MOUVEMENT D`UNE PARTICULE CHARGÉE DANS UN CHAMP

MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS
UN CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE CONSTANT
I. FORCE DE LORENTZ
I.1 Force de Lorentz
La force de Lorentz est l’un des postulats de l’électromagnétisme.
G G
G
Soit une particule de charge q, de vitesse v dans un référentiel ℜ et placée dans un champ électromagnétique E , B .
(
La particule est soumise à la force de Lorentz :
)
G
G
G G
f = qE + qv ^ B
G
G G
qE est appelé force électrique et qv ^ B est appelé force magnétique
I.2 La force de Lorentz est une force conservative – Energie potentielle de la force électrique
G JJG
G
G JJG
G G JJG
G G G
Le travail élémentaire vaut : δ W = f ⋅ dl = qE + qv ^ B ⋅ dl = qE ⋅ dl + qv ^ B ⋅ v dt
G
G G
Le deuxième terme est nul car le produit vectoriel qv ^ B est orthogonal au vecteur vitesse v .
G JJG
G JJG
Dans le cas d’un champ indépendant du temps : dV = − E ⋅ dl . On a donc δ W = qE ⋅ dl = − q dV . La force électrique
G JJG
dérive donc d’une énergie potentielle : δ W = qE ⋅ dl = − q dV = −dE p , d’où E p = qV
(
)
(
)
La force magnétique est conservative et ne travaille pas.
La force électrique est conservative et dérive d’une énergie potentielle : E p = qV
Si on applique le théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel galiléen, ∆Ec = W fG
Comme la force magnétique ne travaille pas, elle ne modifie pas la norme de la vitesse.
La force électrique fait varier la norme de la vitesse.
Dans les accélérateurs de particules, le rôle accélérateur est toujours joué par la composante électrique du champ
électromagnétique.
I.3 Deux familles d’accélérateurs de particules
¾ Accélérateurs linéaires : Le champ est purement électrique et la trajectoire est rectiligne.
Exemple : accélérateur de Stanford en Californie 3,2 km de longueur.
¾ Accélérateur circulaire : dans lesquels l’intervention d’une composante magnétique remplie la trajectoire. Le
rôle accélérateur est joué par le champ électrique appliqué le long de certaines parties.
Exemple : synchrotron du CERN près de Genève – anneau de 27 km de circonférence.
http://public.web.cern.ch/public/fr/lhc/HowLHC-fr.html
II. MOUVEMENT D’UNE PARTICULE DANS LE VIDE PLACÉE DANS UN CHAMP
ÉLECTRIQUE
II.1 Cas de la déflexion électrique d’un faisceau d’électrons (oscilloscope)
G
On considère un électron de vitesse initiale v0 dans le champ qui règne entre
les armatures d’un condensateur plan.
On a vu que le champ électrique est dirigé dans le sens des potentiels
G U
décroissants : E =
en appelant U la différence de potentiel entre les deux
d
G
G
plaques et d la distance entre les deux plaques. En projection, on a : E = E u y
avec E =
•
−U
< 0 en considérant que U > 0.
d
•
Système : {électron de charge q = −e et de masse m négligeable}
G G G
Référentiel : ℜ = O, i , j , k référentiel terrestre galiléen.
•
Bilan des forces :
(
y
z
G
v0
O
M
G
E
)
- le poids est toujours négligeable pour les particules élémentaires.
Q Particule dans un champ E et B (33-301)
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x
G
- force électrique : qE
 x = v0 t
 x = v0


qE 2
qE


t
t et  y =
•
 y =
m
2m


z = 0
 z = 0


La trajectoire est une parabole. On vérifie que y > 0 puisque q < 0 et E < 0 .
mx = 0
G
G G G
G

PFD : ma = qE . Projection du PFD sur i , j , k : my = qE , soit
mz = 0

(
)
II.2 Définition de l’électronvolt
L’électron volt est l’énergie cinétique acquise par un électron soumis à une différence de potentiel de 1 V.
Il suffit d’appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre le point A et le point B avec VB − VA = 1 V .
Attention au signe de la différence de potentiel.
Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit : ∆Ec = WA→B = −∆E p = − q (VB − VA ) = e (VB − VA ) .
Application numérique : 1 eV = 1, 6 × 10−19 J .
III. MOUVEMENT D’UNE PARTICULE DANS LE VIDE PLACÉE DANS UN CHAMP
MAGNÉTIQUE
III.1 Cas particulier où la vitesse initiale est orthogonale au champ magnétique : mouvement cyclotron
a) Mise en équation
G
G
On considère un électron de charge q = −e de vitesse initiale v0 = v0 j et
G
G
−qB
plongé dans un champ magnétique B = B k . On pose ω =
.
m
• Système : {électron de charge q = −e et de masse m négligeable}
G G G
• Référentiel : ℜ = O, i , j , k référentiel terrestre galiléen.
(
•
•
G
B
)
Bilan des forces :
- le poids est toujours négligeable
pour les particules élémentaires.
G G
- force magnétique : qv ^ B
G G G
G
G G
PFD : ma = qv ^ B . Projection du PFD sur i , j , k :
(
C
)
z
M
O
x = −ω y
mx
x 0 qyB
 
, soit  y = ω x
my = q y ^ 0 = −qxB

z=0
mz
z B 0
 Comme z = 0 , alors z = cte . Comme la vitesse initiale est orthogonale
au champ magnétique, alors z = 0 et z = cte = 0 .
Le mouvement est donc plan.
G
v0
y
x
x = −ω y
 On a deux équations couplées : 
. La technique classique pour une particule placée dans un champ
y = ωx
 magnétique est de faire le changement de variables : u = x + i y
¾
Si on fait (1) + i (2), on obtient : x + iy = −ω y + iω x = iω ( x + iy ) , soit u − iω u = 0 . C’est une équation
¾
différentielle du premier ordre en u. Attention : comme u est complexe, il faut faire intervenir des constantes
complexes.
On a alors : u = A exp ( iω t ) . À t = 0, u ( 0 ) = A = iv0 . On a donc : u = iv0 exp ( iωt ) .
¾
On intègre une autre fois pour obtenir u : u =
On a alors u =
v0
ω
exp ( iωt ) −
v0
ω
v0
ω
exp ( iωt ) + B . À t = 0, u ( 0 ) =
v0
ω
+ B = 0 , d’où B = −
v0
ω
.
. Il reste à prendre la partie réelle et la partie imaginaire pour remonter à x et y.
v0
v0

 x = ω cos (ωt ) − ω
v
. C’est l’équation cercle de rayon R = 0 et de centre C ( 0, − R )

v
ω
 y = 0 sin (ωt )

ω
Q Particule dans un champ E et B (33-301)
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La vitesse angulaire vaut ω =
qB
m
mv0
Le rayon du cercle vaut R =
qB
. On l’appelle pulsation cyclotron.
b) Application au cyclotron
Dans un cyclotron le champ magnétique est appliqué perpendiculairement dans une chambre vide en forme de
disque, laquelle contient deux électrodes semi-circulaires en forme de D. Les portions rectilignes de ces électrodes
se font face. Le flux d’électrons ou d’ions traversant un champ magnétique perpendiculaire est soumis à une force
perpendiculaire à la direction du mouvement. Ici, dans le vide, ces particules chargées suivent un parcours
circulaire. Si l'appareil est capable d'augmenter leur énergie elles suivront une spirale en expansion. Une tension
alternative de haute fréquence est appliquée aux électrodes en D, ce qui accélère les particules à chacun de leurs
passages de l'une à l'autre.
1 : Source de
protons
2 : Protons accélérés
GANIL à Caen : 2 cyclotrons placés en série.
http://www.ganil-spiral2.eu/science/accelerateurs
c) LHC à Genève - ITER
Q Particule dans un champ E et B (33-301)
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III.2 Cas général – Mouvement hélicoïdal
On considère un électron de charge q = −e de vitesse initiale quelconque et plongé dans un
G
G
G
champ magnétique B . On choisit l’axe Oz pour que B = B k . On choisit les axes x et y
G
G
G
−qB
.
pour que v0 = v1 j + v2 k . On pose ω =
m
• Système : {électron de charge q = −e et de masse m négligeable}
G G G
• Référentiel : ℜ = O, i , j , k référentiel terrestre galiléen.
(
•
•
G
B
M
z
y
O
)
Bilan des forces :
- le poids est toujours négligeable
pour les particules élémentaires.
G G
- force magnétique : qv ^ B
G G G
G
G G
PFD : ma = qv ^ B . Projection du PFD sur i , j , k :
(
mx
x 0 qyB
, soit
my = q y ^ 0 = − qxB
mz
z B 0
x
)
x = −ω y
 
y = ω x
  z = 0
z = 0 , alors z = v2 et z = v2 t
Comme x = −ω y
 On a deux équations couplées : 
. La technique classique pour une particule placée dans un champ
y = ωx
 magnétique est de faire le changement de variables : u = x + i y
¾
Si on fait (1) + i (2), on obtient : x + iy = −ω y + iω x = iω ( x + iy ) , soit u − iω u = 0 . C’est une équation
¾
différentielle du premier ordre en u. Attention : comme u est complexe, il faut faire intervenir des constantes
complexes.
On a alors : u = A exp ( iωt ) . À t = 0, u ( 0 ) = A = iv1 . On a donc : u = iv1 exp ( iω t ) .
¾
On intègre une autre fois pour obtenir u : u =
À t = 0, u ( 0 ) =
On a alors u =
v1
ω
v1
ω
+ B = 0 , d’où B = −
exp ( iωt ) −
v1
ω
v1
ω
v1
ω
exp ( iωt ) + B .
.
. Il reste à prendre la partie réelle et
la partie imaginaire pour remonter à x et y.
v1
v1

 x = ω cos (ωt ) − ω

v1

.
 y = sin (ωt )
ω

 z = v2 t


On a la combinaison d’un mouvement rectiligne et uniforme le long de Oz et d’un mouvement circulaire uniforme et
uniforme dans le plan Oxy.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Charges/q_dans_B.html
C’est l’équation cercle de rayon R =
v0
ω
et de centre C ( 0, − R )
Le mouvement le plus général d’une particule lancée dans un champ magnétique constant est hélicoïdal et
uniforme.
Q Particule dans un champ E et B (33-301)
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