EXERCICES : RESEAUX PARTICULIERS

Exercices
TS2 Photonique
EXERCICES : RESEAUX PARTICULIERS
1. Réseau blazé (à échelettes).
On éclaire un réseau à échelettes sous incidence normale à ses
facettes réfléchissantes (θ = 0) par une onde plane de longueur
d'onde λ. (Schéma).
1. Quelle est l'amplitude diffractée par une facette dans la direction θ'?
2. Quelle est l'intensité diffractée par l'ensemble du réseau dans
la direction i'?
3. Le pas du réseau est a=6µm, l'angle du blaze α = 10°. Calculer la largeur b des facettes.
4. Au voisinage de la longueur d'onde du blaze, les radiations
sont diffractées dans des directions θ' voisines de l'onde inci- Cadre 1
dente. Ainsi on observe la radiation λ = 0,650µm.
Calculer l'ordre du blaze. Calculer la longueur d'onde λ0 du
blaze. Calculer l'angle i' et θ' de diffraction de λ = 0,650µm ainsi que l'intensité diffractée à l'ordre 3.
5. Dans ces conditions, montrer que les maximums d'ordre différents de 3 sont pratiquement éteints.
2. Diffraction de Bragg - Diffraction des rayons X dans un cristal
Au niveau microscopique, un réseau cristallin est caractérisé par une répartition régulière des atomes dans l'espace. Dans le cas d'une maille cristalline cubique d'arête a, les atomes sont répartis sur des plans parallèles équidistants de a, dans les trois directions de l'espace, appelés plans réticulaires.
1. Un faisceau parallèle de rayons X, de longueur d'onde λ, arrive sur un plan réticulaire avec une incidence i et
se réfléchit en un faisceau parallèle diffracté avec l'angle i'.
Montrer que si tous les rayons arrivant en phase dans le plan P1, le sont encore dans le plan P2, quelque soit la longueur d'onde, on a nécessairement i = - i'.
2. Quelle condition doit satisfaire i pour que deux rayons se réfléchissant sur deux plans réticulaires consécutifs soient encore en phase après
réflexion? (On obtient la relation de Bragg).
A.N.: En faisant diffracter un faisceau de rayon X de longueur d'onde
0,341 nm sur un cristal de silicium (maille cubique) on trouve une seule
valeur de i donnant une réflexion intense : i = 47,43°. Calculer la valeur
de a pour la maille cristalline du silicium.
Dans l'emploi de la relation de Bragg, qu'est ce qui limite la détermination précise de l'angle i' ?
3. Interaction acousto-optique.
Elle se produit lorsqu'un faisceau lumineux de longueur d'onde λ traverse
un milieu dont l'indice est modulé par une onde acoustique de longueur
d'onde Λ.
On distingue deux types d'interactions:
Cadre 2
3.1 Interaction de Raman-Nath (incidence normale).
La variation sinusoïdale de l'indice a un effet analogue à celui d'un réλ
seau de phase de pas Λ: on trouve les maximums pour sin θ' = p ; p
Λ
est l'ordre de diffraction.
3.2 Interaction de Bragg.
La diffraction se fait sur un seul ordre. Deux conditions sont nécessaires:
l'une concerne les dimensions du cristal, l'autre l'angle d'incidence:
2nΛ2
λ
h≥
sin θB =
λ
2Λ
On utilise un cristal d'oxyde paratellurique TeO2 dont les caractéristiques
sont: indice n = 2,26; vitesse du son v= 617m/s.
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Cadre 3
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Exercices
TS2 Photonique
La longueur d'onde de la lumière est λ = 0,633µm et la fréquence de l'onde acoustique est N = 30MHz. La dimension utile du cristal est D = 30mm.
1. Quelle est la durée τ (temps d'accès) nécessaire à la réalisation du réseau de phase dans le cristal?
Calculer le pas du réseau. Peut-on considérer ce réseau comme fixe?
2. Calculer l'angle de Bragg.
Si on ne tient compte que des phénomènes de diffraction, quelle est la largeur angulaire du rayon diffracté? En
déduire la plus petite variation de fréquence sonore décelable?
3. On associe à l'onde acoustique un phonon d'énergie hN et de quantité de mouvement h/Λ.
On admet que l'interaction phonon-photon se traduit par une absorption du phonon et une diffraction du photon.
Que peut-on déduire des principes de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement?
4. Réseau sinusoïdal
4.1 Enregistrement
On veut réaliser un réseau sinusoïdal de pas a =
12,5 µm (N = 80 traits/mm). On réalise pour cela
le montage interférentiel à deux ondes représenté cadre 4.(λ = 633 nm)
On suppose le faisceau assez étendu pour être
considéré comme homogène et peu divergent de
telle sorte que dans la zone Z les ondes s1 et s2
peuvent être considérées planes.
1.Donner l'expression de l'amplitude résul- Cadre4
tante en tout point M de l'axe x'x de la zone de
franges. (On prendra l'origine O en un point où s1 et s2 sont en phase.)
Quelle sera l'intensité I en M.
Comment choisir l'angle α sachant qu'on placera le film sensible perpendiculairement à la bissectrice dans la zone Z de
franges. On admettra l'angle α petit
2. Donner l'expression de la période spatiale a, de la fréquence spatiale n et de la pulsation Ω du réseau de franges
formés en fonction de λ et α.
4.2 Développement
Si les conditions d'illumination, lors de l'enregistrement et le
traitement chimique de l'émulsion au cours du développement,
permettent d'obtenir une transmittance f(x) en amplitude fonction linéaire de l'intensité, montrer qu'on peut écrire: f(x) = A + B
cos(Ωx).
cadre5
4.3 Diffraction par le réseau
Le réseau de largeur L (>>a) obtenu est éclairé par un faisceau parallèle (λ = 633nm) en incidence normale dans
un "montage d'Abbe" (cadre 6). Calculer l'amplitude diffractée dans la direction i'.
1. Montrer qu'on observe trois directions (ordres) de diffraction et exprimer ces directions en fonction de λ et a.
2. Quelles sont les abscisses X des images de la source dans le plan de Fourrier. A.N. f = 150mm.
4.4 Filtrage spatial - Image en lumière cohérente.
Ces images sont des sources secondaires. Elles interfèrent sur l'écran E dans le plan conjugué du réseau.
Envisagez les filtrages spatiaux possibles dans le
plan de Fourrier et décrivez l'image correspondante
du réseau dans chaque cas.
Rq. on pourra faire dans tous les cas les approximations habituelles pour les petits angles.
Cadre 6
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