Module 1, Série 1 : Exercices sur la représentation - Moodle

Information, calcul et communication
EPFL - GC+SIE - Semestre d’automne 2016-2017
Module 1, Série 1 : Exercices sur la représentation de l’information
1
Nombre de bits
a) Combien de bits sont-ils nécessaires pour disposer d’une représentation distincte pour chacun des éléments
des ensembles suivants ?
1. les mois d’une année.
2. les jours d’un mois.
3. l’ensemble des symboles utilisés pour les nombres romains jusqu’à mille.
4. les étudiants à l’EPFL (supposons 10’000 pour 2016-2017).
5. les habitants de la planète selon le nombre estimé sur Worldometers 1 .
b) Seuls un certain nombre des 252 étudiants inscrits à un cours se présentent à un test. Combien de bits sont-ils
nécessaires pour enregistrer les informations suivantes ?
1. le nombre d’étudiants présents lors du test.
2. la liste des étudiants présents (supposant qu’on dispose déjà de la liste complète des noms des étudiants).
2
Représentation des entiers naturels et décimaux positifs
a) Convertir des nombres exprimés dans la représentation positionnelle en base 2 vers la base 10 :
10.1 ; 1.01 ; 0.101.
b) Nous (humains) représentons usuellement les nombres en base 10, selon un système de notation positionnelle.
Par exemple, 123 (en base 10) vaut : 1 x 102 + 2 x 101 + 3 x 100 . Le même principe de représentation est
utilisable avec n’importe quelle autre base de numération. Par exemple, 110 en base 2 vaut : 1 x 22 + 1 x 21 +
0 x 20 , c’est-à-dire 6 en base 10.
Décrire la méthode permettant d’obtenir la représentation binaire d’un nombre entier donné (en base 10). Par
exemple, si le nombre est 6, alors sa représentation binaire est 110.
c) La conversion d’un nombre décimal compris entre 0 et 1 vers le binaire se fait selon la méthode suivante :
1. multiplier le nombre décimal par 2,
2. garder la partie entière,
3. recommencer en 1 si la partie décimale restante est différente de 0.
Montrer comment fonctionne cette méthode sur un nombre décimal X pour lequel on recherche les poids bi en
binaire : 0.bw bx by bz . Quel est le premier poids obtenu ?
Appliquer la méthode aux nombres suivants : 0.37510 , un dixième.
1. Source : http://www.worldometers.info/world-population/
1
3
Domaine couvert des entiers positifs et négatifs avec la représentation du complément à 2, dépassement de capacité (overflow)
a) Conversions : pour simplifier on suppose qu’on travaille avec des entiers représentés avec 8 bits seulement.
1. Quelle valeur est représentée par ces motifs binaires : 00000110, 11111001, 10000110 ?
2. Quel est le motif binaire des nombres suivants : 0, − 1210 , − 110 , 12710 , − 12810 ?
3. Quelle conclusion tirez-vous de ces exemples ?
b)
1. Toujours avec des entiers sur 8 bits, quel est le résultat en binaire de 64 + 64 ? Comment appelle-t-on le
phénomène observé ?
2. Avec cette représentation des nombres négatifs en complément à 2, arrive-t-il que l’on assiste à un dépassement de capacité lorsqu’on additionne un nombre négatif et un nombre positif ?
Pour le fun (mais pas uniquement. . .)
4
Un algorithme de tri inhabituel
Dans un pays loin d’ici, vivaient sous le joug d’un magicien 99 nains (c’est ce qu’il en restait) sourds et muets.
Comme tous les nains, ils avaient chacun un bonnet.
Tous les soirs, lorsqu’ils rentraient dans leur caverne très sombre (sans aucune visibilité), le magicien changeait
la couleur de leur bonnet : rouge ou bleu. Ils n’avaient donc aucun moyen de savoir la couleur de leur bonnet,
ni des autres (il faisait noir), et bien sûr aucun moyen de communiquer.
Tous les matins, par contre ils devaient sortir (au jour) un par un et se présenter au magicien en ligne (de face,
côte à côte) de sorte à ce que tous les nains à bonnet bleu (B) soient d’un coté et tous les nains à bonnet rouge
(R) de l’autre ; par exemple :
....RRRRRRRBBBBBBBBB......
Les nains étaient très motivés car le magicien détruisait (boule de feu) tout nain qui n’était pas à sa place (ainsi
que quelques voisins : boule de feu !).
Comment ont fait ces 99 nains pour réussir à se présenter bien ordonnés tous les matins et ainsi survivre ?
5
Une variante
Imaginez maintenant un autre magicien et des autres nains, ni sourds ni muets, mais toujours au nombre de
99, et toujours avec un bonnet de couleur rouge ou bleue sur la tête. Ils sont maintenant alignés en file indienne
dans la caverne dans le noir. Au matin, ils sortent un à un de la caverne, en commençant par celui qui se trouve
en tête de file ; à chaque fois, le magicien révèle au nain sortant la position et la couleur des bonnets de tous
ceux alignés derrière lui. Le nain doit ensuite annoncer la couleur de son propre bonnet. Comment les nains
vont-ils faire pour s’en sortir ?
Remarques :
- On suppose que les nains ont toute la nuit pour élaborer une stratégie commune.
- Quoi qu’il arrive, le premier nain qui sort a 50% de chances d’y passer, malheureusement. Mais tous les suivants
peuvent être sauvés à coup sûr.
- Une bonne façon d’aborder le problème est de faire l’identification : rouge=1, bleu=0.
2