Comment les mathématiques contribuent

Transcription

Introduction
Modèles macroscopiques
Lois de conservation
Exemples
Piétons
Conclusion
“Modèles mathématiques et réalité"
Comment les mathématiques contribuent-elles
à la gestion du trafic routier?
Paola Goatin
INRIA Sophia Antipolis - Méditerranée
[email protected]
Sourdun, 30 Aout 2012
1 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Plan de l’exposé
1
Modèles de trafic routier
2
3
4
Exemples d’application
5
Dynamique des foules
6
Conclusion et perspectives
2 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Trois échelles possibles :
Microscopique
ẋi = vi ,
v̇i = C
vi+1 − vi
xi+1 − xi
(“follow-the-leader”)
simulations numériques (http://www.traffic-simulation.de/)
beaucoup de paramètres
3 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Microscopique (et automates cellulaires)
ẋi = vi ,
v̇i = C
vi+1 − vi
xi+1 − xi
3 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
ẋi = vi ,
v̇i = C
vi+1 − vi
xi+1 − xi
Macroscopique : équations aux dérivée partielles dérivée de la
dynamique des fluides
théorie analytique
peu de paramètres
3 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
ẋi = vi ,
v̇i = C
vi+1 − vi
xi+1 − xi
Cinétique : équations type Boltzmann
Macroscopique : équations aux dérivée partielles dérivée de la
dynamique des fluides
théorie analytique
peu de paramètres
3 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Plan de l’exposé
1
2
3
4
5
6
4 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
h
i Z
nombre de voitures dans [a, b] au temps t =
b
ρ(t, x) dx
a
doit être conservé !
Z b
a
Z
ρ(t2 −, x)dx
=
a
+
t2
t1
f (t, a+)dt
Z b
−
Z
ρ(t1 +, x)dx
t2
t1
f (t, b−)dt
t
⇓
t2
théorème de la divergence pour (ρ, f )
⇓
Z
t2
t1
Z
b
∂t ρ + ∂x f dx dt = 0
t1
0
a
b
x
a
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Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Conditions requises
Aucune information doit se propager plus vite que les véhicules
(anisotropie)
Relation flux-densité : f (t, x) = ρ(t, x)v(t, x).
La densité et la vitesse moyenne doivent toujours être non-négatives et
bornées : 0 ≤ ρ(t, x), v(t, x) < +∞, ∀x, t > 0.
Ce n’est pas vraiment de la dynamique des fluides :
direction privilégiée
pas de conservation de la quantité de mouvement / energie
pas de viscosité
n ≪ NA ∼ 6 · 1023
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Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
n ≪ 6 · 1023 mais ...
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Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Modèles du premier ordre
Lighthill-Whitham ’55, Richards ’56, Greenshields ’35 :
Equation de transport non-linéaire : lois de conservation scalaire
∂t ρ + ∂x f (ρ) = 0,
f (ρ) = ρv(ρ)
Fonction flux émpirique : diagramme fondamental
f
f
Ωf
Ωf
Ωc
Ωc
ρc
ρc
0
R ρ
Newell-Daganzo
Greenshields
avec R densité maximale (emboutillage) et ρc densité critique :
0
R
ρ
flux croissant pour ρ ≤ ρc : phase d’écoulement fluide
flux décroissant pour ρ ≥ ρc : phase de congestion
8 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Modèles d’ordre superieur
Motivation : les données experimentales montrent un diagramme
fondamental plus complexe
ρv
(veh/hr)
3600
2000
0
0
100
225
ρ(veh/mile)
Viale Muro Torto, Roma
9 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Modèles d’ordre superieur
Motivation : les données experimentales montrent un diagramme
fondamental plus complexe
ρv
(veh/hr)
v = v(ρ, ?)
3600
2000
0
0
100
225
ρ(veh/mile)
Viale Muro Torto, Roma
9 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Plan de l’exposé
1
2
3
4
5
6
10 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Systèmes hyperboliques de lois de conservation
On retrouve un système d’EDPs de la forme
∂t u + ∂x f (u) = 0,
u(0, x) = u0 (x),
où t ∈ [0, +∞[, x ∈ IR1 ,
u = u(t, x) ∈ IRn quantités conservées,
f : IRn → IRn flux.
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Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Systèmes hyperboliques de lois de conservation
On retrouve un système d’EDPs de la forme
∂t u + ∂x f (u) = 0,
u(0, x) = u0 (x),
où t ∈ [0, +∞[, x ∈ IR1 ,
u = u(t, x) ∈ IRn quantités conservées,
f : IRn → IRn flux.
On va essayer de répondre aux questions suivantes :
Ce problème admet-il toujours une solution ?
Est-elle unique ?
Comment la trouve-t-on ?
11 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Cas linéaire : f (u) = Au, avec A ∈ Rn×n matrice
Le système est (strictement) hyperbolique si A admet n valeurs propres
réels distincts λ1 < . . . < λn
∂t vi + λi ∂x vi = 0
v(0, x) = v̄(x)
où vi = li · u, u =
n
X
vi ri
i=1
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Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Le système est (strictement) hyperbolique si A admet n valeurs propres
réels distincts λ1 < . . . < λn
∂t vi + λi ∂x vi = 0
v(0, x) = v̄(x)
où vi = li · u, u =
n
X
vi ri
i=1
Méthode des caractéristiques :
ẏi (t) = λi
⇒
d
vi (t, yi (t)) = ∂t vi + λi ∂x vi = 0
dt
vi (t, yi (t)) = v̄i (y0 )
⇒
vi (t, x) = v̄i (x − λi t)
⇒
12 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Superposition des ondes :
u(t, x) =
n
X
v̄i (x − λi t)ri
i=1
v1
t
x
v2
x
x
⇒ existence et unicité
13 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Superposition des ondes :
u(t, x) =
n
X
v̄i (x − λi t)ri
i=1
v1
λ1
t
x
v2
λ2
x
x
⇒ existence et unicité
13 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Cas NON-linéaire
Strictement hyperbolique : la Jacobienne Df (u) a n valeurs propres réels
distincts
λ1 (u) < λ2 (u) < . . . < λn (u)
vecteurs propres
r1 (u), . . . , rn (u)
Vraiment non-linéaire : ∇λi · ri > 0 (∼ flux convexe)
Linéarment dégénéré : ∇λi · ri ≡ 0 (∼ flux linéaire)
14 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Flux non-linéaire ⇒ apparition de chocs !
Exemple :
∂t ρ + ∂x [ρ(1 − ρ)] = 0
(
0 si x < 0
ρ0 t.q.
1 si x > 1
Courbes caractéristiques : ρ(t, y(t)) = ρ0 (y0 ) pour y(t) solution de
ẏ(t) = f ′ (ρ(t, y(t))) = 1 − 2ρ(t, y(t)) = 1 − 2ρ0 (y0 )
(
1 si y0 < 0
y(t) = (1 − 2ρ0 (y0 )) t =
−1 si y0 > 1
⇒
t
ρ
x
x
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Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Exemple :
∂t ρ + ∂x [ρ(1 − ρ)] = 0
(
0 si x < 0
ρ0 t.q.
1 si x > 1
ẏ(t) = f ′ (ρ(t, y(t))) = 1 − 2ρ(t, y(t)) = 1 − 2ρ0 (y0 )
(
1 si y0 < 0
y(t) = (1 − 2ρ0 (y0 )) t =
−1 si y0 > 1
⇒
t
ρ
x
x
15 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Exemple :
∂t ρ + ∂x [ρ(1 − ρ)] = 0
(
0 si x < 0
ρ0 t.q.
1 si x > 1
ẏ(t) = f ′ (ρ(t, y(t))) = 1 − 2ρ(t, y(t)) = 1 − 2ρ0 (y0 )
(
1 si y0 < 0
y(t) = (1 − 2ρ0 (y0 )) t =
−1 si y0 > 1
⇒
t
ρ
x
x
15 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Solutions faibles
Au sens des distributions :
ZZ
u ∂t φ + f (u) ∂x φ dx dt = 0
∀φ ∈ Cc1 (R+ × R)
Sur une courbe de discontinuité (choc) x = ξ(t) :
ξ
t
n+
ω+
ω−
n−
x
16 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Condition de Rankine-Hugoniot
A l’aide de la formule de Green :
ZZ
0=
u ∂t φ + f (u) ∂x φ dx dt
ω
ZZ
ZZ
=
+
u ∂t φ + f (u) ∂x φ dx dt
ω−
=
Z
∂ω−
+
=
=
⇒
Z
Z
ω+
(u− n−
t
Z
+ f (u− )n−
x )φ ds −
ZZ
+
(u+ n+
t + f (u+ )nx )φ ds −
∂ω+
−
(u− n−
t + f (u− )nx )φ ds +
x=ξ(t)
x=ξ(t)
(∂t u + ∂x f (u))dt dx
ω−
ZZ
Z
(∂t u + ∂x f (u))dt dx
ω+
+
(u+ n+
t + f (u+ )nx )φ ds
x=ξ(t)
(u+ − u− )nt + (f (u+ ) − f (u− ))nx φ ds
ξ̇(u+ − u− ) = f (u+ ) − f (u− )
17 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Condition de Rankine-Hugoniot
Dans l’exemple précedent :
∂t ρ + ∂x [ρ(1 − ρ)] = 0
(
0 si x < 0
ρ0 s.t.
1 si x > 1
donc
ρ− = 0, ρ+ = 1
⇒
ξ̇ =
f (ρ+ ) − f (ρ− )
= 1 − ρ+ − ρ− = 0
ρ+ − ρ−
il s’agit d’un choc stationnaire !
18 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Non-unicité des solutions faibles
Exemple :
∂t ρ + ∂x [ρ(1 − ρ)] = 0
ρ0 (x) ≡ 1/2
On peut construire une infinité de solutions satisfaisantes RH ∀α > 0 :

1/2
x < −αt



1/2 + α −αt < x < 0
ρ(t, x) =

1/2 − α 0 < x < αt



1/2
x > αt
t
x = α
t
x = −α
t
ρ = 1 +α
2
ρ = 1
2
ρ = 1 −α
2
ρ = 1
2
x
19 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Condition d’entropie
uε solution de ∂t uε + ∂x f (uε ) = ε∂xx uε
converge vers u solution de ∂t u + ∂x f (u) = 0
20 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Entropie : E = E(u) entropie convexe : D2 E(u) > 0
F = F (u) t.q. ∇F (u) = ∇E(u)Df (u) flux d’entropie
20 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
alors uε satisfait
∂t E(uε ) + ∂x F (uε ) =∇E(uε ) ∂t uε + ∂x f (uε ) = ε∇E(uε )∂xx uε
=ε∂xx E(uε ) − εD2 E(uε )(∂x uε ⊗ ∂x uε ) ≤ ε∂xx E(uε )
20 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
alors uε satisfait
∂t E(uε ) + ∂x F (uε ) =∇E(uε ) ∂t uε + ∂x f (uε ) = ε∇E(uε )∂xx uε
=ε∂xx E(uε ) − εD2 E(uε )(∂x uε ⊗ ∂x uε ) ≤ ε∂xx E(uε )
et à la limite ε → 0, u doit satisfaire
∂t E(u) + ∂x F (u) ≤ 0
ou
ZZ
E(u)∂t φ + F (u)∂x φ dx dt ≥ 0,
∀φ ∈ Cc1 , φ ≥ 0
20 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Condition de Lax (cas scalaire)
Pour un flux f strictement convexe (f ′′ (u) ≥ c > 0) ou concave
(f ′′ (u) ≤ −c < 0), la condition d’entropie est équivalente à
f ′ (u− ) > ξ̇ > f ′ (u+ )
les caractéristiques “entrent” dans le choc
ξ̇
f ′ (u− )
f ′ (u+ )
x
21 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Condition de Lax (cas scalaire)
Exemple : flux concave
∂t ρ + ∂x [ρ(1 − ρ)] = 0
La condition de Lax s’écrit :
1 − 2ρ− > 1 − ρ− − ρ+ > 1 − 2ρ+
f
ρ+
ρ−
ρ
⇒ le choc est admissible ssi ρ− < ρ+
22 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Problème de Riemann
Le problème de Cauchy plus simple :
∂t u + ∂x f (u) = 0
(
ug si x < 0
u(0, x) =
ud si x > 0
La solution doit être auto-similaire
u(t, x) ≡ u(at, ax)
∀a > 0
⇒ on cherche u de la forme u(t, x) = v(x/t)
t
x
23 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Solveur de Riemann (n = 1)
si f ′ (ug ) > f ′ (ud ) ⇒ choc de vitesse λ =
f (ud )−f (ug )
ud −ug
si f ′ (ug ) < f ′ (ud ) ⇒ onde de détente :
u(t, x) = v(x/t), x/t = λ
⇒
d
v 6= 0
dλ
⇒
d
d
f (v) = λ v
dλ
dλ
d
f ′ (v) − λ
v
dλ
f ′ (v) = λ
c’est à dire : u(t, x) = v(x/t) t.q. f ′ (u(t, x)) = x/t
24 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Plan de l’exposé
1
2
3
4
5
6
25 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Exemple : feu rouge
Peut s’écrire comme un problème de Riemann :
∂t ρ + ∂x [ρ(1 − ρ)] = 0
(
ρ̄ si x < 0
ρ0 (x) =
1 si x > 0
0 < ρ̄ < 1
ρ̄ < 1 ⇒ choc de vitesse λ = 1 − ρ̄ − 1 < 0
26 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Exemple : feu vert
Peut s’écrire comme un problème de Riemann :
∂t ρ + ∂x [ρ(1 − ρ)] = 0
(
1 si x < 0
ρ0 (x) =
0 si x > 0
1 > 0 ⇒ détente de profil ρ(t, x) =
1
x
− ,
2
2t
0 < ρ̄ < 1
−t ≤ x ≤ t
27 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Exemple : péage
Peut s’écrire comme un problème de Riemann avec contrainte :
∂t ρ + ∂x (ρ(1 − ρ)) = 0
ρ(0, x) = 0.3χ[0.2,1] (x)
f (ρ(t, 1)) ≤ 0.1
rho at time t=0
rho
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
x
1.5
2.0
28 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Exemple : jonctions
29 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Exemple : jonctions
1) coefficients de distribution du trafic
2) maximisation du flux
29 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Exemple : reseaux
Un grand rond-point à Rome :
ou une ville entière, une agglomération (voir
http://traffic.berkeley.edu/) ...
30 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Plan de l’exposé
1
2
3
4
5
6
31 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Système 2D modélisant une foule dans un espace confiné :



 ∂t ρ(t, x, y) + divx,y f (t, x, y) = 0 (cons. masse)
+conditions au bord


 + équation de fermeture pour définir le flux f
pour simuler le comportement des piétons :
viser le chemin plus rapide
éviter les endroits bondés et les parois
comportement irrationnel en situation de panique
formation de files dans flux opposés
auto-organisation collective aux intersections
etc ...
32 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Le chemin plus rapide ...
... ce n’est pas forcement le plus court !
33 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Le paradoxe de Braess
Un obstacle devant la sortie peut réduire la pression et le temps
d’évacuation
34 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Plan de l’exposé
1
2
3
4
5
6
35 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Conclusion
Modélisation macroscopique du trafic :
∂t u(t, x) + divx f (u(t, x)) = 0
t > 0, x ∈ IRD , u ∈ IRn
AVANTAGES :
modélisation de type milieu continu
description globale de l’évolution spatio-temporelle
comparaison satisfaisante avec les données réelles
adaptés à la formulation de problèmes de contrôle ou d’optimisation
MAIS : pas de théorie analytique générale pour
systèmes hyperboliques multi-D (n > 1)
contrôle des lois de conservation
36 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Perspectives
Modèles macroscopiques pour le gestion du trafic :
Trafic routier (D = 1)
Dynamique des foules (D = 2)
Contrôler pour :
économiser temps et energie
minimiser le temps d’évacuation
diminuer la pollution
prévenir les effets de la panique
37 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Mais il y aura toujours des phénomènes qui ne sont pas prévu par la
modélisation... !
38 / 39
Introduction
Exemples
Piétons
Conclusion
Merci de votre attention !
39 / 39

Comment les mathématiques contribuent

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