utilisation de tableaux de couples et de graphiques pour

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UTILISATION DE TABLEAUX DE COOTLES ET DE GRAPHIQUES
POUR RESOUDRE DES SYSTEMES D'gQUATIONS LINEAIRES
préparé par
Real Bëland, A.D.P.
Povir résoudre des systèmes d'équations du premier degré à deux variab l e s , règle gênér.ale» nous proposons aux élèves l'une des méthodes dites de r é duction, de substitution, de cœiiparaison ou graphique, bien que cette dernière
s o i t malheureusement peu u t i l i s é e et qu'elle présente quelques d i f f i c u l t é s de l e c ture lorsque l e s coordonnées du point de rencontre des deux droites sont, par
exemple, (2,3 ; -3,75) ou que l e s deux droites sont très rapprochées près du point
d'intersection.
Pourtant, certains problèmes peuvent être résolus a partir de tableaux
de couples et d'une représentation graphique dans l e plan cartésien et ce, même
sans connaître l e s deux éq^tions l i n é a i r e s .
I c i , l e graphique devient un instrument pour estimer l'ordre de grandeur
des coordonnées du point de rencontre, tandis que l e s tableaux de couples servent
de moyens pour trouver l'ensemble-solution.
Voici un exemple.
Dans une course c y c l i s t e , par étapes, alors q u ' i l ne reste plus que
200 km à parcourir, l e coureur A possède une avance de 20 km sur l e coureur B.
En supposant que l e meneur maintienne une v i t e s s e moyenne de 36 fcni/h et que son
poursuivant atteigne une v i t e s s e moyenne de 40 lan/h, dire:
a) qui gagnera l a course,
b) a quelle heure e l l e prendra f i n . .
Démarche proposée
a)
Compléter l e s tableaux de couples ci-dessous.
m "
Heure Distance
en km
13:00
20
13:30
38
14:00
56
14:30
15:00
110
16:30
17:00
b)
B
Heure Distance
en km
13:00
0
13:30
20
14:00
40
14:30
15:00
100
16:00
16:30
•
•
. f•
Situer ces couples de nombres sur une f e u i l l e quadrillée (voir p. 75), puis
tracer l e s deux demi-droites correspondantes.
I
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c)
D'après l e graphique,
1) quel coureur semble être l e gagnant? Rêp. :
2) vers quelle heure la course se termine-t-elle?
Rêp.:
d)
V é r i f i e r l'exactitude des réponses en poursuivant la completion des tableaux
de couples.
bI
Heure Distance
en km
17:00
17:30
18:00
Heure Distance
en km
17:00
17:30
18:00
e)
D'après l e s tableaux de couples,
1) a quelle heure se termine la course?
Rêp. :
2)
Rêp.:
quel e s t l e vainqueur?
I l est également possible de trouver l'équation se rapportant â chaque
y-yx .
= m où m représente l a pente de ïa droite e t
droite en u t i l i s a n t la formule
X -X
( X j , y j ) , l e s coordonnées d'un point appartenant à la droite.
y "y
f)
Calculer l a pente de d
: —2——i- =
^
X,
Rép.: m^ =
y g)
Trouver l'équation de l a droite d^ :
X
Rép.:
-
L'équation de d^ est:
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h)
Faire de même pour la droite d
m =
i)
Résoudre maintenant le système d'équations trouvées en g) et h) en u t i l i s a n t
une métht)de algébrique au choix.
1)
2)
Rép.: (x»y) = (
,
)
j)
Comparer l e s coordonnées du point de rencontre des deux droites trouvées â
partir des tableaux de couples (voir e ) ) , aux coordonnées obtenues en résolvant l e système d'équations.
Si l e s calculs sont exacts» les couples trouvés sont égaux.
k)
La lecture des coordonnées de l ' i n t e r s e c t i o n des deux droites représentées
sur l e graphique n ' e s t pas f a c i l e à faire. Pour obtenir plus de précision,
n ' u t i l i s e r qu'une partie s i g n i f i c a t i v e de l ' é c h e l l e et agrandir l e s espaces
entre l e s coordonnées retenues, (voir la page 76)
Répéter à nouveau ce procédé pour obtenir encore plus de précision.
Référence:
Johnson,
to, 1971.
A c t i v i t i e s In Mathematics, course A, Scott, Foresman, (Gage), Toron-
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