Lycée Saint-Sernin, TOULOUSE ~ Devoir Commun à toutes les

Lycée Saint-Sernin, TOULOUSE ~ Devoir Commun à toutes les classes de seconde
CORRECTION ~ Mercredi 17 Mars 2010 de 8h à 10h ~ 110 minutes.
Exercice 1 : (2 points)
Dans un centre aéré 20 enfants de 6 ans ont été mesurés et on a obtenu les résultats suivants (en cm):
116 121 112 128 125 112 118 119 114 112 116 112 120 122 118 119 112 122 108 113
1- La population est l’ensemble de ces 20 enfants de 6 ans du centre aéré. Le caractère (la variable) est ici
leur taille en cm.
2- Nous devons d’abord classer les valeurs (les tailles) par exemple par ordre croissant. Comme il y a 20
valeurs, la médiane est la demi-somme de la 10 ème et de la 11 ème valeur. La médiane est donc 117.
Le premier quartile est la 5ème valeur et le 3ème quartile, la 15ème valeur, c'est-à-dire : Q1 = 112 et Q3 = 120
Effectifs Cumulès
Exercice 2 : (3,5 points)
Dans un club de plongée sous marine, on a relevé le nombre de plongées effectuées par chacun des 80
licenciés pendant une année :
Fréquences Cumulées Croissantes
1-a et 1-b Calculons les fréquences (effectif sur
1
effectif total), puis cumulons les effectifs. Nous
0,9
obtenons :
0,8
0,7
Nombre de [0;10[ [10;20[
[30;40[ [40;50[
0,6
0,5
plongées
[20;30[
0,4
0,3
Effectif
8
16
24
14
18
0,2
0,1
Fréquences
0,1
0,2
0,3
0,175 0,225
0
FCC
0,1
0,3
0,6
0,775
1
0
10
20
30
40
50
2- a- Polygone des fréquences cumulées croissantes.
Nombre de plongées
b- Valeur approchée de la médiane : c’est l’abscisse du
point de ce polygone dont l’ordonnée est 0,5. On lit environ : 28.
Ce nombre signifie que, cette année là, la moitié des membres de ce club a effectué moins de 28 plongées.
3- En utilisant le centre des classes, La calculatrice donne : Moyenne 27,25.
Ce nombre signifie qu’en moyenne dans ce club, on effectue 27,25 plongées par an.
Exercice 3 (2 points)
xA, yA, xB, yB, xC, yC sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée dans un repère de trois points A, B et C
1- Les variables X et Y représentent les coordonnées du vecteur AB
2- Le but de cet algorithme est de déterminer les coordonnées du point D, quatrième sommet du
parallélogramme ABDC. (on peut aussi dire : chercher le point D tel que AB = CD )
Exercice 4 : (6 points)
On considère les points A(-1 ; 4), B(- 4 ; -2), C(1 ; 0).
1. Calculons les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
On pose : D(xD,yD). ABCD est un parallélogramme, équivaut à : AB = DC . Cette égalité vectorielle se traduit
−4 + 1 = 1 − xD
x = 4
sur les cordonnées par : 
c’est-à-dire  D
. On a donc D(4 ; 6)
−2 − 4 = 0 − yD
 yD = 6
2. Le centre du parallélogramme ABCD est le milieu du segment [AC] c’est à dire M(0 ; 2). (demi-somme des
abscisses puis des ordonnées)
3. Soit le point E(6 ; 2). Dire que les points B, C et E sont alignés, revient à affirmer la colinéarité des
vecteurs BC et BE . Calculons leurs coordonnées : BC (5 ;2) et BE (10 ; 4). Il est clair que 2 BC = BE .
Les vecteurs BC et BE sont donc colinéaires, les points B, C et E sont donc alignés.
4. Soit le point F(-7 ; 4). Affirmer que les droites (BF) et (AC) sont parallèles revient à affirmer la
3 colinéarité des vecteurs BF et AC . Nous avons BF (-3 ; 6) et AC (2 ;-4). On a BF = − AC . Les vecteurs
2
BF et AC sont donc colinéaires. Les droites (BF) et (AC) sont donc parallèles.
5. a) Pour calculer les longueurs AB, BC et AC, on utilise la relation bien connue : AB= ( xB − xA)² + ( yB − yA)²
On obtient ici : AB = 45 = 3 5 ; BC = 29 et AC = 20 = 2 5
b) Le plus grand coté du triangle est [AB] or AB²≠BC²+AC²donc d’après la contraposée du théorème de
Pythagore le triangle ABC n’est pas rectangle.
6. Soit G tel que AG =
Le vecteur
1 3 AB − BC . On pose G(xG ;yG). On a AB (-3 ;-6) et BC (5 ;2).
3
2
1 3 AB − BC a donc pour coordonnées : (-8,5 ; -5) L’égalité vectorielle proposée se traduit par
3
2
x + 1 = −8,5
deux affirmations numériques sur les coordonnées :  G
ce qui donne
 yG − 4 = −5
xG = −9, 5
.

 yG = −1
Exercice 5 : (1,5 points)
On considère les fonctions f et g définies par f : x ֏ 1/x et g : x ֏ 2-x. On note Cf et Cg les courbes des
fonctions f et g.
1) Pour montrer que le point A(1 ; 1) est commun à ces deux courbes, il suffit d’établir qu’aussi bien par la
fonction f que par la fonction g, 1 a pour image 1, ce qui est évident.
2) La représentation graphique de la fonction g coupe l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées
respectivement en B et C.
a) Le point B a pour ordonnée 0 car il est sur l’axe des abscisses. Son abscisse est donc le réel x tel que
g(x) = 0 c’est à dire 2 – x = 0 c’est à dire 2.
Le point C a pour abscisse 0 son ordonnée est donc g(0) = 2. On a donc B(2 ;0) et C(0 ;2).
b) Calculons les coordonnées du milieu de [BC]. On obtient (1 ;1) qui sont les coordonnées de A.
A est donc le milieu de [BC].
Exercice 6 : (1,5 points)
x est un réel . Donner un encadrement de x² le plus précis possible dans chacun des cas suivants
a) si 1,2 ≤ x ≤ 1,4 alors 1,2² ≤ x² ≤ 1,4² c’est à dire 1,44 ≤ x² ≤ 1,96. Nous avons utilisé le fait que la fonction
carré est croissante sur [0 ; +∞[ ou, si vous préférez, sur [1,2 ; 1,4]
b) si -1,2 < x < -1,1 alors (-1,2)² > x² > (-1,1)² c’est à dire 1,44 > x² > 1,21. Nous avons utilisé le fait que la
fonction carré est décroissante sur ]-∞ ; 0] ou, si vous préférez, sur
[-1,2 ; -1,1].
Exercice 7 : (3,5 points)
1) Ci-contre, la courbe représentative de la fonction carré notée f, et
celle de la fonction affine g : x ֏ - x + 6.
2) Par lecture de notre graphique, nous conjecturons :
a- Les solutions de l’équation f(x) = g(x) sont -3 et 2 (nous avons lu les
abscisses des points communs aux deux courbes)
b- Les réels x pour lesquels la courbe Cf est en dessous de la courbe Cg
sont les réels de [-3 ;2].
x
-3
2
3) a- Pour étudier le signe du
-2
produit -2(x + 3)(1 - 0,5x),
x+3
0
+
nous utilisons un tableau de
1-0,5x
+
+ 0
signes.
-2(x + 3)(1-0,5x)
+
0
- 0
+
+
b- Développons ce produit : -2( x + 3 )( 1 - 0,5x) :
-2(x + 3)(1 - 0,5x) = -2(x -0,5x² + 3 – 1,5x) = -2(-0,5x² - 0,5x + 3) = x² + x - 6.
c- Pour démontrer la conjecture du 2)b, il suffit de résoudre l’inéquation f(x) ≤ g(x) c’est à dire f(x)-g(x) ≤ 0
qui s’écrit aussi x² + x – 6 ≤ 0. Nous reconnaissons dans le membre de gauche l’expression obtenue au cRésoudre cette équation revient donc à résoudre -2(x + 3)(1 - 0,5x) ≤ 0.
Les solutions de cette inéquation sont données dans le tableau de signe ci-dessus : S = [-3 ;2].