TIPE origami final

ORIGAMI ET MATHEMATIQUES
L’origami comme outil mathématique et
exploitation des mathématiques au service de l’origami.
I. Théorie mathématique de l’origami
A. Axiomes de Huzita-Hatori / Justin
B. Nombres constructibles par origami et analogie avec la géométrie euclidienne
II. Résolution par origami de problèmes classiques insolubles par la
géométrie euclidienne
A. Trisection de l’angle
B. Duplication du cube
• résolution de polynômes du troisième degré
• construction de la racine cubique de 2
III. Exploitation mathématique de l’origami à des fins scientifiques et
technologiques
A. Algorithmes et diagrammes de plis
B. Mise au point d’un algorithme de plis (sur des cartes de plis orthogonaux)
C. Application en ingénierie
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I.
Théorie mathématique de l’origami
A. Axiomes de Huzita-Hatori/Justin
SCHEMA
OPERATI
ON
CONTRAINTE
RESULTAT EN
GENERAL
NOMB
RE
(p1 ➢ p1,
p2 ➢ p2)
p1 ≠ p2
Droite p1p2
1
(p1 ➢ p2)
p1 ≠ p2
Médiatrice de
p1p2
1
(l1 ➢ l2)
l1 ≠ l2
Bissectrice de
l'angle délimité
par l1 et l2
1, 2
Perpendiculaire
à l1 passant par
p1
1, 2
(p1 ➢ p1,
l1 ➢ l1)
(p1 -> l1,
p2 -> p2)
¬ (p1 = p2, p1 appartient à l1)
Solution
équation du 2e
degré
0, 1, 2
(p1 ➢ l1,
p2 ➢ l2)
{p1,p2} ⍧ l1 ou l2
et
{p1,l1} # {p2,L2}
et
(p1⍧l1 ou p2⍧l2 ou l1&l2 = ∅)
Solution
équation du 3e
degré
0, 1,
2, 3
¬ (P appartient à l1 et l1 // l2)
Projection de P
sur l1
parallèlement à
l2
0, 1
(P ➢ l1,
l2 ➢ l2)
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B. Nombres constructibles par origami et analogie avec la géométrie
euclidienne
• Nombres constructibles par origami
• Par pliages successifs d’une feuille (1 pli = ½, 2 plis = ¼ …)
En ajoutant plusieurs plis les uns aux autres, on obtient tous les nombres de la forme a/(2n)
MAIS méthode fastidieuse.
• Méthode de James Branson : fractions binaires
= décomposition de fractions en puissances négatives de 2.
Début : Prendre une
fraction binaire (ex : .
10011)
Supprimer le
chiffre de droite
oui
non
Nombre de droite = 1 ?
Plier l'arrête supérieure
Plier l'arrête inférieure
sur le dernier pli
sur le dernier pli
non
Nombre de chiffre restant
égal à 1 ?
oui
Fin : le dernier pli
donne
la proportion voulue
Pour des fractions inférieures à 1 a priori,
mais on peut aussi considérer un côté de longueur 1, 2, 5…
➢ Au final : permet de construire toutes les fractions de type a/(2^n)
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• Analogie avec la géométrie euclidienne
GEOMETRIE EUCLIDIENNE
ORIGAMIS
Règle non graduée et compas
> racines des équations
linéaires d’ordre 2
> racines des équations
linéaires d’ordre 3
> trisection de l'angle et
duplication du cube :
impossibles
> trisection de l'angle et
duplication du cube : possibles
Axiomes 1 à 5 : permettent de construire l’ensemble des nombres constructibles par la
géométrie euclidienne.
Axiome 6 : procédé de construction puissant, dépassant la géométrie euclidienne ➢ Permet la résolution des équations du 3e degré à coefficients constructibles.
II. Résolution par origami de problèmes classiques insolubles par la
géométrique euclidienne
A. Trisection de l’angle
• But : diviser un angle en 3 parties
égales
• Impossible par la géométrie
euclidienne
• Possible avec : — courbes auxiliaires (trisectrices)
— compas et règle graduée
— pliage d’une feuille de papier
➢ solution rapide et simple
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B. Duplication du cube
• Résolution de polynômes du 3ème degré à coefficients constructibles :
• Construction de la racine cubique de 2 :
Soit le polynôme t^3 - 2 = 0
Il suffit de poser les points A (1/2 , 2) et B (1,1) et d’effectuer le pli nécessaire.
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III. Exploitation mathématique de l’origami à des fins scientifiques et
technologiques
A. Algorithmes et diagrammes de plis
• Un origami se base sur un diagramme de pli
• 4 lois simples :
-
orientation des plis aux sommets (nb plis vallée – nb plis montagne = 2 ou -2)
double coloration (colorier avec 2 couleurs sans qu’une même couleur ne se retrouve
sur 2 formes adjacentes)
à chaque sommet, somme des angles pairs = somme des angles impairs = 180°
une feuille ne peut jamais pénétrer un pli
• Relation fondamentale :
Sujet
➢
Arbre
(facile)
➢
Base
(difficile)
➢
Modèle
(facile)
Arbre de pliage pour un scorpion
Schéma de pli associé
Modèle fini
Base pliée
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B. Mise au point d’un algorithme de plis (sur cartes de plis orthogonaux)
• Algorithme de pli d’une carte de pli orthogonale
Principe de l’algorithme :
— repérer les plis traversants
— les plier en vérifiant la correspondance des autres plis qui se superposent
— recommencer récursivement
— vérifier qu’il n’y a plus aucun pli possible.
Représentation d’une carte de plis : 4 listes imbriquées : — 1ère : la carte entière
— 2ème : une colonne
— 3ème : un carré avec toutes les couches (de bas en haut)
— 4ème : une des couches du carré.
Finalité de l’algorithme :
Affichage du booléen « Carte entièrement pliée ? », le cas échéant, liste des plis à effectuer
pour plier la carte.
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C. Applications en ingénierie
Panneau solaire déployable dans l’espace
Endoprothèse — Conception d’un airbag de voiture
Lentille pliable (Eyeglass), projet pour le téléscope spatial James Webb
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