ERRATA ET AJOUTS

ERRATA ET AJOUTS
Chapitre 2, p. 64,
l’équation se lit comme suit :
2

0 , 08 
Taux effectif =  1 +
 = 0 , 0816

2 
Chapitre 3, p. 84,
l’équation se lit comme suit :
C=
0 , 075 × 1 000
2
= 37, 50 $
Chapitre 4, p. 108, note de bas de page no 5
J.C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 9e éd., Upper Saddle River,
Pearson, 2015.
Chapitre 4, p. 109, note de bas de page no 7
J.C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 9e éd., Upper Saddle River,
Pearson, 2015.
Chapitre 4, p. 115, les équations (4.7) et (4.8) se lisent comme suit :
dP =
dP
P
=
∂P
∂i
1 ∂P
P ∂i
di +
di +
∂P
∂t
1 ∂P
P ∂t
dt +
1 ∂2 P
2 ( ∂i )
2
s 2 dt
2
dt +
(4.7)
1 1 ∂ P
P 2 ( ∂i )
2
s 2 dt
(4.8)
Chapitre 6, p. 187, note de bas de page no 1
J.C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 9e éd., Upper Saddle River,
Pearson, 2015.
550
Traité de gestion de portefeuille
Chapitre 6, p. 201, l’équation de PBSG se lit comme suit :
pBSG = Xe
– rm T
N ( – d2 ) – Se(
) N –d
( 1)
b – rm T
Chapitre 7, p. 259, 3e paragraphe, le Ask s’établissait à 130,27 $.
Chapitre 8, p.309,
NF se lit comme suit :
NF =
5 000 000
×
100 000
6, 93 × 111, 5
5, 79 × 101, 075
× 1, 0 7 6
Chapitre 9, p. 341, l’équation (9.6) se lit comme suit :
floorlet = t × Le
– rk t ( k +1)
(rx N ( – d2 ) – Fk N ( – d1 )) (9.6)
Chapitre 9, p. 342, Bfixe se lit comme suit :
B fixe =
n
∑ ce – r t
i i
+ VNe
– rn tn
i =1
Chapitre 9, p. 342, note de bas de page no 8
J.C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 9e éd., Upper Saddle River,
Pearson, 2015.
Chapitre 9, p. 343, les équations de c et de p se lisent comme suit :

1 –


c=


1 –


p=

1

F
 1 + 
m
t×m
F
1

F
 1 + 
m
F
t×m




 e – rT  F ⋅ N ( d ) + r N ( d ) 
1
x
2 






 e – rT r N ( – d ) – FN ( – d ) 
2
1 
x

Errata et ajouts551
où d1 =
(
)
(
)
ln F / rx + s 2 / 2 T
s T
.
Chapitre 16, p. 553,
∑ 360
i =1
1
(1 + 4, 3% / 12)i
=

4, 3% 
1 – 1 +


12 
4 , 3 % / 12
L’équation (16.2) se lit comme suit :
– 360
= 1 237,18 $.
.
250 000 $

4, 3% 
1 – 1 +


12 
– 360
= 1 237,18 $ .
4 , 3 % / 12
Chapitre 16, p.553, la dernière égalité doit se lire comme suit : 250 000 – 341,35 = 249 658,65 $
Ajouts au chapitre 6, p. 209
7B. OPTIONS SUR OBLIGATIONS PORTANT COUPONS1
Les options d’achat et de vente européennes sur obligation portant coupons
peuvent être valorisées en utilisant le modèle de Black (1976). Il s’agit de modifier quelque peu la formule de Black-Scholes-Merton (1973) pour accommoder
le sous-jacent qui est maintenant le prix de l’obligation. Plus précisément,
on utilise le prix forward (prix à terme) de l’obligation en tenant compte du
­versement des coupons. On suppose également que la volatilité du prix forward
de l’obligation est constante, une hypothèse nous permettant d’avoir recours à
la formule de Black. Les formules du call et du put se présentent comme suit :
(
)
Put = P ( 0, T ) ( XN ( – d2 ) – FB N ( – d1 ))
Call = P ( 0, T ) FB N ( d1 ) – XN ( d2 )
(1)
(2)
1. On consultera le chapitre 29 de l’ouvrage de J.C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 9e éd.,
Upper Saddle River, Pearson, 2015.
552
Traité de gestion de portefeuille
où d1 =
F 
ln  B  + s 2B T 2
 X
, d2 = d1 – s B T , X est le prix d’exercice, sB,
s 2B T
la volatilité du prix forward de l’obligation2 et T la durée de vie de l’option.
FB est le prix à terme de l’obligation comportant des coupons et est défini
comme suit :
B – VPc
FB = o
(3)
P ( 0,T )
où B0 est le prix au comptant de l’obligation (en anglais : cash-price3 = quoted
price + accrued interest), VPc, représente la valeur présente des coupons et
P(0, T) = e –rT où r est un taux composé en continu. Notons également que
pour obtenir FB, nous avons déduit du prix de l’obligation la valeur actualisée
des coupons. Cette procédure est équivalente à celle presentée au chapitre 64
pour les options sur actions portant dividendes.
Considérons l’exemple suivant, où l’on cherche à valoriser une option
d’achat européenne d’échéance de 12 mois sur obligation portant coupons
d’échéance de 10 ans et de valeur nominale (VN) de 1000 $. Cela signifie que,
lorsque l’option arrivera à son échéance, l’obligation aura encore 9 ans de vie
active. Supposons que le taux du coupon semestriel de l’obligation est de 9 %,
les taux sans risque de 3, 9 et 12 mois sont respectivement de 7,0 %, 7,5 % et
8 % (la courbe des taux spot est de pente positive), la valeur de l’obligation
au comptant (cash) est de B0 = 950 $. On peut calculer la valeur présente des
coupons pour obtenir le prix coté de l’obligation comme suit :
VPc =
9%
2
1 000 e
–
3
= 45 $ e
= 86, 76 $
12
–
3
12
∗7 , 0 %
∗7 , 0 %
+
+ 45 $ e
9%
2
–
9
12
1 000 e
–
9
12
∗7 , 5 %
∗7 , 5%
En soustrayant VPc de B0, on obtient le prix coté, soit : B0 – VPc = 950$ –
86,76$ = 863,24$. Pour obtenir FB, il suffit de capitaliser ce prix comme suit :
FB = cash price × erT = 863,24 $e0,08 * 12/12 = 935,14 $
2. À noter que cette volatilité peut être approximée par sB = syDy 0 où y 0 est la valeur initiale du rendement
à terme (forward yield : yF), D, la durée modifiée, et sy, la volatilité du rendement à terme de l’obligation
(forward bond yield).
3. Se nomme aussi le dirty price en anglais. Le clean price exclut les intérêts courus.
4. Voir également l’annexe IV, p. 653.
Errata et ajouts553
Pour compléter notre calcul, on suppose que le prix d’exercice du call est de
990 $ et que la volatilité du prix forward de l’obligation est de 6 %. En insérant ces informations dans un chiffrier Excel, on obtient le résultat présenté
au tableau 1.
Tableau 1
G
H
I
J
K
L
2
VN
1 000 $
3
Taux coupon
9 %
4
C sem
45
5
r1 à t1 = 3/12
7,0 %
6
r2 à t2 = 9/12
7,5 %
7
VPC
86,76
8
B0
950
9
P(0, T)
0,9231
= EXP(–H12*H13)
10
FB
935,14
= (H8 – H7)/H9
11
X
990
12
r
0,08
13
T
1,00
14
sB
0,06
15
d1
–0,9202
= (LN(H10/H11) + (H14^2*H13/2))/(H14*SQRT(H13))
16
d2
–0,9802
= H15 – H14*SQRT(H13)
17
N(d1)
0,1787
= NORMSDIST(H15)
18
N(d2)
0,1635
= NORMSDIST(H16)
M
= H3/2*H2
= H4*EXP(–H5*3/12) + H4*EXP(–H6*9/12)
= 12/12
19
20
callobl = 4,88 $
Le prix du call sur obligation portant coupon est donc de 4,88$.
7B.1. TRAITEMENT DES INTÉRÊTS COURUS
Notons finalement que si le prix d’exercice est défini comme étant le montant
cash qui sera échangé pour l’obligation lors de l’exercice de l’option, alors X
devrait être égal à ce prix d’exercice. Mais si, comme c’est plus souvent le cas,
le prix d’exercice est le clean price lorsque l’option est exercée, alors X devrait
554
Traité de gestion de portefeuille
être égal au prix d’exercice plus les intérêts courus. Par exemple, dans le cas
où il y aurait un seul coupon au 9e mois et que l’option échoirait le 10e mois,
alors il y aurait 1 mois d’intérêt couru à prendre en considération5.
Ajout au chapitre 7, ajouter le contrat OBX. Il s’agit d’une option sur BAX de 8 mois (c’est-à-dire
p. 257, section 3.1, les huit [8] mois les plus rapprochés du cycle trimestriel mars, juin, septembre
et décembre).
Ajout d’une note de bas de page au chapitre 13, p. 479,
après la phrase « Puis nous isolons la tendance du logarithme
du PIB à l’aide du filtre d’Hodrick-Prescott »
Le filtre d’Hodrick-Prescott (H-P) considère les éléments suivants. Considérons
une série macroéconomique yt que l’on peut caractériser par la somme d’une
composante cyclique ytc et d’une composante de croissance ytg, soit yt= ytc+ ytg.
Supposons que l est un paramètre qui reflète la variance relative de la composante de croissance par rapport à la composante cyclique. En posant une
valeur pour ce paramètre, le filtrage H-P consiste à choisir la composante de
croissance ytg qui minimise la fonction de perte (« loss function ») suivante :
2
2
g
T
c
T  g
g
g
 . Ce problème d’optimiy
+
l
y
–
y
–
y
–
y
t =1 t
t =1 
t
t
t –1 
 t +1

sation cherche donc à trouver la composante de croissance qui soit le près
possible de la série observée, de façon à obtenir la plus faible composante
cyclique. Les valeurs habituelles pour l sont les suivantes. Pour des données
trimestrielles, on pose l = 1 600 alors que, pour des données à fréquence
mensuelle, l = 14 440. Si la fréquence d’observation des données est annuelle,
alors l = 100 (voir EViews). Notons finalement les cas extrêmes. Lorsque
l = 0, cela signifie que la composante de croissance représente entièrement la
série observée ; par contre, quand l → ∞, cela signifie que la composante de
croissance s’approche d’une tendance linéaire (« linear trend »)6.
∑
( )
∑
(
) (
)
5. Pour plus de détails, voir J.C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 9e éd., Upper Saddle River,
Pearson, 2015.
6. Pour plus d’informations à ce sujet, on consultera le chapitre 1 de Frontiers of Business Cycle Research,
sous la direction de T.F. Cooley, Princeton University Press, Princeton, 1995, p.1-38, rédigé par E. Prescott
et T.F. Cooley, « Economic growth and business cycles ».