limites d`une fonction
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limites d`une fonction
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITES D’UNE FONCTION Les fonctions qu’on étudie en analyse sont souvent définies sur des intervalles, mais souvent aussi sur des réunions d’intervalles comme R∗ ou [0, 1[∪[2, 3]. Dans ce chapitre, pour simplifier, les lettres D, E. . . désigneront i toujours h des réunions π π finies d’intervalles — mais on pourrait généraliser à certaines réunions infinies d’intervalles comme − , + πZ. 2 2 Définition (Adhérence d’une partie dans R) On appelle adhérence de D dans R et on note D l’ensemble des x ∈ R qui sont la limite d’une suite d’éléments de D. Explication Exemple D n’est jamais que l’ensemble D auquel on a ajouté ses « bornes », sa « frontière ». [0, 1[ = [0, 1], ]0, +∞[ = [0, +∞], R∗ = R et ]0, 1] ∪ ]2, 3[ = [0, 1] ∪ [2, 3]. Définition (Propriété vraie au voisinage d’un point) Soient f : D −→ R une fonction et a ∈ D. On dit que f vérife une certaine propriété P au voisinage de a si f vérifie la propriété P sur D ∩ V pour un certain voisinage V de a. Exemple La fonction sinus est croissante au voisinage de 0 et la fonction cosinus minorée par 1 au voisinage de 0. 2 DÉFINITIONS DE LA LIMITE D’UNE FONCTION 1 1.1 LIMITE D’UNE FONCTION EN UN POINT Définition (Limite d’une fonction en un point) Soient f : D −→ R une fonction, a ∈ D et ℓ ∈ R. On dit que f admet ℓ pour limite en a si : ∀Vℓ pour tout voisinage Vℓ de ℓ, il existe un voisinage Va de a sur lequel : ∀V+∞ f (x) ∈ Vℓ . ∀V+∞ ℓ ∀Vℓ ℓ a ∃V a lim f = ℓ avec ℓ ∈ R et a ∈ R lim f = +∞ ∃V+∞ ∃V+∞ lim f = ℓ avec ℓ ∈ R +∞ a +∞ ∀V+∞ ∀Vℓ ℓ bc a ∃V a lim f = ℓ avec ℓ ∈ R et a ∈ R a lim f = +∞ a a 1 ∃Va a ∃Va lim f = +∞ avec a ∈ R a Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Théorème (Unicité de la limite) Soient f : D −→ R une fonction et a ∈ D. (i) Si f possède une limite en a, elle est unique et notée : Pour tout ℓ ∈ R, la relation : (ii) SI a ∈ D Explication lim f = ℓ a a est souvent notée : lim f (x). ou x→a f −→ ℓ a ou f (x) −→ ℓ. x→a lim f = f (a). et si f possède une limite en a, alors : lim f a f est définie en a mais lim f n’existe pas. Pour l’assertion (ii) : f est définie en a et : lim f = f (a). a f (a) f (a) b b bc a a Démonstration a Nous verrons cela dit que : lim f = lim f. − + a a (i) Par l’absurde, faisons l’hypothèse que f possède deux limites ℓ et ℓ′ DISTINCTES. Il existe alors un voisinage Vℓ de ℓ et un voisinage Vℓ′ de ℓ′ DISJOINTS. Or par hypothèse sur f , il existe deux voisinages Va et Va′ de a pour lesquels : ∀x ∈ D ∩ Va , f (x) ∈ Vℓ et ∀x ∈ D ∩ Va′ , f (x) ∈ Vℓ′ . Or : D ∩ Va ∩ Va′ 6= ∅, et pour tout x ∈ D ∩ Va ∩ Va′ : Vℓ et Vℓ′ disjoints — contradiction ! f (x) ∈ Vℓ ∩ Vℓ′ alors que nous avons choisi a ∈ D, et possède une limite ℓ en a. Peut-on avoir : ℓ = +∞ ? Il existerait alors un voisinage Va de a sur lequel : f (x) ∈ f (a), +∞ . Pour x = a, on aurait en particulier : f (a) ∈ f (a), +∞ — contradiction. On pourrait montrer de même que : ℓ 6= −∞. Conclusion : ℓ ∈ R. (ii) Faisons l’hypothèse que f est définie en a, i.e. que : Pour tout ǫ > 0, il existe ainsi par hypothèse Va′ de a sur lequel : f (x) ∈ ]ℓ − ǫ, ℓ + ǫ[. un voisinage En particulier, pour x = a : ∀ǫ > 0, f (a) − ℓ < ǫ. Sous l’hypothèse que : ℓ 6= f (a), ce f (a) − ℓ , donc forcément : ℓ = f (a). résultat est contradictoire pour : ǫ = 2 Définition (Les 9 limites) Soient f : D −→ R une fonction, a ∈ D et ℓ ∈ R. • Cas où ℓ ∈ R et a ∈ R : lim f = ℓ a • Cas où ℓ = +∞ et a = +∞ : lim f = +∞ +∞ • Cas où ℓ = −∞ et a = +∞ : lim f = −∞ +∞ • Cas où ℓ = +∞ et a = −∞ : lim f = +∞ −∞ • Cas où ℓ = −∞ et a = −∞ : lim f = −∞ −∞ • Cas où ℓ ∈ R et a = +∞ : lim f = ℓ +∞ • Cas où ℓ ∈ R et a = −∞ : lim f = ℓ −∞ • Cas où ℓ = +∞ et a ∈ R, a ∈ /D: lim f = +∞ a • Cas où ℓ = −∞ et a ∈ R, a ∈ /D: lim f = −∞ a ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃ α > 0/ ∀x ∈ D, |x − a| < α =⇒ f (x) − ℓ < ǫ. ⇐⇒ ∀A > 0, ∃ B > 0/ ∀x ∈ D, x > B =⇒ f (x) > A. ⇐⇒ ∀A < 0, ∃ B > 0/ ∀x ∈ D, x > B =⇒ f (x) < A. ⇐⇒ ∀A > 0, ∃ B < 0/ ∀x ∈ D, x < B =⇒ f (x) > A. ⇐⇒ ∀A < 0, ∃ B < 0/ ∀x ∈ D, x < B =⇒ f (x) < A. ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃ B > 0/ ∀x ∈ D, x > B =⇒ f (x) − ℓ < ǫ. ⇐⇒ ∀ǫ > 0, ∃ B < 0/ ∀x ∈ D, x < B =⇒ f (x) − ℓ < ǫ. ⇐⇒ ∀A > 0, ∃ α > 0/ ∀x ∈ D, |x − a| < α =⇒ f (x) > A. ⇐⇒ ∀A < 0, ∃ α > 0/ ∀x ∈ D, |x − a| < α =⇒ f (x) < A. 2 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI En pratique Exemple Inégalités STRICTES ou inégalités LARGES, choisissez ce que vous préférez. x +2 = +∞. lim p x −1 x→1 En effet ∀A > 0, Nous devons montrer que : ∃ α > 0/ ∀x ∈ ]1, +∞[, x +2 3 1 ¾p ¾p . p x −1 x −1 x −1 Soit A > 0. Pour tout x ∈ ]1, +∞[, minorons : On minore en SIMPLIFIANT et en vérifiant que ce par quoi on minore TEND TOUJOURS VERS +∞ quand x tend vers 1. Or : p 1 x −1 >A ⇐⇒ D’après ce qui précède : Exemple lim x→+∞ p x −1< 1 A ⇐⇒ ∀x ∈ ]1, +∞[, |x − 1| < On arrête de minorer quand on se sent capable de trouver α. 1 . A2 |x − 1| < α =⇒ p Posons donc : 1 x −1 Nous devons montrer que : On majore en SIMPLIFIANT et en vérifiant que ce par quoi on majore TEND TOUJOURS VERS 0 quand x tend vers +∞. Or pour tout x > 0 : 1 <ǫ x2 D’après ce qui précède : x→+∞ 1 . A2 > A. ∀ǫ > 0, ∃ B > 0/ ∀x ∈ R, x2 1 1 Soit ǫ > 0. Pour tout x ∈ R, majorons : 2 − 1 = 2 ¶ 2. x +1 x +1 x lim α= x2 = 1. x2 + 1 En effet Exemple x +2 > A. |x − 1| < α =⇒ p x −1 ⇐⇒ ∀x ∈ R, x2 − 1 < ǫ. x > B =⇒ 2 x +1 On arrête de majorer quand on se sent capable de trouver B. 1 1 x > p . Posons donc : B = p . ǫ ǫ x2 x > B =⇒ 2 − 1 < ǫ. x +1 x 2 − x = +∞. En effet Nous devons montrer que : ∀A > 0, Soit A > 0. Pour tout x ¾ 2, comme x − 1 ¾ 1 : ∃ B > 0/ ∀x ∈ R, ¦ © B = max 2, A . =⇒ x 2 − x = x(x − 1) ¾ x. On minore en SIMPLIFIANT et en vérifiant que ce par quoi on minore TEND TOUJOURS VERS +∞ quand x tend vers +∞. Posons donc : x>B D’après ce qui précède : x 2 − x > A. On arrête de majorer quand on se sent capable de trouver B. ∀x ∈ R, x>B =⇒ x 2 − x > A. Théorème (Limite finie et caractère localement borné) Soient f : D −→ R et a ∈ D. Si f possède une limite FINIE en a, alors f est bornée au voisinage de a. Démonstration Par hypothèse, il existe un voisinage Va de a sur lequel : f (x) − ℓ < 1. f (x) = f (x) − ℓ + ℓ ¶ f (x) − ℓ + |ℓ| ¶ |ℓ| + 1, donc f est bornée sur D ∩ V . a 3 En particulier : Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 1.2 LIMITES D’UNE FONCTION À GAUCHE / À DROITE EN UN POINT Définition-théorème (Limite d’une fonction à gauche/à droite en un point) Soient f : D −→ R une fonction, a ∈ D et ℓ ∈ R. On suppose f définie au voisinage de a à gauche et à droite. • On dit que f admet ℓ pour limite à gauche en a si f admet ℓ pour limite en a. En tant que limite, la limite D∩]−∞,a[ lim f ou lim− f (x) − de f en a à gauche, si elle existe, est unique et notée : Plus concrètement : lim f =ℓ − a ou x→a lim f (x). x→a x<a si : a — Cas où ℓ ∈ R : ∀ǫ > 0, ∃ α > 0/ ∀x ∈ D, — Cas où ℓ = +∞ : ∀A > 0, ∃ α > 0/ ∀x ∈ D, — Cas où ℓ = −∞ : ∀A < 0, ∃ α > 0/ ∀x ∈ D, a − α < x < a =⇒ f (x) − ℓ < ǫ. a − α < x < a =⇒ f (x) > A. a − α < x < a =⇒ f (x) < A. • On définit de même la notion de limite à droite. Par exemple, dans le cas où ℓ ∈ R : lim f =ℓ a+ ∀ǫ > 0, ∃ α > 0/ ∀x ∈ D, a < x < a + α =⇒ f (x) − ℓ < ǫ. Exemple si : 1 = +∞. x lim x→0+ En effet Soit A > 0. Nous cherchons α > 0 tel que : 1 >A x Or pout tout x > 0 : ⇐⇒ x< 1 . A ∀x ∈ ]0, α[, 1 > A. x Nous pouvons donc choisir : α= 1 . A Théorème (Caractérisation de la limite à l’aide des limites à gauche/à droite) Soient f : D −→ R une fonction, a ∈ D et ℓ ∈ R. On suppose f définie au voisinage de a à gauche et à droite. (i) Si a ∈ D : lim f = ℓ ⇐⇒ lim f = lim f =ℓ − + (ii) Si a ∈ /D: lim f = ℓ ⇐⇒ lim f = lim f = ℓ. − + Explication a a a et a a ℓ = f (a). a Pour bien comprendre la condition « et ℓ = f (a) », jetez un œil aux deux figures de la page 2. Démonstration • Si : Montrons seulement (i). lim f = ℓ, a ℓ = f (a). nous savons déjà que : On obtient le résultat : lim f = lim f =ℓ − + a a simple restriction du domaine à D∩ ]−∞, a[ et D∩ ]a, +∞[ dans la définition de la limite : • Réciproquement, supposons qu’on ait : voulons montrer que : lim f = ℓ. a lim f = lim f = ℓ = f (a) − + a — en particulier : a par lim f = ℓ. a ℓ ∈ R. Nous Soit ǫ > 0. Il existe α− > 0 et α+ > 0 tels que pour tout x ∈ D : a − α− < x < a =⇒ f (x) − ℓ < ǫ et a < x < a + α+ =⇒ f (x) − ℓ < ǫ . ¦ © Posons : α = min α− , α+ et donnons-nous x ∈ D tel que |x − a| < α, i.e. a − α < x < a + α. Alors : — si a − α < x < a, on a en fait : a − α− < x < a, donc : f (x) − ℓ < ǫ, — si x = a : f (x) − ℓ = f (a) − ℓ = 0 < ǫ, — si a < x < a + α, on a en fait : a < x < a + α+ , donc : f (x) − ℓ < ǫ. Dans tous les cas : f (x) − ℓ < ǫ, c’est terminé. Exemple On note f la fonction x 7−→ En effet Puisque : § ex 1− x lim (1− x) = 1 x→0− si x ¾ 0 de R dans R. Alors : si x < 0 et x lim e = 1, x→0+ 4 ET PUISQUE lim f = 1. 0 : f (0) = 1, alors : lim f (x) = 1. x→0 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 2 2.1 MANIPULATION DES LIMITES OPÉRATIONS SUR LES LIMITES Il se passe avec les fonctions la même chose qu’avec les suites pour les opérations de somme, produit, multiplication par un scalaire et inverse — en particulier, mêmes formes indéterminées. Pour ne pas perdre de temps inutilement, nous ne nous arrêterons pas davantage sur ces résultats, refaites un tour du côté des suites. Théorème (Composition de limites) Soient f : D −→ E et g : E −→ R deux fonctions, a ∈ D, b ∈ E et c ∈ R. Si : Démonstration lim f = b a lim g = c, et si : b Soit Vc un voisinage de c. Comme lim g = c, il existe un voisinage V b de b pour lequel : Par composition : ∀x ∈ D ∩ Va , ∀x ∈ D ∩ Va , g ◦ f (x) ∈ Vc . Comme voulu : b Vb b Exemple lim ln x→+∞ En effet a PASSAGE a 1 Pour tout voisinage Vc de c. . . g E b Vc c g◦f Finalement g ◦ f envoie Va dans Vc d’un coup d’un seul. e−2x + 1 = 0. (e−x + 1)2 AU BROUILLON : y2 + 1 = z 7−→ ln z. Une fois qu’on a fait ça, c’est facile, ( y + 1)2 y2 + 1 = 1 et lim ln z = 0. = 0, lim z→1 y→0 ( y + 1)2 x 7−→ e−x = y 7−→ on n’a plus qu’à remarquer que : 2.2 et comme lim f = b, a b f 4 g(x) ∈ Vc , lim g ◦ f = c. 3 D Va f (x) ∈ V b . . . . il existe un voisinage V b de b que g envoie dans Vc . . . 2 . . . et donc aussi un voisinage Va de a que f envoie dans V b . a ∀x ∈ E∩V b , b il existe un voisinage Va de a pour lequel : lim g ◦ f = c. alors : lim e−x x→+∞ À LA LIMITE DANS LES INÉGALITÉS Théorème (Limites et inégalités strictes) Soient f : D −→ R une fonction, a ∈ D et m, M ∈ R. (i) Si lim f < M , alors : f (x) < M au voisinage de a. (ii) Si lim f > m, alors : f (x) > m au voisinage de a. a a Démonstration Nous prouverons seulement (ii). Posons : ℓ = lim f . a Si : ℓ = +∞, il existe un voisinage Va de a sur lequel : f (x) ∈ ]m, +∞[. Si au contraire ℓ ∈ R, sachant que : ℓ − m > 0 par hypothèse, il existe un voisinage Va de a sur lequel : f (x) ∈ ]ℓ − (ℓ − m), ℓ + (ℓ − m)[ ⊂ ]m, +∞[. Dans les deux cas : f (x) > m au voisinage de a. 5 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Théorème (Limites et inégalités larges) Soient f : D −→ R et g : D −→ R deux fonctions et a ∈ D. On suppose que f et g possèdent des limites finies en a. Si f (x) ¶ g(x) au voisinage de a, alors : lim f ¶ lim g. a a Ce résultat est utilisé le plus souvent lorsque l’une des deux fonctions est constante. $ ATTENTION ! $ C’est faux avec des inégalités STRICTES ! Ainsi : Démonstration alors que : 2.3 1 >0 x lim(g − f ) < 0. Raisonnons par l’absurde en supposant : g(x) − f (x) < 0 pour tout x ∈ R∗+ , mais : a lim x→+∞ 1 = 0. x Le théorème précédent affirme au voisinage de a — contradiction. CARACTÉRISATION SÉQUENTIELLE DE LA LIMITE D ’UNE FONCTION « Caractérisation séquentielle » signifie « caractérisation en termes de suites ». Le théorème suivant contient en particulier le résultat que nous avons appelé « Composition à gauche par une fonction » dans notre chapitre « Limite d’une suite ». Nous l’utilisions jusqu’ici sans l’avoir démontré. Théorème (Caractérisation séquentielle de la limite d’une fonction) Soient f : D −→ R une fonction, a ∈ D et ℓ ∈ R. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) lim f = ℓ. (ii) Pour toute suite (un )n∈N de limite a à valeurs dans D, la suite f (un ) n∈N a pour limite ℓ. a Démonstration (i) =⇒ (ii) On suppose que : montrer que : lim f = ℓ. Soit (un )n∈N une suite de limite a à valeurs dans D. Pour a lim f (un ) = ℓ, n→+∞ donnons-nous un voisinage Vℓ de ℓ. Puisque : existe un voisinage Va de a sur lequel : f (x) ∈ Vℓ . d’un certain rang N . Finalement, pour tout n ¾ N : bien que : lim f (un ) = ℓ. Or : lim un = a, n→+∞ un ∈ D ∩ V a donc : lim f = ℓ, a il donc un ∈ Va à partir f (un ) ∈ Vℓ . Cela montre n→+∞ (ii) =⇒ (i) Au lieu de travailler avec des voisinages, travaillons pour changer dans le cas particulier où a, ℓ ∈ R. Par contraposition, supposons que f n’admet pas ℓ pour limite. Il existe alors ǫ0 > 0 tel que : ∀α > 0, ∃ x ∈ D/ |x − a| < α et f (x) − ℓ ¾ ǫ0 Æ. 1 Pour tout n ∈ N∗ , utilisons Æ avec la valeur α = . Cela nous donne un élément un ∈ D pour lequel : n 1 et f (un ) − ℓ ¾ ǫ0 . Ce procédé de construction nous fournit bien une suite (un )n∈N∗ |un − a| < n de limite a à valeurs dans D pour laquelle f (un ) n∈N n’admet pas ℓ pour limite. lim ln x = +∞ lim n! = +∞, Exemple Puisque : Exemple La fonction sinus n’a pas de limite en +∞. x→+∞ et n→+∞ alors : lim ln(n!) = +∞. n→+∞ π En effet Pour commencer : lim nπ = lim 2nπ + = +∞. Pourtant : sin(nπ) = 0 −→ 0 et n→+∞ n→+∞ n→+∞ 2 π = 1 −→ 1, et bien sûr : 1 6= 0. On conclut grâce à la caractérisation séquentielle de la sin 2nπ + n→+∞ 2 limite. 6 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI THÉORÈMES D’EXISTENCE DE LIMITE 3 3.1 THÉORÈMES D’ENCADREMENT/MINORATION/MAJORATION Théorème Soient f : D −→ R, m : D −→ R et M : D −→ R trois fonctions, a ∈ D et ℓ ∈ R. (i) Théorème d’encadrement : lim m = lim M = ℓ Si : a a et si : m(x) ¶ f (x) ¶ M (x) au voisinage de a, alors lim f EXISTE et vaut ℓ. a (ii) Théorème de minoration : lim m = +∞ Si : a et si : f (x) ¾ m(x) au voisinage de a, alors lim f EXISTE et vaut +∞. a (iii) Théorème de majoration : lim M = −∞ Si : a et si : au voisinage de a, alors lim f EXISTE et vaut −∞. f (x) ¶ M (x) a Démonstration Pour l’assertion (i), soit ǫ > 0. Par hypothèse, il existe un voisinage Va de a sur lequel : m(x) ¶ f (x) ¶ M (x), un voisinage Va′ sur lequel : m(x) > ℓ − ǫ et un voisinage Va′′ sur lequel : M (x) < ℓ + ǫ. Posons : Va0 = Va ∩ Va′ ∩ Va′′ — un voisinage de a. Pour tout x ∈ D ∩ Va0 : ℓ − ǫ < m(x) ¶ f (x) ¶ M (x) < ℓ + ǫ, donc : f (x) − ℓ < ǫ. Le théorème d’encadrement est souvent utilisé sous la forme suivante : Théorème (Produit d’une fonction bornée par une fonction de limite nulle) Soient f : D −→ R et ǫ : D −→ R deux fonctions et a ∈ D. Si f est bornée au voisinage de a et si : lim ǫ = 0, alors : lim ǫ(x) f (x) = 0. a 3.2 THÉORÈME x→a DE LA LIMITE MONOTONE Théorème (Théorème de la limite monotone) Soient a ∈ R et b ∈ R ∪ +∞ avec a < b et f : [a, b[ −→ R une fonction croissante. (i) La limite lim f EXISTE et est FINIE. Plus précisément : + a f (a) ¶ lim f. + a (ii) Pour tout c ∈ ]a, b[, lim f et lim EXISTENT et sont FINIES. Plus précisément : − + c c lim f ¶ f (c) ¶ lim f. − + c c (iii) La limite lim f EXISTE et est soit finie, soit égale à +∞. b On dispose de résultats analogues pour les formes d’intervalles autres que [a, b[ ainsi que pour les fonctions décroissantes. Explication En résumé : Si f est monotone, elle possède des limites à gauche et à droite en tout point où cela peut avoir un sens. Démonstration Nous montrerons seulement l’assertion (i). • Posons : F = f ]a, b[ . La fonction f étant croissante et définie au voisinage de a à droite, F est une partie non vide de R minorée par f (a), donc possède une borne inférieure (FINIE) ℓ d’après la propriété de la borne inférieure. En outre : f (a) ¶ ℓ. F f (x 0 ) ℓ b bc ǫ b x0 a 7 α b Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI • Montrons que : lim f = ℓ. + a Soit ǫ > 0. Le réel ℓ + ǫ ne minore pas F car ℓ en est le plus grand minorant, donc : f (x 0 ) < ℓ + ǫ pour un certain x 0 ∈ ]a, b[. Posons : α = x 0 − a > 0. Pour tout x ∈ ]a, a + α[ : ℓ − ǫ < ℓ ¶ f (x) ¶ f (x 0 ) = y0 < ℓ + ǫ, car d’une part f est croissante, et d’autre part : ℓ = inf F . Conclusion : ∀ǫ > 0, ∃ α > 0/ ∀x ∈ ]a, a + α[, f (x) − ℓ < ǫ, i.e. lim f = ℓ. a+ 4 EXTENSION AUX FONCTIONS COMPLEXES $ ATTENTION ! $ Pas d’inégalités dans C, donc pas de fonctions complexes majorées/minorées/monotones ! Hélas ! Définition (Fonction bornée) Soit f : D −→ C une fonction. On dit que f est bornée s’il existe K ∈ R+ tel que : ∀x ∈ D, f (x) ¶ K. Définition-théorème (Limite d’une fonction complexe en un point) Soit f : D −→ C une fonction, a ∈ D et ℓ ∈ C. On dit que f admet ℓ pour limite en a si : pour tout voisinage Vℓ de ℓ, il existe un voisinage Va de a pour lequel : lim f (x) − ℓ = 0, Cela revient à dire que : x→a ∀ǫ > 0, ∃ α > 0/ ∀x ∈ D ∩ Va , f (x) ∈ Vℓ . ce qui nous ramène au cas des limites de fonctions réelles : |x − a| < α =⇒ f (x) − ℓ < ǫ. ∀x ∈ D, Le théorème d’unicité de la limite est encore valable — ainsi que les notations lim f et lim f (x), du coup. a x→a Théorème (Caractérisation de la limite par les parties réelle et imaginaire) Soient f : D −→ C, a ∈ D et ℓ ∈ C. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) Exemple lim f = ℓ. eix =0 x→+∞ 1 + x 2 lim (ii) a car : lim Re( f ) = Re(ℓ) a et lim Im( f ) = Im(ℓ). a cos x sin x = lim = 0. 2 x→+∞ 1 + x x→+∞ 1 + x 2 lim Une fonction possédant une limite en un point est bornée au voisinage de ce point — attention : pas de ±∞ dans C ! Les notions de limite à gauche et à droite, ainsi que la caractérisation de la limite en termes de limite à gauche et à droite, sont maintenues pour les fonctions complexes. La caractérisation séquentielle de la limite est également maintenue, de même que les résultats sur les opérations d’addition, produit, multiplication par un scalaire et inverse, à ceci près que les symboles ±∞ sont bannis. Les grands théorèmes d’existence de limite — théorèmes d’encadrement/minoration/majoration et théorème de la limite monotone — n’ont pas de sens dans le cas complexe car ils utilisent de façon essentielle la relation d’ordre ¶ sur R. 8