Annexe 2

Michèle Hébert, étudiante au BSc-BEd1,
Université de Moncton (Nouveau-Brunswick)
[email protected]
Mylène Savoie, étudiante au BSc-BEd
Université de Moncton (Nouveau-Brunswick)
[email protected]
Concepts à l’étude
Le programme d’études de mathématiques
10e année – Parcours A du Ministère de
l’Éducation et du Développement de la
petite enfance du Nouveau-Brunswick
présente le concept de budget comme
étant la capacité des élèves à équilibrer
des sources de revenus et de dépenses.
Ce concept inclut l’habileté à travailler
avec les rapports et proportions, le calcul
de pourcentages, ainsi que l’utilisation de
formules algébriques pour représenter la
relation entre des variables dépendantes
et indépendantes. C’est donc dans cette
optique qu’ont d’abord été analysées les
différentes erreurs commises ainsi que
les difficultés rencontrées par des élèves
d’une classe de 10e année (parcours A)
par rapport à la notion de budget. Pour ce
faire, deux questionnaires ont été distribués à un groupe déterminé. Par la suite,
à partir des réponses de ces élèves aux
questionnaires et d’une analyse apriori
quant à leurs possibles difficultés,
un scénario pédagogique a été planifié
et expérimenté avec ces mêmes élèves.
1
Un outil d’évaluation formative a également été proposé, afin de conserver des
traces de leur démarche et de leur raisonnement. Finalement, le travail des élèves a
été analysé, pour ensuite proposer des
changements à apporter au scénario.
À la recherche d’activités
Avant d’entamer la planification d’un
scénario d’apprentissage, une discussion
avec l’enseignant de la classe ciblée a
permis de déterminer des concepts qu’il
serait pertinent d’aborder lors d’une visite
en salle de classe. Le concept de budget
figurait parmi ceux-ci. C’est donc à la suite
de l’analyse de questionnaires portant sur
l’intérêt simple et composé, les pourcentages, les rapports et proportions, la
résolution d’équations algébriques, les
salaires, les retenues, les impôts et le
vocabulaire, en voyant que certaines
difficultés en lien avec la notion de budget
étaient présentes, que le choix des activités
à réaliser en classe s’est éclairci. Lors
de l’élaboration d’un budget, les élèves
doivent, entre autres, être à l’aise avec le
calcul de ratios, de proportions et de pourcentages. Ils doivent également maîtriser
certaines notions algébriques de base
comme la résolution d’équations linéaires.
Puisque tous ces éléments n’étaient pas
maîtrisés par plusieurs élèves de la classe,
une leçon sur l’élaboration d’un budget
semblait de mise. Par ailleurs, la planification de cette leçon a été inspirée par
quelques difficultés ciblées par des
auteurs, dont les propos semblaient
expliquer certaines erreurs des élèves au
sein du questionnaire.
Tout d’abord, Guiler (1946) soulève que
les élèves effectuent souvent des erreurs
lorsqu’ils doivent trouver un nombre en
calculant la valeur du pourcentage d’un
autre nombre. Cela vient souvent du fait
accalauréat en sciences – Baccalauréat en éducation (programme combiné dans lequel les étudiants complètent un baccalauréat
B
en éducation avec deux concentrations parmi les matières suivantes : biologie, chimie, informatique, mathématique et physique)
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que les élèves apprennent des formules
par cœur et ne comprennent pas réellement la nature du problème posé. Ils ont
de la difficulté à cerner ce qui est demandé
et à trouver la façon de le faire. De plus,
beaucoup d’élèves ne comprennent pas la
relation qui existe entre les pourcentages
et le nombre 100. Selon Baratta et al.
(2010), une autre connaissance obstacle
très fréquente est celle de la croyance que
le produit de deux nombres est toujours
plus grand que les nombres multipliés,
alors que le quotient est plus petit, même
si l’on fait appel à des nombresdont la
valeur se situe entre 0 et 1. Par conséquent, si les élèves ont cette perception,
ils risquent de ne pas obtenir les bons
résultats.
Une autre difficulté pour les élèves
concerne le vocabulaire, plus précisément
les mots « hebdomadaire », « mensuel »
et « annuel ». Afin de pouvoir bien
résoudre des problèmes associés à
l’élaboration d’un budget, les élèves
doivent être tout à fait à l’aise avec ces
termes et savoir les distinguer aisément
(Seifi et al., 2012 et Vincent, 2009).
Par ailleurs, Russel et al. (2009), soulignent
que les élèves qui ne comprennent pas la
véritable signification d’une variable ou d’un
inconnu auront de la difficulté à exprimer
tout problème écrit de façon mathématique, et par conséquent, à le résoudre.
De plus, si certains élèves associent le
signe d’égalité à une opération à effectuer,
plutôt qu’à une correspondance entre les
termes de chaque côté d’une équation,
ils éprouveront de la difficulté à faire les
bonnes opérations sur les expressions
algébriques développées, de façon à
trouver la valeur d’un inconnu.
Un autre obstacle pouvant survenir
concerne la résolution de problèmes.
Lorsque vient le temps de résoudre un
problème nécessitant plusieurs étapes et
habiletés, il est fort probable que les élèves
se perdent en chemin. En effet, l’étude de
Seifi et al. (2012) mentionne que 31 %
des élèves ne sont pas capables d’élaborer
un plan pour résoudre un problème. Il est
également possible que les élèves ne
sachent tout simplement pas par
où commencer.
Les difficultés mentionnées ci-haut
justifient donc le choix d’un scénario
d’apprentissage basé sur le développement d’habiletés en lien avec les calculs
des pourcentages et des rapports et
proportions. Ainsi est venue l’idée de
concevoir une situation problème axée sur
l’élaboration d’un budget réaliste pour les
élèves, c’est-à-dire visant l’achat et
l’utilisation d’un cellulaire pendant deux
ans, en ayant comme seule source de
revenus un emploi étudiant. L’objectif
était donc de corriger certaines lacunes
au niveau du travail avec les pourcentages
lors de l’élaboration d’un budget, et ce,
à travers un contexte auquel les élèves
peuvent facilement s’identifier dans leur
quotidien.
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À l’action!
De façon à travailler sur les erreurs et
difficultés mentionnées ci-haut, une leçon
portant sur l’élaboration d’un budget pour
l’achat et l’utilisation d’un cellulaire, à partir
d’un salaire fictif, mais réaliste, a été animée2.
Une feuille de travail a été remise à tous
les élèves, afin de consigner chacune
des étapes de la tâche demandée (voir
annexe 1). Pour commencer le cours,
une discussion concernant les types de
dépenses des élèves a eu lieu à l’aide de
l’utilisation du logiciel PollEverywhere.
Cette amorce visait à diagnostiquer les
conceptions initiales des élèves à propos
des éléments à respecter lors de l’élaboration d’un budget. Chacun des groupes de
deux ou trois élèves, formés au hasard, a
par la suite reçu une somme d’argent et un
pourcentage, afin de calculer son revenu
hebdomadaire net.
Les élèves ont ensuite partagé leur
démarche en grand groupe. D’ailleurs,
un des élèves est venu démontrer son
raisonnement au tableau et une des étudiantes s’est servie de l’occasion pour
proposer deux démarches différentes pour
résoudre le problème. Ici, l’objectif était de
comprendre la relation existant entre les
nombres rationnels et les pourcentages.
Lors de ces quelques minutes, il a été possible
de constater que les élèves éprouvaient
beaucoup plus de difficulté avec la résolution d’une équation algébrique, alors qu’ils
semblaient travailler
avec les ratios avec
bien plus de facilité.
2
Exemple :
**J’ai pigé le pourcentage 13,7 % et la somme d’argent 11,11 $.
Calcul du revenu hebdomadaire net :
Partie du revenu :
Revenu total :

11,11 $
13,70 $
x
100,00 $
, x = 81,09 $ : M
on revenu hebdomadaire net
est de 81,09 $.
Source de difficultés :
0,137 x = 11,11
x=
11,11
0,137
, x = 81,09 $ : Mon revenu hebdomadaire net est de 81,09 $.
Par la suite, une discussion a eu lieu sur la
détermination d’un pourcentage du revenu
hebdomadaire net raisonnable à accorder
au paiement d’un cellulaire, soit 15 %.
Cette discussion se voulait une
occasion d’amener les
élèves à faire
n merci sincère s’adresse à M. Bruno Diotte de l’école Mathieu-Martin de Dieppe (Nouveau-Brunswick)
U
pour avoir accepté de recevoir des étudiantes dans l’une de ses classes, afin d’animer cette leçon.
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des estimations réalistes en lien avec des
activités quotidiennes. Pour enchaîner,
les élèves ont dû élaborer un véritable
budget permettant de payer un cellulaire
qu’ils avaient eux-mêmes choisi, à l’aide
du revenu associé à un emploi fictif, et ce,
tout en respectant certaines contraintes
(voir annexe 2). Faute de temps, seule
la première contrainte de l’annexe 2
a été prise en considération par les élèves.
Ces derniers se sont donc par la suite mis
à la tâche. L’activité visait à permettre aux
élèves de démontrer leur compréhension
des diverses composantes liées à la
rémunération, au revenu des particuliers
et aux achats de biens et de services
(MEDPE, 2012). Tout au long
de la période de travail, les étudiantes ont
circulé, répondu aux questions, guidé les
élèves et validé leur travail. De plus,
les groupes les plus rapides et ceux
qui maîtrisaient bien les notions en
jeu étaient encouragés à prendre en
considération toutes les contraintes
de l’annexe 2.
Ainsi, cette forme de différenciation a permis à certains
élèves d’approfondir les
notions enseignées, sans que
les apprentissages des autres
élèves ne soient compromis.
Une fois leur budget établi, les membres
de chaque équipe devaient naviguer sur
Internet, afin de trouver un forfait de
cellulaire adéquat en fonction de leurs
besoins et de leurs contraintes monétaires. Suite à ce travail d’équipe, chaque
groupe a dévoilé le forfait de cellulaire
choisi, en expliquant la raison de son choix
à partir du budget établi. Cette étape de
la leçon rend l’ensemble de la situation
proposée signifiante pour les apprenants,
puisqu’elle donne un sens aux apprentissages réalisés et est parfaitement
contextualisée selon le vécu et la réalité
des jeunes de 10e année.
Un questionnement quant à la vraisemblance de la situation dans la vie des élèves
a suivi, accompagné d’une discussion sur
l’importance de l’établissement d’un budget, tout en considérant certaines de ses
limites. De sorte à faire un retour sur l’ensemble des connaissances mobilisées lors
de la leçon, les élèves ont finalement inscrit sur leur feuille de travail les éléments
clés en lien avec l’élaboration d’un budget,
ce qu’ils avaient trouvé facile et ce qu’ils
avaient trouvé difficile. Ils ont ensuite partagé leurs réponses avec le groupe classe.
Ce retour est pertinent dans la mesure
où des clarifications quant aux concepts
étudiés ont pu être apportées et où une
synthèse des apprentissages réalisés a pu
se produire chez les apprenants.
Que s’est-il passé?
Dans l’analyse a priori, il avait été mentionné que les élèves pourraient avoir de la
difficulté à voir la relation qui existe entre
un pourcentage et le nombre 100. Les
solutions émises par les élèves ont pourtant démontré le contraire. Les élèves ont
très bien compris la notion de proportions.
Cependant, ils ont éprouvé beaucoup plus
de difficulté en ce qui concerne l’algèbre.
En effet, l’analyse a priori soulignait que
les élèves pourraient avoir de la difficulté à
comprendre la signification d’une variable
et à exprimer le problème de façon
mathématique. C’est en fin de compte ce
qui s’est produit. Les élèves étaient confus
et ne saisissaient pas bien la démarche
algébrique. Ils avaient de la difficulté à
saisir ce que représentait la variable et
pourquoi on utilisait cette méthode au lieu
de la multiplication croisée, qui pour eux,
était plus simple.
En ce qui concerne le vocabulaire, l’analyse
a priori soulevait que l’élève devait avoir
une bonne connaissance du vocabulaire
mathématique pour pouvoir bien réussir le problème. Dans ce cas-ci, il devait
connaitre la signification des mots « hebdomadaire », « mensuel » et « annuel ».
Dans les solutions des élèves, on remarque
que ces derniers maîtrisaient bien le vocabulaire et que par conséquent, cela
n’a pas été un obstacle à la résolution du
problème. Bien connaitre la signification du
vocabulaire leur a donc permis de cheminer sans trop de difficultés.
En ce qui concerne la résolution de
problèmes, certaines difficultés ont été
observées sur quelques copies, où les
élèves ont omis de prendre un pourcentage de leur salaire mensuel total, tel que
convenu. On peut dire qu’il y avait, en
effet, beaucoup d’étapes à la résolution du
problème posé et que certains élèves ont
tout simplement pu omettre une étape ou
devenir confus devant ce qu’ils devaient
faire. Il se peut qu’ils aient compris que l’on
voulait un salaire mensuel et non qu’on
voulait en prendre seulement une partie.
Conseils et suggestions
Bref, la séquence didactique proposée
ci-haut démontre clairement l’importance
de la pratique réflexive en enseignement.
C’est en se penchant sur les difficultés
des élèves, les points forts d’une leçon,
ainsi que sur les défis à améliorer, que l’on
réalise pleinement la valeur des actions
posées en salle de classe. En effet, c’est à
travers le questionnement et la réflexion
que tout enseignant arrivera à mieux
guider et accompagner ses élèves tout au
long de leurs apprentissages. Par ailleurs,
la mise en place de problèmes signifiants
faisant appel au vécu des élèves constitue une pratique gagnante permettant
des apprentissages plus en profondeur et
suscitant un plus haut degré de motivation
chez ces derniers.
En analysant le déroulement des activités
et les travaux des élèves à la suite de cette
expérimentation, on a pu conclure que
la notion de pourcentages semblait être
assez bien maîtrisée. En effet, la majorité
des élèves n’a éprouvé aucune difficulté à
calculer le revenu hebdomadaire net à partir du pourcentage reçu. Toutefois, malgré
les résultats positifs pouvant être observés sur l’outil d’évaluation utilisé, certains
groupes ont tout de même éprouvé
quelques difficultés lorsqu’ils devaient, par
exemple, trouver x en sachant que 15 %
de x représente 15,68 $. Il faut toutefois
mentionner qu’après avoir reçu les explications fournies à l’ensemble de la classe, les
élèves ont été très habiles lors des calculs
subséquents, alors qu’ils devaient calculer
leur revenu mensuel consacré à l’achat et à
l’utilisation d’un cellulaire, et ce, en déterminant 15 % de leur salaire mensuel.
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Annexe 1
Je paye mon nouveau cellulaire!!!
Tâche : À l’aide du pourcentage et du montant reçu, calculez votre revenu hebdomadaire net. Par la suite, à l’aide des
informations qui vous seront fournies et à partir des discussions de classe, effectuez tous les calculs que vous jugez nécessaires
pour déterminer quel montant vous pouvez consacrer à l’achat et à l’utilisation d’un cellulaire, en fonction de votre salaire. En
terminant, utilisez l’information que vous avez trouvée pour choisir un forfait convenant à vos besoins et à votre budget.
Consigne : Au fur et à mesure que vous progressez dans votre travail, indiquez tous vos calculs et votre raisonnement dans les
cases appropriées, sur cette feuille.
**J’ai pigé le pourcentage __________ et le montant __________.
Calcul du revenu hebdomadaire net :
Calculs :
Forfait choisi et ses caractéristiques :
Ce que j’ai trouvé faci le :
Ce que j’ai trouvé difficile :
Selon ce que tu as retenu du cours aujourd’hui, quels sont les trois éléments
les plus importants à respecter dans l’élaboration d’un budget?
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Annexe
Annexe 2
2
Liste de vérification pour la réalisation du travail demandé
de vérification
pour
la réalisation
travaillesdemandé
Tâche : En équipe de trois Liste
ou quatre,
lisez chacun des
énoncés
suivants etdu
effectuez
calculs et le travail nécessaires pour
Tâche : En le
équipe
ou quatre,
lisez chacun
des
énoncés
suivants
et effectuez
les calculs
et letoutes
travailles
nécessaires
pour
déterminer
forfaitde
detrois
cellulaire
qui convient
le mieux
à vos
besoins
et à votre
budget (salaire).
Laissez
traces de votre
déterminer
le forfait
de« Je
cellulaire
le mieux
à vos
besoins
démarche sur
la feuille
paye qui
monconvient
cellulaire »
prévue
à cet
effet. et à votre budget (salaire). Laissez toutes les traces de votre
démarche sur la feuille « Je paye mon cellulaire » prévue à cet effet.
Consigne : Au fur et à mesure que vous terminez le travail demandé, inscrivez un crochet dans la case à gauche de l’énoncé.
Consigne : Au fur et à mesure que vous terminez le travail demandé, inscrivez un crochet dans la case à gauche de l’énoncé.
Travail à faire et contraintes à respecter
Travail à faire et contraintes à respecter
Durant l’été (chaque année), j’ai triplé mon revenu net hebdomadaire pendant 10 semaines.
Durant l’été (chaque année), j’ai triplé mon revenu net hebdomadaire pendant 10 semaines.
J’ai prévu des dépenses inattendues pour trois semaines durant chaque année où je devrai payer mon cellulaire,
J’aiqui
prévu
des dépenses
inattendues
pour trois
semaines
durant
chaque
année
où je devrai payer mon cellulaire,
ce
signifie
que je ne pourrai
pas mettre
d’argent
de côté
durant
ces trois
semaines.
ce qui signifie que je ne pourrai pas mettre d’argent de côté durant ces trois semaines.
Tous les ans, je ne travaillerai pas pendant une semaine complète durant les vacances de Noël
T
ous
les ans,
je ne
travaillerai
pendant
semaine complète durant les vacances de Noël
(je
n’aurai
donc
aucun
salaire pas
durant
cette une
semaine).
(je n’aurai donc aucun salaire durant cette semaine).
J’ai respecté le budget qui m’est alloué chaque semaine grâce à mon salaire et aux contraintes
J’ai respecté
le budget qui m’est alloué chaque semaine grâce à mon salaire et aux contraintes
qui
me sont imposées.
qui me sont imposées.
J’ai comparé les prix de différentes compagnies pour trouver le meilleur forfait répondant à mes besoins.
J’ai comparé les prix de différentes compagnies pour trouver le meilleur forfait répondant à mes besoins.
Mon cellulaire est payable en deux ans (j’ai un contrat d’un maximum de 2 ans).
Mon cellulaire est payable en deux ans (j’ai un contrat d’un maximum de 2 ans).
J’ai laissé les traces de mon travail sur la feuille « Je paye mon cellulaire », prévue à cet effet.
J’ai laissé les traces de mon travail sur la feuille « Je paye mon cellulaire », prévue à cet effet.
Références
Baratta, W., Price, B., Stacey, K., Steinle, V.etGvozdenko, E. (juillet 2010). Percentages: The Effect of Problem Structure, Number
Complexity and Calculation Format. Mathematics Education Research Group of Australasia, p. 61-68.
Guiler, W. S. (juin 1946). Difficulties in Percentage Encountered by Ninth-Grade Pupils. The Elementary School Journal, p. 563-573.
Ministère de l’Éducation et du Développement de la petite enfance du Nouveau-Brunswick [MEDPENB]. (2012).
Programme d’études : Mathématiques 30231A (10e année)
– Parcours A. Nouveau-Brunswick : Gouvernement du Nouveau-Brunswick.
Russell, M. O. (2009). Diagnosing Students’ Misconceptions in Algebra: Results from an Experimental Pilot Study.
Behavior Research Methods, 41 (2), p. 414-424.
Seifi, M., Haghverdi, M. etAzizmohamadi, F. Recognition of Students’ Difficulties in Solving Mathematical Word Problems from the
Viewpoint of the Teachers.Journal of basic and applied scientific research, 2(3), p. 2923-2928.
Vincent, J. (2009). Linguistic Factors Affecting Correct Responses to Word Problems in Mathematics.
Thèse de doctoratinédite.Walden University.
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