Le théorème du perroquet

Le monde merveilleux des nombres entiers
1) Introduction :
Dans le roman de Denis Guedj1, le Théorème du Perroquet (1998), au demeurant fort
intéressant et instructif, se trouvent quelques formules de mathématiques découvertes par nos
anciens.
Parmi celles-ci, figure la très jolie égalité :
(1 + 2 + 3 + .... + n )2 = 13 + 23 + 33 ... + n 3
On se propose ici d'en donner une démonstration, puis de passer à la généralisation, à savoir
p
établir un lien entre les expressions 1p + 2 p + 3p ... + n p et (1 + 2 + 3 + .... + n ) ,
!n, !p entiers positifs.
2) Démonstration :
!
On pose I n = 1 + 2 + 3 + .... + n . On sait que cette somme est aussi égale à
n (n + 1)
n2 (n + 1)2
, de sorte que I n 2 est bien sûr égal à I n 2 =
, mais ce n'est pas
In =
2
4
ce résultat qui nous intéresse.
2
2
On note que I n 2 = (1 + 2 + 3 + .... + n ) = ( I n-1 + n) de sorte que :
2
2
2
I n = In-1 + 2n In -1 + n
Afin d'établir une récurrence, le 1er terme du second membre est gardé en l'état, alors que l'on
(n - 1) n
utilise le fait que
dans le second terme, d'où , puisque :
I n!1 =
2
2n I n-1 + n 2 = n 2 ( n - 1) + n 2 = n3 , il vient :
I n 2 = In-12 + n3
De sorte que :
"I 2 = I 2 + (n - 1) 3
n -2
$ n -1
2
$I n -2 = I n -3 2 + (n - 2) 3
$
#M
$ 2
3
2
$I 2 = I1 + (2)
$I 2 = 1
%1
2
En additionnant membre à membre tous ces termes I q de q=n à q=1, on note que
2
! disparaissent les I q de q= n-1 à q = 1 et il vient, effectivement :
1
Denis Guedj (1940-24 Avril 2010)
In
" q= n %
= $ !q'
# q=1 &
2
2
q= n
!q
=
3
(1)
q=1
3) Généralisation :
En suivant une démarche analogue, on a :
p
I n p = (1 + 2 + 3 + .... + n ) = (I n-1 + n )
q= p
Soit I n p =
p
q= p"1
q
q
! Cp In-1 n
p-q
p
!C
= I n-1 +
q= 0
q
p
q
I n-1 n
p- q
q= 0
Ici, également, le 1er terme du membre de droite est laissé en l'état, tandis que l'on utilise
(n - 1) n
, dans le terme de sommation, de sorte que :
I n!1 =
2
q= p!1
p
p
I n = I n-1 + n
p
"
q
p
C
( n - 1)q
2q
q= 0
q = p!1
"
Or
C
q
p
(n - 1) q
2q
q =0
et
q= p
"C
=
q
p
(n - 1)q
2q
q= 0
n - 1# p
!
1
+
=
"
2 $
q= p
%
C qp
q= 0
(n - 1)q
2q
- C
p
p
( n - 1)p
2p
p
! n + 1#
de sorte que :
= "
2 $
Comme C pp = 1 , il vient :
q = p!1
"
q =0
D'où
C qp
(n - 1) q
2
p
p
# n + 1%
# n - 1%
= $
$ 2 &
2 &
q
p
I n = I n-1
Et donc :
(
*I n -1p = I n -2 p
*
**M
)
* p
p
*I 2 = I1 +
* p
*+I1 = 1
p
! n (n + 1)#
+
"
$
2
p
! n (n - 1) #
"
$
2
p
" (n - 1) n % p
" (n - 1) (n - 2) % p
+$
' - $
'
2
2
#
&
#
&
" 2. 3 % p
" 2. 1% p
$
' - $
'
# 2 &
# 2 &
De sorte qu'en additionnant membre à membre toutes les relations, il vient :
!
p
!# q ( q - 1)$ )
*
"
% +
2
p
p
! n ( n + 1) $
terme qui aussi égal à (1 + 2 + ... + n) = #
&%
"
2
&
(1 + 2 + ... + n) = , '
q=1 (
q= n
p
!# q (q + 1)$
"
%
2
p
(2)
A titre de vérification, on retrouve bien, avec p = 2 :
(* " q q + 1 % 2
" q (q - 1) % 2 ,*
(
)
= /) $
' - $
' !
2
2
#
&
#
& *.
q =1 *
+
q =n
(1 + 2 + ... + n)
2
q =n
donc (1 + 2 + ... + n)
2
"q
=
3
q =1
!
En fait, la relation (2) est triviale, d’une certaine façon, puisqu’elle s’écrit :
!
q =n
In p =
"{ I
q
{I
- I n -1p
p
}
- I q -1p , soit , effectivement :
q =1
In p =
p
n
} + {I
p
n -1
- I n -2 p
}
+ ... +
{I
p
1
- I0p
}
!
# q (q + 1) & p
# q (q - 1) & p
Il est à noter que le terme " p (q) = %
( - %
( tel que :
2
2
$
'
$
'
!
q =n
p
(1 + 2 + ... + n) =
!
# q &p
" p (q) = % (
$ 2'
!
r =p
)C
r =0
r
p
# " (q)
peut être modifié et être écrit :
p
q =1
(
r
)
q p-r 1 - (-1) .
q =n
D’où : (1 + 2 + ... + n)
!
p
=
" "C
q =1
(1 - (-1) )
r
r =p
r
p
q 2p-r
r =0
2p
(3)
Ainsi :
!
# q & 2s
- si p est pair, soit p = 2s il reste " 2s (q) = 2 % (
$2'
t =s
*C
2t )1
2s
q 2s-2t +1
(4)
t =1
$ q ' 2s#1
- si p est impair, soit p = 2s - 1, il reste " 2s#1 (q) = 2 & )
%2(
t =s
*C
2t #1
2s#1
q 2s-2t
!
q =n
• Avec p = 1, soit s = 1 , on retrouve de façon triviale 1 + 2 + ... + n =
!
!
(5)
t =1
q =n
# " (q) = # q .
1
q =1
q =1
• Avec p = 2, soit s = 1, on retrouve notre point de départ (1) :
q =n
q =n
$ n (n + 1) ' 2
2
3
(1 + 2 + ... + n) = # " 2 (q) = # q = &
) .
2
%
(
q =1
q =1
Donc I n
!
2
" n (n + 1) % 2
3
3
3
= $
' = 1 + 2 + ... + n
2
#
&
Ce type d’égalité nous apprendrait, par exemple, que :
!
13 + 2 3 + ... + 17 3 = 17 2 9 2 = 23409 , divisible, donc, par 9, 17, 81, 153, 1377, 2601
• Avec p = 3, soit s = 2, l’utilisation de (3) et (5) donne :
!
q =n
(1 + 2 + ... + n) 3 =
3
4
# " 3 (q) =
q =1
q =n
# q5 +
q =1
1
4
q =n
# q3 =
q =1
n 3 (n + 1)
8
3
De cette relation, et en utilisant la précédente, on tirerait :
!
15 + 2 5 + ... + n 5 =
In 2
(4 In - 1)
3
(6)
n 2 ( n + 1)2
2n2 + 2n - 1)
Soit également 1 + 2 + ... + n =
(
12
!
5
5
5
(7)
5
5
5
5
5
2
Par exemple, pour n = 5, a-t-on : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 3. 5 . 59 = 4425 qui donne
5
5
5
5
5
tous les diviseurs de la somme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 !
5
5
5
5
5
5
5
Egalement, on apprendrait que la somme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 égale à
29008 est divisible par 37, 49 et 16 !
• Avec p = 4, soit s = 2, l’utilisation de (3) et (4) donne :
4
(1 + 2 + ... + n) =
1 " q= n 7
!q +
2 $# q=1
q= n
%
q5 ' =
!
q=1
&
n 4 ( n + 1)4
16
De même que précédemment, l'inversion de cette relation donnerait, en utilisant (6) :
In 2
1 + 2 + ... + n =
6 In 2 - 4 In + 1
3
7
7
(
7
)
(8)
2
n 2 (n + 1)
3n 4 + 6n 3 - n 2 - 4n + 2)
Donc 1 + 2 + ... + n =
(
24
7
!
!
7
7
(9)
7
7
qui nous apprendrait que, par exemple 1 + 2 est divisible par 3 et 43 , tandis que
17 + 27 + ... + 77 a pour diviseur 16, 49 et 1531 !
• Avec p = 5 , soit s = 3, l’utilisation de (3) et (5) donne :
q =n
(1 + 2 + ... + n) 5 =
# " 5 (q) =
q =1
n 5 (n +1)
25
5
!
# q &5
Mais " 5 (q) = 2 % (
$ 2'
!
t =3
*C
2t )1
5
q 6-2t =
t =1
5 q 9 + 10 q 7 + q 5
16
q =n
!
Donc (1 + 2 + ... + n)
q =n
Soit :
5
q =n
" q9
=
q =1
q =n
q =n
5
10
1
n 5 (n +1)
9
7
5
=
q
+
q
+
q
=
"
"
"
16 q =1
16 q =1
16 q =1
25
5
q =n
16 5
1
I n - 2" q 7 - " q 5
5
5 q =1
q =1
!
Donc, en utilisant (6) et (8), il vient :
!
q =n
"q
In 2
=
16 I n 3 - 20 I n 2 + 12 I n - 3 où l’on remarque (!) que le crochet s’annule pour
5
(
9
q =1
)
q =n
1
I n = , soit :
2
"q
9
q =1
In 2
=
2 I n - 1 ) 8 I n 2 - 6 I n + 3 (10)
(
5
(
)
!
ou bien :
!
!
2
n 2 (n + 1) 2
9
1 + 2 + ... + n =
(n + n - 1)(2n4 + 4n3 - n2 - 3n + 3)
20
9
9
(11)
Ou, si l’on préfère, avec X = n (n +1) :
!
9
9
1 + 2 + ... + n
!
9
X2
=
(X - 1)(2 X 2 - 3X + 3)
20
A titre d’exemple : 19 + 2 9 + ... + 9 9 = 5 * 9 2 * 89 *15933 qui se décompose en :
!
19 + 2 9 + ... + 9 9 = 5 * 35 * 89 * 47 *113
!
• Avec p = 6 , soit s = 3, l’utilisation de (3) et (a) donne :
q =n
!
(1 + 2 + ... + n)
6
n 6 (n +1)
= # " 6 (q) =
26
q =1
!
" 6 (q) =
!
1
3 q11 + 10 q 9 + 3 q 7 )
(
16
D’où il résulte que :
!
!
6
# q &6
où " 6 (q) = 2 % (
$ 2'
t =3
*C
t =1
2t )1
6
q 7-2t soit
q =n
" q11 =
q =1
16 6 10
I 3 n
3
q =n
q =n
" q9 -
"q
q =1
q =1
7
Donc :
!
q =n
"q
11
q =1
In 2
=
16 I n 4 - 32 I n 3 + 34 I n 2 - 20 I n + 5
3
[
]
(12)
Soit, avec X = n (n +1) :
!
q =n
"q
11
=
!q =1
&
X2 # 4
17 2
X - 4 X3 +
X -10 X + 5 (
%
'
12 $
2
Ou
!
q =n
"q
11
q =1
!
n 2 (n + 1)
=
24
A. Bonnet
28/02/2014
2
[2n
8
+ 8 n 7 + 4 n 6 -16 n 5 - 5 n 4 + 26 n 3 - 3 n 2 - 20 n + 10]