Repérage dans le plan

Seconde
REPERAGE
Ch 05
DANS LE PLAN
I) Repérage des points du plan :
Définition 1 : Un repère est un triplet ( O, I , J ) de points non alignés.
- O est l'origine de repère.
- La droite graduée ( OI ) est l'axe des abscisses (premier axe).
- La droite graduée ( OJ ) est l'axe des ordonnées (second axe).
- Si les axes sont perpendiculaires (en O), on dit que le repère est orthogonal.
- Si les axes sont perpendiculaires et si OI = OJ (même unité), on dit que le repère est orthonormal.
Remarques : 1) Pour un repère orthonormé ( O, I , J ) , le triangle OIJ est un triangle rectangle isocèle en O.
2) Sauf avis contraire, les repères considérés seront orthonormés.
M
Théorème 1 : Dans un repère, tout point est repéré par un couple unique
de nombres réels, couple représentant l’abscisse et l’ordonnée du point ;
l’abscisse et l’ordonnée sont les coordonnées du point.
yM
J
o
O
ex : Soit un repère ( O, I , J ) ; si la projection du point M sur l’axe ( O, I )
I
xM
correspond à un nombre noté xM et si la projection de M sur l’axe ( O, J )
correspond à un nombre noté yM , alors on dit que xM et yM sont les
B
4
coordonnées de M, et on note M ( xM , yM ) , ce qui se lit : « M de
A
coordonnées xM et yM ».
Ce couple ( xM ; yM ) est unique.
2
xM est l’abscisse de M, et yM est l’ordonnée de M.
J
o
O
-2
ex : Soit un repère ( O, I , J ) ; placer les points A ( 2;3) , B ( −1; 4 ) ,
I
2
4
D
C ( 3; −2 ) et D ( −2; −1) dans ce repère.
(Méthode : on place les coordonnées d’un point sur les axes, et on trouve le
point à l’intersection des parallèles aux axes passant par ces coordonnées).
Remarque :
On peut aussi repérer un point dans un réseau carré ou rectangulaire
(ex : la lettre Ω est dans la cellule A2).
-2
1
2
3
A
α
Ω
Φ
C
B
σ
β
∞
C
π
ψ
γ
D
λ
∆
ϕ
II) Milieu et distance :
D
yB
Propriété 1 : Soient A et B deux points de coordonnées
A ( x A , y A ) et B ( xB , yB ) dans un repère ( O ; I , J ) ; alors le
milieu M de [ AB ] a pour coordonnées :
x + xB
y + yB
et yM = A
.
xM = A
2
2
MM
B
M
yM
J
yA
o
O
C
A
I
xA
N
xM
xB
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Seconde - Cours 05 - Repérage dans le plan
Preuve : Soit C ( xB , yB ) , et soit N le milieu de [ AC ] .
On a ( BC ) // ( Oy ) et ( MN ) // ( BC ) par le théorème de la droite des milieux dans un triangle ; donc ( MN ) // ( Oy ) ,
donc N a la même abscisse que M.
Comme ( AC ) // ( Ox ) , on a xM qui est situé au milieu de l’intervalle [ xA ; xB ] , d’où : xM =
Procédant de même avec le point D, on obtient yM =
xB + x A
.
2
yB + y A
.
2
Propriété 2 : Soient les points A ( xA , y A ) et B ( xB , yB ) ; alors la distance AB est égale à :
AB =
( xB − x A )
2
2
+ ( yB − y A ) .
Preuve : Soit C ( x A , y B ) ; le triangle ABC est rectangle en C, donc, Pythagore,
yA
A
on a : AB 2 = AC 2 + BC 2 .
Or ( AC ) et ( CB ) sont parallèles aux axes, donc :
2
AC 2 = ( yC − y A ) = ( yB − y A )
2
AB 2 = ( xB − xA ) + ( yB − y A )
2
2
2
2
et CB 2 = ( xB − xC ) = ( xB − x A ) , d’où :
J
et la formule par racine carrée.
yB
B
C
o
O
I xA
xB
Remarque : l’ordre ( xB − x A ) ou ( xA − xB ) n’a ici pas d’importance puisqu’en
fait on s’intéresse aux carrés, qui sont les mêmes dans les deux cas.
ex : Soient les points A ( 7, 2 ) et B (1, 4 ) ; donner les coordonnées de leur milieu M et calculer la distance AB .
On a : xM =
On a : AB =
x A + xB 7 + 1
y + yB 2 + 4
=
= 4 et yM = A
=
= 3 ; le point M a donc pour coordonnées : M ( 4;3) ;
2
2
2
2
( xB − x A )
2
2
+ ( yB − y A ) =
(1 − 7 )
2
2
+ ( 4 − 2) =
( −6 )
2
+ 2 2 = 40 , soit : AB = 2 10 ≈ 6,3 .
Remarque : Si l’unité du repère est le cm, alors la distance calculée correspond réellement à la longueur du segment
en cm sur le dessin.
MM
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