 − 3 y = − 17
y en fonction de x à l'aide de la première
{ xy
y par 9  3x dans la deuxième
On résout l'équation à une inconnue ainsi obtenue pour
trouver la valeur de x.
On remplace x par − 2 dans l'équation trouvée à la
première étape pour trouver la valeur de y.
=−2
.
=3
On vérifie ensuite que le couple (− 2 ; 3) est une solution effective de ce système en appliquant la
méthode 1. On en déduit que (− 2 ; 3) est la solution de ce système.
b) Résolution par combinaison
Résous le système
{ xx
5 −4 y =8
par combinaisons.
2  5y =1
Détermination d'une des inconnues
On cherche à éliminer l'inconnue
y pour se ramener à une équation du premier degré à une inconnue.
{
5 × 5 x − 4 y  = 5 × 8
4 × 2 x  5 y  = 4 × 1
On multiplie les deux membres de la première équation
par 5 et ceux de la seconde par 4.
{
25 x − 20 y = 40
8 x  20 y = 4
On obtient ainsi des coefficients opposés devant
les deux équations.
On ajoute membre à membre les deux équations du
système ainsi obtenu pour éliminer y
25x  8x = 40  4
x
y dans
33x = 44
44 4 × 11 4
=
=
=
33 3 × 11 3
On résout cette équation à une inconnue pour trouver
la valeur de x.
Détermination de l'autre inconnue
On cherche à éliminer l'inconnue
x pour se ramener à une équation du premier degré à une inconnue.
{
2 × 5 x − 4 y  = 2 × 8
5 × 2 x  5 y  = 5 × 1
On multiplie les deux membres de la première équation
par 2 et ceux de la seconde par 5.
{
10 x − 8 y = 16
10 x  25 y = 5
On obtient ainsi le même coefficient devant
deux équations.
On soustrait membre à membre les deux équations du
système ainsi obtenu pour éliminer x.
− 8y − 25y = 16 − 5
y
− 33y = 11
11
11 × 1
1
=−
=−
=
− 33
11 × 3
3
{
5x−4 y =8
Donc, si
alors
2x 5y =1
x dans les
{
On résout cette équation à une inconnue pour trouver
la valeur de y.
x =4
3
.
y =−1
3


4
1
;−
On vérifie ensuite que le couple
est une solution effective de ce système en appliquant la
3
3
méthode 1.
4
1
;−
On en déduit que le couple
est la solution de ce système.
3
3


Remarque : Pour trouver la valeur de y, on pouvait aussi remplacer x par
du système de l'énoncé et résoudre l'équation ainsi obtenue.
4
dans l'une des deux équations
3
III.Interprétation graphique du résultat
Si on exprime, dans chaque équation du système, y en fonction de x, on obtient l’équation d’une
droite, que l’on peut ensuite représenter graphiquement.
{
3 x2 y=−1
⇔
4 x y= 2
{
2 y=−3 x−1
⇔
y=−4 x2
{
3
1
y=− x−
2
2
y= −4 x2
Dans un repère, on trace les droites d 1 et d 2 représentant les fonctions affines :
f:x®
3
1
− x−
2
2
et g : x ®
−4 x2
Les droites d 1 et d 2 sont sécantes en A.
La solution (1 ; -2) du système correspond aux coordonnées du point d’intersection des droites
d 1 et d 2 .