Coordonnées et distance dans un rep`ere du plan cours 3e

Coordonnées et distance dans un repère du
plan cours 3e
F.Gaudon
9 août 2004
Table des matières
1 Repères du plan
2
2 Coordonnées de vecteurs
2
3 Conséquences pour le calcul d’autres coordonnées
3.1 Coordonnées du milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Coordonnées de la somme de deux vecteurs . . . . . . . . . . .
4
4
5
4 Distance dans un repère orthonormal
6
1
1
Repères du plan
Définition :
Soient O,I et J trois points du plan.
Le repère (O ;I ;J) est le repère d’origine le point O, d’axes les droites
(OI) et (OJ).
Son axe des abscisses a pour unité OI et l’axe des ordonnées a pour unité
OJ.
– (O ;I ;J) est dit orthogonal si (OI) et (OJ) sont perpendiculaires :
– (O ;I ;J) est dit orthonormal si (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et
OI=OJ.
J
M (1;1)
J
M (1;1)
J
(OI)
O
2
(OI)
I
O
I
M (1;1)
(OI)
O
(OJ)
I
Coordonnées de vecteurs
Exemple :
Dans le repère (O ;I ;J) ci-dessous, le vecteur ~u est déterminé par les
nombres 3 et 1 (dans cet ordre).
Ces deux nombres sont appelés les coordonnées de ~u. On écrit ~u(3; 1).
B
J
A
O
I
(OI)
2
Propriété et définition :
Soit (O ;I ;J) un repère du plan. Soit ~u un vecteur et soient A(xA ; yA ) et
~
B(xB ; yB ) deux points tels que ~u = AB.
~
Soient C(xC ; yC ) et D(xD ; yD ) deux autres points tels que ~u = CD.
Alors xD − xC = xB − xA et yD − yC = yB − yA .
On appelle coordonnées du vecteur ~u le couple de nombres (xB −xA ; yB −
yA ).
Exemple :
M (−5; 1) et N (−2; 3).
xN − xM = −2 − (−5) = 3
yN − y M = 3 − 1 = 2
d’où M~N (3; 2).
N
+2
M
J
+3
O
I
Preuve :
Admis.
Propriété :
– Si deux vecteurs sont égaux, alors ils ont les mêmes coordonnées :
– si deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, alors ils sont égaux.
3
Preuve :
Conséquence directe de la définition.
Exemple :
Soient M (−5; 1) et R(−2; 3).
xM − xR = (−5) − (−2) = −3 et yM − yR = 3 − 1 = 2
~ (3; 2).
d’où RM
3
Conséquences pour le calcul d’autres coordonnées
3.1
Coordonnées du milieu d’un segment
Propriété :
Soit (O ;I ;J) un repère. Soient A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ). Le milieu I du
segment [AB] a pour coordonnées :
I(
xA + y A xB + y B
;
)
2
2
Preuve :
~ = IB.
~
I est le milieu de [AB] donc AI
~ et IB
~ sont égaux donc ils ont les mêmes coordonnées.
Les vecteurs AI
D’où xI − xA = xB − xI et yI − yA = yB − yI .
Donc xI + xI = xB + xA et yI + yI = yB + yA
c’est à dire 2xI = xB + xA et 2yI = yB + yA
A
A
donc xI = xB +x
et yI = yB +y
.
2
2
Exemple :
Soient A(2; 4) et B(−4; 1) et soit I(xI ; yI ) le milieu de [AB].
xI = 2+(−4)
et yI = 4+1
2
2
donc xI = −1 et yI = 52
4
3.2
Coordonnées de la somme de deux vecteurs
Propriété :
Soient ~u(r; s) et ~v (r 0 ; s0 ) deux vecteurs.
Alors le vecteur somme ~u + ~v a pour coordonnées (r + r 0 ; s + s0 ).
Preuve :
~
Soient A et B deux points tels que ~u = AB.
~
Soit S le point tel que ~v = AS.
Les deux vecteurs sont égaux donc ils ont les mêmes coordonnées.
~ 0 ; s0 ).
Donc AS(r
Soit M le point tel que ABM S soit un parallélogramme.
~ + AS
~ = AM
~
D’après la règle du parallélogramme, AB
~ sont (r + r 0 ; s + s0 ).
Il s’agit donc de démontrer que les coordonnées de AM
Soit I le point d’intersection des diagonales du parallélogramme.
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu donc I
est le milieu de [AM ] et de [BS].
D’où xI = x2A + x2S et yI = y2A + y2S
mais aussi xI = x2B + x2M et yI = y2B + y2M
D’où xA + xS = xB + xM et yA + yS = yB + yM
donc xM − xA = xB − xS et yM − yA = yB − yS
ce qui peut s’écrire aussi xM − xA = xB − xA + xA − xS et
yM − y A = y B − y A + y A − y S
c’est à dire xM − xA = r + r 0 et yM − yA = s + s0 .
D’où les coordonnées du vecteur somme.
Exemple :
~
~
~ + BC(3;
~
AB(2;
1) et BC(1;
−3). AB
−2)
5
B
A
+1
+2
J
−3
O
+1
4
I
C
Distance dans un repère orthonormal
Propriété :
Soit (O ;I ;J) un repère orthonormal du plan.
Soient A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) deux points du plan.
Alors la distance entre A et B est donnée par :
p
AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
c’est à dire
AB 2 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
6
B
J
O
I
yB−yA
xB−xA
A
Preuve :
Soit M (xA ; yB ). Le repère (O ;I ;J) étant orthonormal, (OI) et (OJ) sont
perpendiculaires. (AM) est parallèle à (OJ). Si deux droites sont parallèles
alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre Donc (AM)
et (OI) sont perpendiculaires. Or (BM) est parallèle à (OI). Donc par la
même propriété, (AM) est perpendiculaire à (BM). Dans le triangle ABM
rectangle en M, d’après le théorème de Pythagore :
AB 2 = AM 2 + BM 2
Or (AM) est parallèle à (OI) donc AM = yB − yA . De même (BM) est
parallèle à (OJ) donc BM = xB − xA . D’où AB 2 = (yB − yA )2 + (xB − xA )2 .
Exemple :
A(5; −3) et B(3; 1) :
AB 2 = (3 − 5)2 + (1 − (−3))2
AB 2 = (−2)2 + 42
AB 2 = 20
D’où AB =
√
√
20 = 2 5.
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