sur les hessiennes successives d`une couebe du troisième degré

SUR LES HESSIENNES SUCCESSIVES D'UNE COUEBE
DU TROISIÈME DEGRÉ
PAR B. HOSTINSKY.
Soit
xz + y* + z'3 + ßmxyz = 0
(1)
lequation d'une courbe du troisième degré en coordonnées homogènes x, y, z.
invariants de la courbe sont
S = m (1 - m%
Les
T = 1 - 20m3 - 8m6 ;
1 T2
r = - - -^
la quantité
est son invariant absolu. A chaque valeur de r correspondent 12 valeurs de
m ; en général, si r est réel, deux valeurs de m (deux courbes) sont réelles et dix
imaginaires.
Représentons par H0 le premier membre de l'équation (1) et écrivons
77 _ 1
k
~6
/3fiT*_i dHk-i 9i/fc_1\
\ dx ' dy '
dz
D(œ,y,z)
Nous obtenons ainsi une suite de courbes du troisième degré
H0, H1, H2,...Hn
..(2)>
que nous appellerons Hessiennes successives; chaque courbe de la suite (2) est la
Hessienne de la précédente et l'équation d'une quelconque de ces courbes aura
toujours la forme (1). Le problème que je veux traiter maintenant consiste à
rechercher les conditions pour que la suite (2) soit périodique. En d'autres mots:
Un entier n étant donné, on cherche une courbe H0 identique avec II n.
Supposons que cette condition soit remplie par une courbe i/ 0 .
Les courbes
H0, Hl, H2... Hrt^1
constituent un cycle d'ordre n ; dans la suite (2) pour chaque k, les courbes Hh et
Hk+n seront identiques. La recherche des cycles d'un ordre donné conduit à une
équation algébrique dont il est aisé indiquer le mode de formation. On s'appuiera
sur les formules bien connues de Salmon qui expriment les invariants Sjg+1) Tk+1 de
Hk+1 en fonction de ceux de Hk et sur l'équation
108.2^+! = 4<Sk2Hk + TkHk+1.
SUR LES HESSIENNES SUCCESSIVES D'UNE COURBE DU TROISIÈME DEGRÉ
On trouve ainsi
103
Hn = Xn. H0 -f- Yn. H1,
Xn, Yn ne renfermant pas les coordonnées x, y, z.
identique avec H0 il faut que
Yn = 0
s
Pour que la courbe Hn soit
(3).
2
Yn est un polynôme homogène en S et T ', après avoir divisé le premier membre
de (3) par une puissance convenable de S3, on aura une équation qui ne contiendra
que l'invariant absolu r de la courbe R0. L'équation ainsi obtenue sera une équation
Abélienne. Car si elle admet la racine rk, elle doit admettre en même temps la
racine rk+1, rk étant l'invariant absolu de Hk. Mais on trouve que
- _ n(2rk + S)2
~
S(rk + iy '
*.
n+l
ce qui exprime la propriété caractéristique des équations Abeliennes.
Voici les résultats du calcul dans les cas les plus simples, où l'ordre n du cycle
ne dépasse pas 4 :
n — 1.
Quatre courbes dégénérées en triangles.
n = 2. Six courbes harmoniques formant trois cycles du deuxième ordre ; un
seul cycle est réel. C'est à Salmon que nous devons cet exemple intéressant.
n = 3.
L'équation (3) s'écrit
r2 + 3r + 3 = 0.
Désignons par r, r' ses racines. Tout cycle du troisième ordre est compose de
courbes ayant le même invariant absolu r (ou r). Les 12 courbes de l'invariant
r (ou r) se divisent en quatre cycles ; il y a donc huit cycles du troisième ordre ne
comprenant que de courbes imaginaires.
n = 4.
L'équation (3) est réductible ; on trouve
(r2 + 6r + 6) . (r4 - 3r3 - 21r2 - 21 r - 9) = 0.
Il y a deux espèces de cycles du quatrième ordre :
(a) Soient r, r les racines du facteur quadratique. Les 24 courbes dont
l'invariant est r ou r forment 6 cycles. Les quatre courbes composant un tel cycle
auront resp. les invariants r, r, r, r'. Un seul cycle sera réel.
(b) Désignons par p, p, p", p'" les racines du facteur biquadratique. Les
48 courbes correspondantes forment 12 cycles; les courbes d'un même cycle auront
resp. les invariants p, p', p", p'". Deux cycles seront réels.
Si l'ordre n du cycle dépasse 4, une discussion complète exige un calcul assez
long.
Toutefois on peut démontrer le théorème suivant : Il n'y a pas de cycle d'ordre
n composé de courbes réelles, si n est un nombre impair.
La démonstration repose sur la remarque suivante: La Hessienne de (1) est
représentée par la même équation (1) si l'on y remplace m par
m
=
2m3 + 1
_ ———2— .
bm
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B. HOSTINSKY
Une discussion de cette dernière formule nous montre que, si la courbe originale
n'a pas d'ovale, la Hessienne en aura un, et si la courbe originale est douée d'un
ovale, la Hessienne sera sans ovale.
Reprenons une suite de Hessiennes successives réelles. Les courbes d'indice
pair H0, H2, H4... ont par exemple un ovale tandisque les courbes d'indice impair
sont sans ovale. Si l'ordre d'un cycle n était un nombre impair, on aurait H0 = Hn,
ce qui est impossible. Par conséquent l'ordre d'un cycle réel doit être toujours un
nombre pair.