Equation du 1er degré à une inconnue - Notes de cours

ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE
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Cours de
MATHEMATIQUES
- Equation du 1er degré à une inconnue ——————————————————————
H. Schyns
Novembre 2002
Equations du 1er degré
Sommaire
Sommaire
1.
DÉFINITIONS
2.
RÉSOLUTION
2.1. Forme normale
2.2. Résolution algébrique
2.3. Formes éclatées
2.3.1. Premier exemple
2.3.2. Forme algébrique
2.3.3. Deuxième exemple
2.3.4. Second degré apparent
2.4. Formes fractionnaires
2.4.1. Coefficients fractionnaires
2.4.2. Inconnue au dénominateur
2.5. Forme impossible
2.6. Forme indéterminée
3.
MISE EN ÉQUATION DE PROBLÈMES
3.1. Lecture de l'énoncé
3.2. Identification de l'inconnue
3.3. Réflexion
3.4. Expérience
3.5. Un autre problème de bilan
EXERCICES DU CHAPITRE
♦ Exercice 1
♦ Exercice 2
♦ Exercice 3
♦ Exercice 4
H. Schyns
S.1
Equations du 1er degré
1.
1 - Définitions
Définitions
Une équation est une expression mathématique dans laquelle
il faut trouver la ou les valeurs à donner aux différentes inconnues
pour vérifier l'égalité proposée.
Dans une équation du premier degré à une inconnue, la seule inconnue est affectée
d'un exposant de valeur unitaire.
Une équation se compose toujours de deux membres séparés par le signe égal.
membre de gauche = membre de droite
L'image traditionnelle de l'équation est celle d'une balance dont les plateaux sont en
équilibre au départ et doivent rester en équilibre pendant tout le processus de
résolution.
Habituellement, les équations du premier degré à une inconnue sont présentées
sous la forme
a•x+b=0
ou, de manière plus condensée
ax+b=0
où
x
a
b
est l'inconnue,
est le coefficient de l'inconnue,
est le terme indépendant.
a • x + b est le membre de gauche (1)
0
est le membre de droite
Notons qu'une équation se lit aussi bien de gauche à droite que de droite à gauche.
Les équations
a•x+b=0
et
0=a•x+b
sont rigoureusement identiques (on permute simplement le contenu des deux
plateaux de la balance).
Nous ne nous intéresserons ici qu'aux équations dans lesquelles a et b sont des
nombres réels (a, b i þ). De ce fait, quand la résolution est possible, l'inconnue est
également un réel (x i þ).
Exemples :
1
1)
4•x-8=0
2)
-3 • x - 9 = 0
3)
-2 • x + 7 = 0
notez bien que l'expression a.x+b n'est pas une équation. Pour qu'il y ait équation, il faut impérativement
deux membres et le signe = entre ces deux membres.
H. Schyns
1.1
Equations du 1er degré
2.
2 - Résolution
Résolution
En toute généralité, résoudre une équation, quelle que soit sa complexité, repose
sur un principe inaltérable :
Toute opération, modification, fonction, appliquée au membre de gauche doit être
également appliquée au membre de droite.
Pour résoudre correctement une équation, il est indispensable de bien se souvenir
des règles de priorité des opérateurs arithmétiques :
-
2.1.
parenthèses,
fonctions,
exposants,
multiplications et divisions,
additions et soustractions.
Forme normale
Partons de l'exemple donné ci-dessus :
4•x-8=0
La première étape consiste à séparer le variable et son coefficient du terme
indépendant. En d'autres mots, il faut garder la variable et son coefficient dans un
membre et faire passer le terme indépendant dans l'autre.
Du point de vue technique, nous allons neutraliser une addition par une
soustraction ou neutraliser une soustraction par une addition.
Dans le cas présent, le terme indépendant est précédé du signe "-". Il s'agit donc
d'une soustraction à neutraliser par une addition dans les deux membres :
4•x-8+8=0+8
Dans le membre de gauche, les termes indépendants se neutralisent; dans le
membre de gauche, ils s'additionnent :
4•x=8
On résume généralement cette opération en disant que
un terme qui change de membre change de signe (1).
La seconde étape consiste à séparer l'inconnue de son coefficient.
Du point de vue technique, nous allons neutraliser une multiplication par une
division ou neutraliser une division par une multiplication.
1
Rappelons qu'un terme est l'élément d'une addition (dans a+b+c ; a, b et c sont les différents termes)
tandis qu'un facteur est l'élément d'une multiplication ( dans a•b•c ; a, b, et c sont les différents facteurs).
Dans l'expression a•x+b ; a•x et b sont des termes car séparés par "+" tandis que a et x sont des facteurs
car séparés par "•"
H. Schyns
2.1
Equations du 1er degré
2 - Résolution
Dans le cas présent, le coefficient et l'inconnue sont séparés par le signe "•". Il s'agit
donc d'une multiplication à neutraliser par une division dans les deux membres :
1
1
•4•x =
•8
4
4
Dans le membre de gauche, les facteurs se neutralisent; dans le membre de
gauche, ils se simplifient :
x =
8
4
x=2
On résume généralement cette opération en disant que
un facteur qui change de membre passe du numérateur au dénominateur
ou du dénominateur au numérateur.
La troisième étape est la vérification : on remplace x de l'équation initiale par la
valeur trouvée. Si la résolution est correcte, l'égalité se vérifie.
4•x-8=0
4•2-8=0
0=0
Appliquons le principe de résolution aux deux autres exemples où l'on a utilisé la
multiplication implicite (le signe "•" n'est pas écrit; il est sous-entendu) :
-3 x - 9 = 0
-2 x + 7 = 0
-3 x – 9 + 9 = 0 + 9
-2 x + 7 - 7 = 0 - 7
-3 x = 9
-2 x = -7
Pour éviter les erreurs, il est préférable que le coefficient de x soit positif.
Changeons le signe dans les deux membres.
3 x = -9
2x=7
3x
−9
=
3
3
2x
7
=
2
2
x =
x = -3
7
2
Vérification :
−2•
-3•(-3) - 9 = 0
2.2.
7
+7 = 0
2
Résolution algébrique
Le principe de résolution que nous avons illustré avec les trois exemples s'applique
aussi à la résolution de la forme algébrique :
ax+b=0
ax=-b
x =
H. Schyns
−b
a
2.2
Equations du 1er degré
2.3.
2 - Résolution
Formes éclatées
2.3.1. Premier exemple
Les équations que l'on trouve en liberté dans la nature se présentent rarement sous
la forme normale. Le plus souvent, des termes en x se trouvent des deux côtés de
l'égalité et il en va de même pour les termes indépendants. Voici un exemple :
5x-8=2x+7
La première chose à faire est de remettre chaque élément à sa place : les termes
en x d'un côté, puis les termes indépendants de l'autre. Notez bien qu'il s'agit de
déplacer tout le terme en x et non de séparer x de son coefficient. On a repris entre
parenthèses l'opération qui est effectuée de chaque côté de l'égalité :
(-2 x)
5x-8=2x+7
(-2 x)
(+8)
5x–8–2x=7
(+8)
5x–2x=7+8
on fait le ménage à gauche et à droite puis on sépare x de son coefficient :
(1/3)
3 x = 15
x =
(1/3)
15
3
x=5
Vérification :
5•5 - 8 = 2•5 + 7
2.3.2. Forme algébrique
Tentons maintenant de résoudre une forme algébrique similaire :
ax+b=cx+d
On lui applique le même processus de résolution :
ax–cx=d–b
Pour faire le ménage, dans le premier membre, on peut mettre x en évidence :
x•(a – c) = d – b
Le coefficient de x est l'expression (a-c) et le deuxième membre est (d-b). Lors de la
séparation de x et de son coefficient, n'oublions pas que ce sont les deux membres
dans leur totalité qui sont affectés par l'opération :
x =
d−b
a−c
2.3.3. Deuxième exemple
Pourquoi faire simple et élégant si on peut faire compliqué et impressionnant ?
3•( x – 2 ) – 6 x – 3 = – 4 x + 2 + 5•( 2 x – 1 )
Pas de panique, n'oublions pas la priorité des opérations. Il suffit d'effectuer les
distributions nécessaires puis de faire le ménage dans chaque membre :
3 x – 6 – 6 x – 3 = – 4 x + 2 + 10 x – 5
–3x–9=6x–3
H. Schyns
2.3
Equations du 1er degré
2 - Résolution
Nous voici avec une forme semblable à celle que nous avons traitée au point
précédent. Les termes en "x" d'un côté, les termes indépendants de l'autre :
–3x–6x=–3+9
–9x=6
9x=–6
x = −
6
9
x = −
2
3
La vérification est une bonne occasion pour appliquer ses connaissances en matière
de fractions.
2.3.4. Second degré apparent
2
Certaines équations font apparaître un ou plusieurs termes en x . On parle alors
d'équation du second degré. Nous apprendrons plus tard comment résoudre ce type
d'équation.
Dans l'immédiat, avant de paniquer, examinons soigneusement
l'équation pour voir si ces termes du second degré ne s'annulent pas auquel cas le
second degré ne serait qu'apparent. Voici un exemple :
2
(2 x – 3) – 5 = 4x (x – 2) + 6
2
La première opération consiste à développer la forme (a-b) du membre de gauche
et de distribuer le 4x du membre de droite.
2
2
4 x – 12 x + 9 – 5 = 4 x – 8 x + 6
2
Ensuite, nous faisons passer tous les termes en x et x à gauche et tous les termes
indépendants à droite :
2
2
4 x – 4 x – 12 x + 8 x = + 6 – 9 + 5
2
Ô grâce ! Les termes en x disparaissent. Après avoir fait le ménage, il reste :
-4 x = 2
4 x = -2
x =
2.4.
−2
1
= −
4
2
Formes fractionnaires
Il n'y a aucune raison de s'arrêter en si bon chemin. Ajoutons quelques fractions,
juste pour voir.
2.4.1. Coefficients fractionnaires
Voici une équation dans laquelle les coefficients sont des fractions :
−2
1
5
x−
=
( 3 x − 2)
3
2
6
Il est peut être bon de rappeler que toutes les écritures ci-dessous sont équivalentes
ac
1
c
a
=
ac = a
=
c
b
b
b
b
H. Schyns
2.4
Equations du 1er degré
2 - Résolution
dès lors, l'équation peut s'écrire
−2x 1
5 ( 3 x − 2)
−
=
3
2
6
Commençons par réduire toutes les fractions au même dénominateur, soit 6 :
−4 x 3
5 ( 3 x − 2)
−
=
6
6
6
−4 x−3
5 ( 3 x − 2)
=
6
6
Multiplions les deux membres par 6 afin de simplifier les dénominateurs
– 4 x – 3 = 5 (3 x – 2)
Nous sommes ainsi revenus à une forme éclatée semblable à celle que nous avons
résolue au point précédent.
– 4 x – 3 = 15 x – 10
10 – 3 = 15 x + 4 x
7 = 19 x
7
= x
19
2.4.2. Inconnue au dénominateur
Les choses se compliquent un peu quand l'inconnue apparaît au dénominateur. Et
pourtant, l'obstacle ne présente pas de gros problème pour qui maîtrise bien ses
règles d'algèbre. Voici un petit apéritif :
2
3
=
2 x−3
5−4 x
Chaque membre est constitué d'une et une seule fraction. Rappelons-nous que si
a
c
=
b
d
alors
b
d
=
a
c
autrement dit, nous pouvons froidement inverser les deux fractions (1) :
2 x−3
5−4 x
=
2
3
ce qui nous ramène aux coefficients fractionnaires vus au point précédent
3 (2 x − 3 )
2 (5 − 4 x )
=
6
6
6 x – 9 = 10 – 8 x
14 x = 19
x =
19
14
1 En toute rigueur, ces expressions n'existent que si le dénominateur est différent de zéro. Or, ici le
dénominateur contient l'inconnue. Pour déterminer ces conditions d'existence, nous devons rechercher
les valeurs de x qui annulent le dénominateur et les interdire : ( 2 x - 3 ≠ 0 ) et ( 5 - 4 x ≠ 0 ). Nous
n'insisterons pas sur ce point.
H. Schyns
2.5
Equations du 1er degré
2 - Résolution
L'équation est un peu plus troublante quand les inconnues apparaissent au
numérateur et au dénominateur de la même fraction :
5−4 x
3
=
2 x−3
2
En fait, il suffit de multiplier les deux membres par le dénominateur contenant "x"
pour revenir au cas précédent :
(2 x − 3) • 5 − 4 x
2 x−3
5−4 x =
=
3
• (2 x − 3 )
2
3
• (2 x − 3 )
2
En d'autres mots, nous avons fait passer le dénominateur dans l'autre membre.
Après résolution, on retombe sur la même solution que ci-dessus.
2.5.
Forme impossible
Certaines équations sont impossibles à résoudre. Après simplification, on arrive à
une forme absurde dans laquelle les inconnues ont disparu :
5 (x – 2) + x = 6 (x – 3)
5 x – 10 + x = 6 x – 18
5 x + x – 6 x = – 18 + 10
0x=–8
Comme n'importe quoi multiplié par zéro vaut zéro, on a
0=–8
ce qui est impossible et absurde. L'équation ci-dessus n'admet aucune solution
elle est donc impossible à résoudre.
2.6.
Forme indéterminée
A côté des équations impossibles qui n'acceptent aucune solution, il existe des
équations pour lesquelles on peut donner n'importe quelle valeur à l'inconnue. Il
s'agit de formes évidentes dans lesquelles les inconnues ont aussi disparu :
2 (x – 3) + x = 3 ( x – 6) + 12
2 x – 6 + x = 3 x – 18 + 12
3x–6=3x–6
Les deux membres sont identiques, l'égalité est évidente et x peut prendre n'importe
quelle valeur. On dit de telles équations qu'elles sont indéterminées La suite de la
résolution conduit à
3x–3x=–6+6
0x=0
0=0
H. Schyns
2.6
Equations du 1er degré
3.
3 - Mise en équation de problèmes
Mise en équation de problèmes
Si beaucoup d'étudiants se demandent pourquoi il faut apprendre à résoudre des
équations, d'autres y trouvent vite un aspect ludique. Mais la question n'est pas de
s'entraîner à résoudre des équations. L'aspect le plus intéressant – et aussi le plus
difficile - est d'apprendre à mettre en équation les problèmes de la vie courante…
Car mettre un problème en équation, c'est en examiner toutes les facettes avec
attention et tenter de définir les relations entre les diverses contraintes.
Les étudiants ont souvent beaucoup de mal poser l'équation d'un problème. Surtout
quand il y a apparemment plusieurs inconnues. Seules la lecture attentive de
l'énoncé, l'identification correcte des inconnues, la réflexion et une bonne part
d'expérience permettent de passer cette étape avec élégance.
3.1.
Lecture de l'énoncé
Voici un exemple, un peu artificiel, je l'avoue :
La somme de trois nombres entiers consécutifs vaut 132.
nombres ?
Quels sont ces trois
Relisons-le pour retrouver les éléments d'une équation.
Recherchons d'abord l'équivalent du signe "=". Ici, il s'agit du verbe "vaut".
Dès lors, "la somme de trois nombres entiers consécutifs" constitue le membre de
gauche de l'équation. Et le nombre "132" constitue le membre de droite.
3.2.
Identification de l'inconnue
Que demande-t-on ? De trouver trois nombres. Donc, les inconnues sont les trois
nombres que l'on cherche. A priori, ce problème contient trois inconnues; appelonsles x, y et z :
Soient x, y et z les trois nombres…
Ici, les inconnues sont clairement dans le membre de gauche.
s'écrire :
L'équation peut
x + y + z = 132
Nous avons déjà bien avancé, mais maintenant nous sommes bloqués car nous ne
savons pas résoudre des équations à trois inconnues.
3.3.
Réflexion
Relisons l'énoncé. Nous disposons d'une information complémentaire qui est
passée inaperçue : le problème ne dit pas "la somme de trois nombres " mais bien
"la somme de trois nombres entiers consécutifs". Or en mathématiques, chaque mot
de l'énoncé est important.
Si on nous parle de nombres entiers, c'est pour indiquer que la solution ne peut pas
être un nombre fractionnaire.
Si on nous parle de nombres consécutifs, c'est qu'il s'agit de nombres qui se suivent
tels que 4-5-6 ou 20-21-22. Autrement dit, il suffit de connaître le premier des trois
nombres pour trouver les deux autres.
H. Schyns
3.1
Equations du 1er degré
3 - Mise en équation de problèmes
Dans la suite 4-5-6, le premier nombre est 5, les suivants 5 = 4+1 et 6 = 4+2;
Dans la suite 20-21-22, le premier est 20, les suivants 21 = 20+1 et 22 = 20+2
Dans la suite x-y-z, le premier nombre est x, le suivant x+1 et le suivant x+2
Dès lors, le problème devient un problème à une seule inconnue.
Soit x le premier des trois nombres :
x + (x + 1) + (x + 2) = 132
3 x + 3 = 132
3 x = 132 – 3
x =
129
= 43
3
Les trois nombres sont donc 43, 44 et 45 (1). Ce sont bien des nombres entiers et
leur somme fait bien 132.
3.4.
Expérience
Profitons de l'expérience acquise avec ce premier problème pour résoudre un
problème de bilan.
Une secrétaire dispose d'un budget de 450 EUR pour organiser le déjeuner de
quatre directeurs. Sachant qu'elle veut garder une réserve de 80 EUR pour faire
face à un éventuel extra ou imprévu, quel peut être le prix maximum du menu (tout
compris).
Que demande-t-on ? Le prix maximum du menu.
Appelons-la "M", histoire de changer un peu :
Ce sera notre inconnue.
Soit M le prix maximum du menu…
A présent, où se trouve le signe "=" ?
Reformulons le problème :
Une secrétaire dispose 450 EUR. Avec cette somme, elle doit payer 4 menus et
mettre 80 EUR en réserve.
Il est clair que l'équation peut s'écrire
450 = 4 M + 80
ou, ce qui revient au même
450 – 80 = 4 M
d'où
370 = 4 M
M =
370
= 92.50
4
Le prix maximum du menu est de 92.50 EUR (2).
1 De nombreux étudiants oublient cette dernière ligne. Il ne suffit pas de trouver "x", il faut répondre à la
question et la question est "quels sont ces trois nombres ?"
2 Même remarque que ci-dessus.
H. Schyns
3.2
Equations du 1er degré
3.5.
3 - Mise en équation de problèmes
Un autre problème de bilan
Le problèmes de bilans sont très fréquents dans le domaine technique et financier.
Voici un exemple qui ressemble fort au premier problème proposé.
Pierre, Marie et Juliette disposent ensemble de 48,20 EUR. Pierre a 6,80 EUR de
plus que Marie. Marie a le double de Juliette. De quelle somme disponsent-ils
chacun ?
Que demande-t-on ? La somme donc dispose chaque enfant.
inconnues. A priori, il y en a trois.
Ce seront nos
Soient P, M, J les sommes dont disposent chaque enfant…
P + M + J = 48.20
Puisqu'il y a apparemment trois inconnues, une lecture plus attentive s'impose.
Pierre a 6,80 EUR de plus que Marie… Donc on peut remplacer
P = M + 6.80
Marie a le double de Juliette… Donc, on peut dire
M=2J
et donc, pour Pierre,
P = 2 J + 6.80
L'équation devient
2 J + 6.80 + 2 J + J = 48.20
5 J = 48.20 – 6.80
J =
41.4
= 8.28
5
Pierre, Marie et Juliette disposent respectivement de 23.36, 16.56 et 8.28 EUR. Le
total fait bien 48.20 EUR
H. Schyns
3.3
Equations du 1er degré
Exercices du chapitre
Exercices du chapitre
♦ Exercice 1
Résoudre les équations simples suivantes :
♦ Exercice 2
Résoudre les équations éclatées ci-dessous :
5x + 4 = 9x – 2
2 (5 – 3x) = -8x – 4
4x + 4 = 6x – 2
3 (5 – 2x) = -8x – 4
4x + 8 = 6x – 3
3 (4 – 3x) = -10x – 4
3x + 11 = 6x – 3
3 (6 – 3x) = -11x – 4
♦ Exercice 3
Résoudre les équations inverses ci-dessous :
♦ Exercice 4
Quelques problèmes :
Une société dispose d'un budget de 48 000 euros à répartir entre trois départements
nommés Recherche (R), Fabrication (F) et Vente (V). Les clés de répartition sont les
suivantes : le budget accordé à R est le quart de celui accordé à F tandis que V
recoit 6 000 Euros de moins que F. Combien chaque département a-t-il reçu ?
La solution est dans cette liste : R=6000; R=13 500; R=28 000
H. Schyns
E.1