Obligation convertible (Vernimmen) L`obligation convertible est une
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Obligation convertible (Vernimmen) L`obligation convertible est une
Obligation convertible (Vernimmen) L'obligation convertible est une obligation qui donne à son détenteur, pendant la période de conversion, la possibilité de l'échanger contre une ou plusieurs actions de la société émettrice. C'est un produit d'une grande souplesse d'utilisation puisque le taux d'intérêt peut être fixe, variable, indexé, flottant, révisable, etc., toute condition d'amortissement pouvant par ailleurs être envisagée. L'obligation convertible s'assimile à une obligation classique avec une option d'achat sur des actions nouvelles de l'émetteur. Valeur nue d'une obligation convertible (pour plus de détail voir page 559)La valeur d'une obligation convertible s'analyse comme la somme de la valeur d'une obligation classique et de la valeur d'une option d'achat d'actions. On appelle valeur nue d'une obligation convertible, ou plancher actuariel, la valeur de cette obligation classique. Elle se calcule en actualisant les flux futurs liés à l'obligation au taux du marché. 1 I - MODEL 1 PAR ARBRE Modèle Binomial : Cox Ross Rubinstein (1979) Soit b le cost and carry exponentiel supposé constant b=r b =r−q Donne la Formule de Black et Scholes (1973) Donne la formule de Merton (1973) : option européenne sur une action payant un dividende continu q. S la valeur de l’action initiale T 1 2 Pour une action de Cost and Carry b, la diffusion vaut : S T = S 0 EXP bT − σ T + σdWt 2 0 ∫ Pour la première période de l’arbre : Sens de construction de l’arbre : u S avec la probabilité p S d S avec la probabilité 1-p Dans l’univers risque neutre, S − S0 E dt S0 uS − S dS − S = e bdt − 1 = p+ (1 − p ) = (u − 1) p + (d − 1)(1 − p ) S S On en déduit p = e bdt − d u −d 2 Dans l’univers risque neutre : S E (ln dt S0 2 2 1 ) = E bdt − σ 2 dt + σW dt = σ 2 dt 2 donc σ 2 dt = Ln σ 2 dt = Ln 2 2 2 2 Su S S p + Ln d (1 − p ) = (ln u )2 p − (ln d ) 2 (1 − p) S Su S S p + Ln d (1 − p ) = (ln u )2 p − (ln d ) 2 (1 − p) S en générale on choisit u = 1 d 1 u σ 2 dt = (ln u )2 p − (ln ) 2 (1 − p) = (ln u )2 ⇒ ln u = σ dt u= 1 = eσ d dt Pour le call : Le call est une fonction du sous jacent, donc sa probabilité de hausse et de baisse est identique (distribution d’un fonction d’une variable aléatoire) Sens de construction de l’arbre : CU = Max(u S - K , 0) avec la probabilité p C Cd = Max(d S - K , 0) avec la probabilité 1-p −rdt DONC C =e ( pCu + (1 − p)Cd ) AVEC p = e bdt − d u − d 3 ARBRE A N PAS ( DT = T/N ) SOUS JACENT SENS DE CONSTRUCTION DE L’ARBRE U U N-1 N S S U N-1 D S U N-2 D S N U DS 2 ……. N-I I N-I-1 D S U D S U N-I-1 I DS U I+1 2 U S ………… US S UDS ……….. DS 2 D S ……….. 2 UD UD N-1 N-1 S S UD D N-2 N-1 S S N D S DEBUT FIN (N+1 BRANCHE) 4 ARBRE A N PAS ( DT = T/N ) CALL EUROPEEN DE STRIKE K SENS DE CONSTRUCTION DE L’ARBRE N CU =MAX(UNS-K,0) CU CU ( ) ( ) CU = e−rdt pCu2 + (1− p)Cud N-1 N-2 D=MAX(U 2 N-1 D =MAX(U DS-K,0) N-2 2 D S-K,0) C = e−rdt( pCu + (1− p)Cd ) Cd = e−rdt pCud + (1− p)Cd2 2 N-2 =MAX(U D N-1 =MAX(UD CU D CUD N 2 N-2 N-1 S-K,0) S-K,0) N CD =MAX(D S-K,0) FIN DEBUT (N+1 BRANCHE) 5 ARBRE A N PAS ( DT = T/N ) CALL AMERICAIN DE STRIKE K SENS DE CONSTRUCTION DE L’ARBRE N CU =MAX(UNS-K,0) CU CU N-1 N-2 D=MAX(U 2 N-1 D =MAX(U DS-K,0) N-2 2 D S-K,0) Cu n− j d j −i = Maxe−rdt pCu n− j+1d j−i + (1 − p)C n− j j −i+1 , Max(u n − j d j −1S − K ) u d 2 N-2 =MAX(U D N-1 =MAX(UD CU D CUD N 2 N-2 N-1 S-K,0) S-K,0) N CD =MAX(D S-K,0) FIN RANG J DEBUT (N+1 BRANCHE) Dans notre exemple, il s’agit de remplacer à chaque nœud Le strike K par le prix forward de l’obligation restant à vivre à ce nœud. 6 II - MODEL 2 PAR FORMULE EXPLICITE APPROCHEE OC = Obligation + Call sur action Obligation = somme des flux obligataires actualisés aux taux de marché en tenant compte éventuellement du risque de défaut. Pr ixpleincoupon = nbrcoupon ∑ tauxcoupon × No min al × base(t − t ) × ZC (t )(1 − Pr obaDefaut ) )× (1 − Pr obaDefaut ) + No min al × ZC (t )× Pr obaDefaut + TauxRecovery × No min al × ZC (t i −1 i i tI i =1 nbrcoupon nbrcoupon nbrcoupon nbrcoupon Call (américain ou européen selon les circonstances) sur action par CoxRossRobinstein (CF Chap. I) Comparaison Valorisation OC Strike 100 800 700 600 500 400 300 200 100 0 662 602 542 482 422 362 302 242 182 122 62 Stock ( S ) PRIX OC CP PRIX OC ACTION 7 Zoom comparaison Valorisation OC 200 180 160 140 120 100 80 179 170 161 152 143 134 125 116 107 98 89 80 71 62 53 44 35 OC CP OC BlackScholes 8 III - MODELE D’AUGROS On envisage une entreprise qui, jusqu’à ce jour t 0 , n’était financée que par des actions ordinaires. Soit V la capitalisation boursière de la firme, V = NS , S désignant le cours de l’action et N le nombre d’actions ordinaires émises. On admet que V suit un processus brownien géométrique caractérisé par son écart type (volatilité) σ V . En t 0 , la firme émet m obligations convertibles au prix Q, telle que l’émission des obligations laisse inchangé le cours des actions. On suppose que le produit de l’émission est immédiatement investi dans des actifs assimilables à ceux de la firme existants avant l’émission. ^ Soit V la valeur totale ^ V = V + mQ = NS + mQ . de la capitalisation boursière aussitôt après l’émission. On postule que chaque obligation convertible peut être convertie en w actions et ce, à chaque instant, pendant toute la durée τ des obligations. Si elles ne sont pas convertis à l’échéance, les obligations sont alors remboursées par l’émetteur au prix K par obligation, sauf s’il y a défaillance de l’entreprise. En cas de défaillance, les obligations sont prioritaires sur la capitalisation boursière par rapport aux actions. avant l'émission V NS après l'émission V +Mq NS +Mq ^ V 9 A une date quelconque t* entre t 0 et τ Premier cas : wS * > K (seuil de conversion atteint avant l’échéance) Les titulaires des obligations convertibles ont intérêt à convertir leur titre. S’ils convertissent tous ensembles, ils reçoivent aussitôt après la conversion ^ V* S* = N + mw ^ ^ V* K Ils exercent donc les OC dès lors que wS * > K c’est à dire wS * = w > K soit V * > (N + mw) N + mw w ^ deuxième cas : wS * < K (seuil de conversion non atteint avant l’échéance) et V * > mK Les titulaires des obligations convertibles demandent à l’échéance le remboursement de leur emprunt. Il est intégralement remboursée si la capitalisation boursière de la firme est supérieur à mK, la valeur des remboursement prévue. ^ troisième cas : wS * < K (seuil de conversion non atteint avant l’échéance) et V * < mK Il y a défaillance de l’émetteur et les valeurs des actions sont alors nulles. 10 Grâce à black-Scholes en utilisant σ V = σ S en t0. On a NS = C1 − mw mw C 2 et mQ = V − C1 + C2 N + mw N + mw Avec C1 = VN (d1 ) − mKe − rτ N (d 2 ) 1 V ln + r + σ 2 τ 2 mK d1 = σ τ d 2 = d1 − σ V τ V C 2 = VN (d 1 ) − N + mw − rτ Ke N (d 2 ) w V + r + 1 σ 2 τ ln N + mw 2 K w d1 = σ τ d 2 = d1 − σ V τ V Comparaison Modèles OC 180 160 140 120 100 80 PRIX OC CP PRIX OC ACTION 155 146 137 128 119 110 101 92 83 74 65 56 47 38 29 20 11 Stock ( S ) 60 Prix OC Augros 11 IV - MODELE DE ZHOU AND ALLS Source: MPRA Paper No 7421 Zhou and Alls Hypothèses du modèle • Modèle de Black-Scholes pour l’action • Le marché est parfait et efficient (chaque intervenant possède toutes les informations et trouve toujours un acquéreur ou un vendeur) • L’effet dilution de l’action est déjà dans les cours de celle-ci. Notations • CCB : Callable convertible Bond • BF : Nominal de l’obligation • BC : prix d’exercice de l’option • P1 • Ratio de conversion = • τ i , Ri • T • Pv(T , C ) : la valeur présente de tous les coupons tombée jusqu’à l’échéance T • Fv(T , C ) : la valeur future en T de tous les coupons tombée jusqu’à l’échéance T • τ* : Date d’émission des obligations convertibles • St : valeur de l’action à la date t • B(T , C ) • P2 = Sτ * = : Prix de conversion BF P1 , : respectivement dates de tombée de coupon et taux de coupon : date d’échéance = τN : valeur de l’obligation ordinaire Bc P1 BF 12 Théorème CN i P1 , P2 (B F / P1 ) ABC (S 0 , T , P2 − P1 , P2 ) + (B F / P1 )UOC S 0 , T , 1 + BF CCB(S 0 , T , C ) = + ABC i (S 0 , T , B F , P2 ) − ABC d (S 0 , T , B F , P2 ) + ABC i (S 0 , T , Fv(τ * , C ), P2 ) − ABC d (S 0 , T , Fv(T , C ), P2 ) + B (S 0 , T , C ) Avec P2 = BC * P1 / BF [ ( MU 1+ MU 3 ) / σ é ABC i (S 0 , T , P2 − P1 , P2 ) = (P2 − P1 )(P2 / S 0 ) C UOC S 0 , T , 1 + N BF ( MU 1− MU 3) / σ é N (− a1) + (P2 / S 0 ) ] N (− a 2 ) P1 , P2 = (S N(d 1 ) - ( 1 + R) P1 Exp(-r T) N(d 1 - σ- σ T ) -(S N(d 2 ) - ( 1 + R) P1 Exp(-r T) N(d 2 - σ- σ T ) (S (P 2 / S) -(S (P 2 / S) ( 2 MU 2 / (σ 2 ) N(-d 3 ) - ( 1 + R)P1Exp(-r T)(P 2 / S) ( 2 * MU 1 / (σ ( 2 MU 2 / (σ 2 ) N(-d 4 ) - ( 1 + R)P1Exp(-r T)(P 2 / S) 2 ) N(-d 3 + σ T )) ( 2 * MU 1 / (σ 2 ) N(-d 4 + σ T )) 2 BF ((P 2 / S) ^ ((MU 1 + MU 3 ) / (σ )) * N(-A1 ) ABC (S 0 , T , BF , P2 ) = 2 + (P 2 / S) ^ ((MU 1 - MU 3 ) / (σ )) * N(-A2 )) i ABC d (S 0 , T , BF , P2 ) = BF Exp(-rT)((P 2 / S) ^ ( 2 MU 1 / (σ 2 )) * N(-A3 ) + N(-A4 )) (P 2 / S) ^ ( 2 MU 1 / (σ )) * N(-A3 ) + N(-A4 ) ABC (S 0 , T , Fv(τ * , C ), P2 ) = ∑ RBF Exp (−rτ i ) 2 i =1 − (P 2 / S) ^ ( 2 MU 1 / (σ )) * N(-A5(i ) ) + N(-A6(i ) ) 2 N −1 i ABC d (S 0 , T , Fv(T , C ), P2 ) = Pv(T, C) * ((P2 / S) ^ (2 * MU1 / (σ 2 )) * N(-A3) + N(-A4)) 13 MU1 = r - sigma ^ 2 / 2 MU2 = r + sigma ^ 2 / 2 MU3 = Sqr(MU1 ^ 2 + 2 * r * sigma ^ 2) A1 = (Log(P2 / S) + MU3 * T) / (sigma * Sqr(T)) A2 = (Log(P2 / S) - MU3 * T) / (sigma * Sqr(T)) A3 = (Log(P2 / S) + MU1 * T) / (sigma * Sqr(T)) A4 = (Log(P2 / S) - MU1 * T) / (sigma * Sqr(T)) A5(i) = (Log(P2 / S) + MU1 * A6(i) = (Log(P2 / S) - MU1 * τ i ) / (sigma * τ i τ i ) / (sigma * τ i ) ) d1 = (Log(S / ((1 + tauxfacial) * P1)) + MU2 * T) / (sigma * Sqr(T)) d2 = (Log(S / P2) + MU2 * T) / (sigma * Sqr(T)) d3 = (Log(P2 * P2 / ((1 + tauxfacial) * S * P1)) + MU2 * T) / (sigma * Sqr(T)) d4 = (Log(P2 / S) + MU2 * T) / (sigma * Sqr(T)) Comparaison Valorisation OC 350 300 250 200 150 100 50 PRIX OC ACTION Prix OC Augros Prix OC Zhou 317 296 275 254 233 212 191 170 149 128 107 86 65 44 23 Stock ( S ) PRIX OC CP 14 Comparaison Valorisation OC Temporelle 120 115 110 105 100 95 90 50 110 Prix OC Augros 170 230 290 350 PRIX OC ACTION 410 470 530 590 650 710 Durée Call en jour PRIX OC CP Prix OC Zhou 15