MEF Méthode des Eléments Finis

Transcription

1
2
GM / L3 - ME63
Objectifs
UFR -S&T, Université d’Evry – Val d’Essonne
Apprendre
la méthode des éléments finis (MEF)
Maîtriser
les concepts de base de la modélisation
numérique
MEF
Méthode des Eléments Finis
Être
capable de résoudre des problèmes mécaniques
et physiques
Apprendre
Zhi-Qiang FENG (CM, TP)
Christine RENAUD (TD)
Gregory TURBELIN (TP)
http://lmee.univ-evry.fr/~feng
http://lmee.univ-evry.fr /~renaud
http://lmee.univ-evry.fr/~turbelin
Enseignement en calcul des
structures à l’UFR-ST
à utiliser le code industriel ANSYS
Admissibilité : 3/5 examen + 2/5 TP ≥ 10/20
3
4
Contenu de l’enseignement (ME63)
introduction
L3
Méthode des éléments finis
méthodes
matricielles pour résoudre les problèmes
discrets : système ressorts, réseaux électriques,
réseaux hydrauliques
étapes logiques du calcul par Éléments Finis (EF)
principe d’assemblage des matrices élémentaires
introduction des conditions aux limites
étapes pratiques du calcul par EF
problèmes d'équilibre ou de valeurs aux limites
approximation et discrétisation
M1
Calcul des structures
Optimisation des structures
Poutre, plaque et coque
M2
Codes de calcul
Mécanique non linéaire
Dynamique des structures
5
Contenu de l’enseignement (suite)
intégrale
de résidus pondérés (Galerkin, méthode de
collocation …)
éléments finis 1D, 2D et 3D
systèmes de coordonnées
éléments de référence et fonctions de forme
transformation des dérivations et des intégrales
intégration numérique (méthode de Gauss)
équation aux dérivées partielles décrivant les
phénomènes physiques rencontré par l’ingénieur
6
Contenu de l’enseignement (suite)
formulation
passage
méthode
conditions
du continu au discret
aux limites portant sur la dérivée
application
en thermique (transfert de chaleur par
conduction et convection)
1
7
Méthode générale d'analyse numérique
Système physique
Formulation des
équations
8
Connaissances requises et à acquérir
L'analyse
numérique fait appel aux connaissances
dans les trois domaines suivants :
Lois de la physique
Sciences de l’ingénieur
Sciences
Équations aux dérivées partielles
de l'ingénieur pour établir les équations
Méthodes
Transformation des
équations
Formulation intégrale
Méthode des
résidus pondérés
numériques pour transformer ces équations
Programmation
et informatique pour exécuter
efficacement les calculs sur l'ordinateur.
Système d’équations algébriques
Résolution
numérique
Méthode de Gauss
Méthode de Newton
Solution approchée (numérique)
9
10
Bibliographies
Livres
The
Une
Bibliographies (suite)
:
Revues
Finite Element Method
O.C. Zienkiewicz and R.L. Taylor
Int.
:
J. for Numerical Methods in Engineering
Computers
présentation de la méthode des éléments finis
G. Dhatt et G. Touzot
Revue
& Structures
Européenne de Mécanique Numérique
Modélisation
des structures par éléments finis
J.L. Batoz et G. Dhatt
11
12
Codes de calcul
NASTRAN,
ANSYS, ABAQUS, ADINA, SAP,
MARC, I-DEAS, DYNA3D, PAM/System,
RADIOSS, SAMCEF, …
MEF/MOSAIC,
SYSTUS, CESA, CASTEM,
ASTOR, ASTER, ZEBULON, MODULEF, …
à
l’UFR-ST : ANSYS, COSMOS, I-DEAS,
CASTEM, FER/Solid, FER/Contact, ...
Domaines d'application de la MEF
analyse
linéaire (statique et dynamique)
analyse
non linéaire (grands déplacements, grandes
déformations, contact et frottement, flambage, ...)
mise
en forme des matériaux
thermique
(en régime permanent et transitoire, ...)
mécanique
des fluides
électromagnétisme
dynamique
rapide (choc, impact, crash)
optimisation
des structures
2
13
14
Secteurs d'utilisation de la MEF
Exemple: butée de choc
génie
mécanique
génie civile
transport
aéronautique
espace
nucléaire
énergétique
militaire
....
• Grandes déformations
• Matériau: caoutchouc
• Mooney-Rivlin: hyperélasticité
incompressible
• Auto-contact multi-zones
Problèmes d'équilibre
(Système discret)
15
Exemple: Projection à plasma
Â
Â
Â
16
Pour
un système discret (système de ressorts,
réseaux électriques, réseaux hydrauliques,...), les
équations de comportement peuvent en général
s'écrire sous la forme matricielle suivante :
DEMO
Â
DEMO
[K] {U} = {F}
[K]
{U}
Â
{F}
- matrice caractérisant le système
- variables inconnues du problème
DDL – Degré De Liberté
DOF – Degree Of Freedom
- sollicitations connues (second membre)
17
18
Signification (1D)
Principes de la MEF
Problème
K
U
F
Ressort
raideur k
déplacement
force
Barre T/C
rigidité EA/L
déplacement
force
Thermique
conductivité
température
flux de
Electricité
αA/L
résistivité 1/R
potentiel
chaleur
intensité
perméabilité
αA/L
charge
hydraulique
Ecoulement
La
MEF est basée sur une idée
simple : subdiviser (discrétiser)
une forme complexe en un grand
nombre de sous-domaines
élémentaires de forme géométrique
simple (éléments finis)
interconnectés en des points
appelés nœuds.
débit
3
Étapes logiques du calcul par
éléments finis
19
Principes de la MEF (suite)

Nous considérons le comportement mécanique de chaque
élément séparément, puis nous assemblons ces éléments
de telle façon que l’équilibre des forces et la compatibilité
des déplacements soient satisfaits en chaque nœud.
La MEF utilise des approximations simples des variables
inconnues dans chaque élément pour transformer les
équations aux dérivées partielles en équations algébriques.
Les nœuds et les éléments n’ont pas forcement de
signification physique particulière, mais sont basés sur des
considérations de précision de l’approximation.
Assemblage
{fe} ==> [K], {F}
{ke},
[K ]
addition
0
[k ]
e
0
0⎤
⎥
⎥
0⎥
⎥
⎥
0 ⎥⎦
3.
4.
5.
6.
Définir les nœuds et les éléments (Créer le maillage)
Pour chaque élément, établir la matrice de rigidité élémentaire [ke]
reliant les degrés de libertés (déplacements) nodaux {ue} et les forces
{fe} appliquées aux nœuds : [ke] {ue} = {fe}
Assembler les matrices et les vecteurs élémentaires en un système
global [K] {U} = {F} de manière à satisfaire les conditions
d’équilibre aux nœuds
Modifier le système global en tenant compte des conditions aux
limites
Résoudre le système [K] {U} = {F} et obtenir les déplacements {U}
aux nœuds
Calculer les gradients (flux de chaleur, déformations et contraintes)
dans les éléments et les réactions aux nœuds sur lesquels les
conditions aux limites sont imposées.
22
Introduction des conditions aux limites
de la matrice étendue [Ke] et du vecteur
étendu {Fe} de chaque élément
⎡0
⎢
⎢
= ⎢0
⎢
⎢
⎢⎣ 0
2.
21
construction
e
1.
⎧0 ⎫
⎪" ⎪
⎪
⎪
e
=
F
{ } ⎪⎨{ f e }⎪⎬
⎪
⎪
⎪" ⎪
⎪⎩0 ⎪⎭
méthode
du terme diagonal dominant
méthode
du terme unité sur la diagonal
méthode
de suppression des équations
{F } = {F 1 } + {F 2 } + ... =
∑ [K e ]
e
∑ {F }
e
e
k2
k1
des matrices et des vecteurs étendus
[K ] = ⎡⎣ K 1 ⎤⎦ + ⎡⎣ K 2 ⎤⎦ + ... =
20
k3
1
4
2
3
f1
f4
f2
f3
Exemple
CL : u1=u1
Exemple
23
24
Etapes pratiques du calcul par EF
Organisation générale d’un code de calcul
Pré-processeur
Solveur
Pré-processeur

Choisir le type d’éléments

Entrer les propriétés géométriques

Entrer les paramètres physiques

Créer le modèle géométrique

Créer le maillage : définir les nœuds et les éléments

Appliquer les sollicitations

Imposer les conditions aux limites
Post-processeur
4
25
26
Solveur
Choisir
Post-processeur
le type d’analyse (statique, dynamique,…)
Construire
la matrice et le vecteur élémentaire [ke], {fe}
Assembler
[ke] et {fe} dans [K] et {F}
Prendre
en compte les conditions aux limites
Résoudre
Calculer
σ, ε…)
Présenter
les résultats de façon intelligible et synthétique :
sous
forme numérique
sous
forme graphique
Effectuer
le système d’équations [K] {U} = {F}
les variations additionnelles (gradients, réactions,
des fonctions complémentaires : combinaisons,
interprétations, interpolations, animation, …
Demo ANSYS
Problèmes d'équilibre
(système continu)
27
Pour
un système continu, prenons comme exemple
le problème thermique :
V
Q
Sf
h, Tf
∂ 2T
+K
∂ 2T
+ Q = 0 dans V
∂x 2
∂y 2
∂T
= h (T − Tf )
K
sur Sf
∂n
K
T=?
28
Système continu
D'une
manière générale, le comportement d'un
système continu est décrit par les équations aux
dérivées partielles (EDP):
S
L(u) + fv = 0 sur un domaine V
C(u) = fs
L, C- opérateurs différentiels caractérisant
le système,
Comment ???
u
[K] {U} = {F}
Construction d’une fonction approchée
(Étape 1)
29
modèle mathématique d'un système physique fait
intervenir plusieurs variables ou fonctions, dites
exactes uex(x) : températures, déplacements,
potentiels, vitesse, etc. Celles-ci sont représentées
par des fonctions "approchées" u(x) telles que la
différence :
e(x) = u(x) - uex(x)
soit "petite" (de l'ordre de grandeur de la précision
désirée).
- fonctions inconnues,
fv, fs - fonctions connues appelées sollicitations.
Approximation
Un
V
sur la frontière S de V
30
Choisir
un ensemble fini de fonctions dépendant de
n paramètres ai : u(x, a1, a2, ..., an) = u(x)
u(x) = P1(x) a1 + P2 (x) a2 + ... + Pn(x) an = {a}
Les
fonctions sont souvent choisies de manière à
être faciles à évaluer, à intégrer ou dériver
explicitement.
Polynômes:
fonctions
u(x) = a1 + a2x + ... + anxn-1
trigonométriques:
u(x) = a1sin(πx) + a2sin(2πx) + ... + ansin(nπx)
5
Construction d’une fonction approchée
(Étape 2)
31
32
Approximation nodale
Déterminer
les paramètres a1, a2, ..., an en faisant
coïncider uex(x) et u(x) en n points x1, x2, ..., xn,
c'est-à-dire en annulant e(x) en ces n points.

L'approximation peut fournir

En général, les paramètres a1, a2, ..., an n'ont pas de sens
physique. Cependant nous pouvons choisir comme
paramètres ai les valeurs de la fonction uex(x) en n points
appelés NOEUDS de coordonnées x1, x2, ..., xn. Imposons
de plus que la fonction approchée u(x) coïncide avec la
fonction exacte uex(x) en ces nœuds.
u(x1) = uex( x1) = u1
une solution approchée en tout point x d'une fonction
difficile à évaluer ou connue seulement en certains
points.
u(x2) = uex( x2) = u2
......
une
solution approchée d'une équation différentielle ou
aux dérivées partielles.
u(xn) = uex( xn) = un
Exemple
33
34

La fonction approchée (approximation globale)

u(x) = P1(x) a1 + P2(x) a2 + ... + Pn(x) an = <P(x)> {a}
s'écrit alors (approximation nodale) :
1) comme u(xi) = ui, les fonctions Ni vérifient :
u(x) = N1(x) u1 + N2(x) u2 + ... + Nn(x) un = <N(x)>{ue}

L'approximation nodale possède deux propriétés
fondamentales :
Ni(xj) = δij
Définitions :
{a}
- paramètres généraux de l'approximation
- variables nodales de l'approximation
{ue}
<P(x)> - fonctions de base de l'approximation
<N(x)> - fonctions d'interpolation (fonctions de forme)
2) l'erreur d'approximation s'annule en tous les
nœuds xi
e(xi) = 0
Exemple
35
Discrétisation
La
méthode d'approximation nodale d'une fonction
d'une variable s'étend directement à l'approximation
de plusieurs fonctions de plusieurs variables.
EXEMPLE
: déplacements d'une structure 3D
u(x,y,z) = <N(x,y,z)> {un}
v(x,y,z) = <N(x,y,z)> {vn}
w(x,y,z) = <N(x,y,z)> {wn}
(symbole de Kronecker)
36
Approximation nodale par sous-domaines

La construction d'une fonction approchée u(x) est difficile lorsque le
nombre de nœuds et donc de paramètres inconnus ui devient
important. Le problème se complique encore si le domaine V a une
forme complexe et si la fonction u(x) doit satisfaire des conditions
aux limites sur la frontière de V.

La méthode d'approximation nodale par sous-domaines simplifie la
construction de u(x). Elle consiste à :
identifier
un ensemble de sous-domaines Ve du domaine V.
définir
une fonction approchée ue(x) différente sur chaque sousdomaine par la méthode d'approximation nodale. Chaque fonction
ue(x) peut dépendre des variables nodales d'autres sous-domaines
comme c'est le cas dans l'approximation de type "Spline".
6
Discrétisation
37
Approximation nodale par éléments finis

38
Discrétisation
Règles de partition du domaine en éléments
La méthode d'approximation nodale par éléments finis est
une méthode particulière d'approximation nodale par sousdomaines qui présente les particularités suivantes :

Deux éléments distincts ne peuvent avoir en commun que
des nœuds situés sur leur frontières, si elle existe.

L'ensemble de tous les éléments doit constituer un domaine
aussi proche que possible du domaine donné.
Le recouvrement de deux éléments et les trous entre
éléments sont inadmissibles.
L'approximation
nodale sur chaque sous-domaine Ve ne fait
intervenir que les variables nodales attachées à des nœuds situés
sur Ve et sur sa frontière.
Les
fonctions approchées ue(x) sur chaque sous-domaine Ve sont
construites de manière à être continues sur Ve et elles satisfont des
conditions de continuité entre les différents sous-domaines. Les
sous-domaines Ve sont appelés des ELEMENTS connectés par
des NOEUDS.
Discrétisation
1D

diminuant la taille des éléments
en
utilisant des éléments à frontières plus complexes.
40
Formes d'éléments classiques
Lorsque la frontière du domaine est constituée par des
courbes ou des surfaces plus complexes que celles qui
définissent les frontières des éléments, une erreur est
inévitable. Cette erreur est appelée "erreur de discrétisation
géométrique". Elle peut être réduite
en
3D
Discrétisation
39
Erreur de discrétisation géométrique

2D

1D

2D
linéaire

ou quadratique : L2, L3
éléments
triangulaires:
éléments
quadrilatéraux: Q4, Q8
T3, T6
3D
éléments
tétraédriques:
TE4, TE10
éléments
hexaédriques:
H8, H20
éléments
prismatiques:
P6, P15
41
42
Formulation intégrale
Pour résoudre le système d'équations différentielles avec des
conditions aux limites :
S
L(u) + fv = 0 sur un domaine V
V
sur la frontière S de V
C(u) = fs
la meilleure solution est la solution analytique.
Mais, en pratique, la méthode analytique est inapplicable pour
des problèmes réels:
Méthodes numériques

Trouver des solutions approchées aux points
discrets.
Les méthodes numériques sont classées en 3
catégories :

Méthode des différences finies

cette méthode marche plutôt pour des domaines rectangulaires
il est très difficile d'écrire un code général pour cette méthode

domaine irrégulier

multi-matériaux

Méthode variationnelle

matériaux anisotropes
Méthode des résidus pondérés

équations non linéaires, .....

Base mathématique de la MEF
7
43
44
Méthode variationnelle
Méthode des résidus pondérés
Pour résoudre l'équation différentielle suivante :

⎧⎪ d 2φ
⎪⎪D
+ Q = 0 sur 0 < x < H
⎪ dx 2
⎨
⎪⎪
⎪⎪ φ( x =0) = φ0 ; φ( x =H ) = φH
⎩
Supposons que u = h(x) est une solution approchée
de l'équation différentielle.
R(u) = L(u) + fv ≠ 0
résidu :

la méthode variationnelle consiste à trouver une fonction test
φ = φ(x) telle que :
⎛
⎞
H D ⎛d φ ⎞
Π = ∫0 ⎜⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ + Q φ⎟⎟⎟dx → min
⎜⎝ 2 ⎝ dx ⎠
⎠⎟
2
La méthode des résidus pondérés consiste à
rechercher des fonctions u qui annulent la
forme intégrale globale :
W = ∫ <ψ> {R(u)} dV = ∫ <ψ> {L(u) + fv} dV = 0
Cette méthode est inapplicable dans les cas où l'équation
différentielle contient des termes en dérivée première.
fonction de pondération (fonction test)
Le nombre de ψi(x) est égal au nombre de paramètres inconnus
45
46
Forme intégrale faible
Problème continu à deux dimensions
L'intégration
par parties de la forme intégrale
globale fournit des formes intégrales dites faibles
qui présentent les avantages suivants :
L'ordre
maximum des dérivées de u qui apparaissent dans
la forme intégrale globale diminue. Les conditions de
dérivabilité de u sont donc moins fortes.
Certaines
des conditions aux limites peuvent être prises
en compte dans la forme intégrale faible.
Équation
de Poisson :
Condition
∂ 2u ∂ 2u
+
+ f v = 0 sur V
∂x 2 ∂y 2
aux limites sur u (dite condition de Dirichlet) :
u = us sur Su
Condition
∂u
aux limites sur ∂n : (condition de flux)
∂u
+ α u = fs sur Sf
∂n
si
α = 0, cette condition est dite de Neuman
si
α ≠ 0, cette condition est dite de Cauchy
47
48
Forme intégrale globale
Wg =
u
⎛ ∂ 2 u ∂ 2u
∫ ψ(x, y )⎜⎜⎝ ∂x + ∂y
2
2
⎞
+ f v ⎟⎟dV = 0
⎠
est dérivable deux fois et doit satisfaire toutes les
conditions aux limites sur Su et Sf. Les fonctions
ψ(x,y) ne sont soumises à aucune condition.
Wf = −
⎛ ∂ψ ∂u ∂ψ ∂u
∂u
⎞
∂u
∫ ⎜⎝ ∂x ∂x + ∂y ∂y − ψf ⎟⎠dV +∫ ψ ∂n dS +∫ ψ ∂n dS
v
V
Su
Sf
fonctions ψ(x,y) et u(x,y) doivent être une fois
dérivables. Les termes de contour peuvent être
déterminés avec les conditions aux limites sur Su et
Sf.
Les
∂u
= fs - α u
∂n
sur
Sf :
sur
Su, on peut imposer ψ = 0.
8
49
Wf = −
⎛ ∂ψ ∂u ∂ψ ∂u
Le choix du type de ψi(x) conduit à différentes
méthodes:
⎞
∫ ⎜⎝ ∂x ∂x + ∂y ∂y − ψf ⎟⎠dV +∫ ψ(f − αu)dS
v
V
50
Choix de ψi(x)
s
Sf
où u et ψ doivent satisfaire les conditions aux limites :
méthode de collocation
ψ = 0; u = us sur Su
méthode de sous-domaines
méthode des moindres carrés
méthode de Galerkin
51
Méthode de collocation
52
Méthode de sous-domaines
fonction ψi(x) est la distribution de Dirac δ(xi) au point
xi, dit point de collocation. La forme intégrale s'écrit :
La
∫δ(xi) R(x, u) dV = R(xi,u) = 0
ψi(x) = 1 sur certaines zones.
Autrement dit,
∫ R(u) dV = 0
Autrement dit, R(xi, u) = 0 sur des points spécifiques. En
pratique, cette méthode est peu utilisée car elle est difficile à
mettre en oeuvre avec une approximation par éléments finis.
De plus elle conduit à un système d'équations non
symétrique. Par contre, elle a l'avantage d'éviter l'intégration
sur le volume.
sur des zones spécifiques.
Cette méthode est peu utilisée car le choix des sousdomaines est difficile. De plus, elle nécessite des
intégrations sur le volume.
53
Méthode des moindres carrés
ψi(x) = R(x)
Cette méthode consiste à minimiser l'expression
Er = ∫ R(x)2 dV
par rapport aux paramètres a1, a2, ... an.
Les conditions de stationnarité sont : W = δEr = 0
Cette relation est équivalente aux n équations algébriques :
Wi(a) = ∫ L(Pi) (L({a})+fv) dV = 0
i=1,2,...,n
Cette méthode est peu utilisée car elle ne permet pas l'intégration par
parties, et impose donc des conditions plus strictes sur l'approximation
de u que la méthode de Galerkin. Par contre, elle conduit à un système
symétrique et défini-positif quelle que soit l'équation différentielle.
54
Méthode de Galerkin
Les fonction ψ(x) sont constituées par l'ensemble des
variations δu des fonction u :
ψ = δu = {δa} = <δa> {P}
∀ {δa}
W = ∫ δu (L(u) + fv) dV = 0
W = <δa> ∫{P}(L({a}) + fv) dV = 0
∀ {δa}
Comme W doit s'annuler pour tout {δa}, la relation précédente
est équivalente aux n équations algébriques :
Wi(a) = ∫ Pi(L({a}) + fv) dV = 0
Ce système est symétrique si L est auto-adjoint.
i = 1,..,n
Exemple
9
55
56
Élément 1D
Règles
du maillage
φ
la
densité du maillage peut
être variable en fonction de
la variation des inconnues
placer un nœud où D, Q
changent brutalement
placer un nœud à l'endroit
où on veut connaître la
solution
Élément linéaire à 2 nœuds
Interpolation
Transfert de chaleur
par conduction et
convection
φ
linéaire
φ(x ) = a1 + a 2x
déterminer a1 et a2,
on peut établir 2 équations
aux nœuds i et j :
φi
Pour
e
i
a1 =
⎧ φi = a1 + a2x i
⎪
⎪
⎨
⎪
φ = a 1 + a 2x j
⎪
⎩ j
j
⎧⎪ d 2φ
⎪⎪⎪ D 2 + Q = 0 sur 0 < x < H
⎪⎪⎨ dx
⎪⎪
⎪⎪ φ( x =0) = φ0 ; D d φ
= h( φf − φH )
⎪⎪⎩
dx ( x =H )
φ(x ) =
xj − x
L
a2 =
i
xi
φi x j − φj x i
L
φj − φi
φj
e
x
j
xj
Fonctions de forme
Fonctions d’interpolation
L
⎧φi ⎪
⎫
⎪
⎪ ⎪⎪
x − xi
φj = N i φi + N j φj = N i N j ⎪
⎨ ⎬
⎪φ ⎪
L
⎪
⎪ j⎪
⎪
⎩
⎭
e
φ
=
N
φ
{
}
soit
φi +
57
58
Propriétés de N
Ni(xj)
Passage du continu au discret
∂ 2u
+ Q = 0 sur 0 < x < H
∂x 2
u(x =0) = u 0 et u(x =H ) = uH
EDP:
= δij
D
n
∑ Ni = 1
Formulation
Intégrale Globale (FIG)
∑ ∂N i = 0
i =1 ∂x
Formulation
Intégrale Faible (FIF) avec la méthode de
N
Formulation
i =1
n
Galerkin
sont linéaires si l'interpolation est linéaire
N sont quadratiques si l'interpolation est quadratique
Intégration
pour obtenir le système élémentaire
Assemblage
Élément 2D
60
Fonctions de forme
φ
linéaire
φk
φ(x , y ) = a1 + a 2x + a 3y
Équations
φi
aux nœuds i, j, k
x
⎧⎪φ = a + a x + a y
⎪⎪ i
1
2 i
3 i
⎪φ = a + a x + a y
⎨ j
1
2 j
3 j
⎪⎪
⎪φ = a1 + a2x k + a 3yk
⎪⎩⎪ k
ai = xj yk - xk yj ;
aj = xk yi - xi yk ;
ak = xi yj - xj yi ;
⎧
⎪⎪a1 = (ai φi + a j φj + ak φk ) / 2A
⎪
⎪⎪
⎨a2 = (bi φi + bj φj + bk φk ) / 2A
⎪
⎪
⎪a = (c φ + c φ + c φ ) / 2A
⎪
i i
j j
k k
⎪
⎩ 3
bi = yj - yk ;
bj = yk - yi ;
bk = yi - yj ;
[K] {U} = {F}
pour obtenir le système globale
59
Élément triangulaire à 3 nœuds i-j-k
Interpolation
Intégrale Faible élémentaire (FIFe)
Approximation
ci = xk - xj
cj = xi - xk
ck = xj - xi
⎛1
⎜⎜
2A = det ⎜⎜⎜1
⎜⎜
⎜⎝1
φj
y
k
i
⎧⎪
A
⎪⎪N i = (ai + bi x + ciy ) / 2A = pjk
A
⎪⎪⎪
Apki
⎪⎪
⎨N j = (a j + bj x + c j y ) / 2A =
⎪⎪
A
⎪⎪
⎪⎪N = (a + b x + c y ) / 2A = Apij
k
k
k
⎪⎪⎩ k
A
j
A - aire du triangle
xi
xj
xk
yi ⎞⎟⎟
⎟
y j ⎟⎟ = ai + a j + ak
⎟
yk ⎠⎟⎟⎟
propriétés
de N
Ni
varie linéairement le
long des côtés i-j et i-k
Ni
y
i
p
k
j
x
Ni
k
i
y
j
x
= 0 sur le côté j-k
e
Approximation nodale φ(x ) = N i φi + N j φj + N k φk = N {φ }
10
Remarque : les gradients sont
constants dans un élément T3
Élément 2D
61
62
Élément rectangulaire à 4 nœuds i-j-k-m
bi-linéaire dans «s-t»
φ(x , y ) = α1 + α2s + α3t + α4st
Équations
l'inconvénient de cet élément. Par contre, il est
bien adapté pour des domaines irréguliers et la
matrice élémentaire peut être calculée
explicitement.
y
aux nœuds i, j, k, m
φi = α1
φj = α1 + 2b α2
φk = α1 + 2b α2 + 2a α3 + 4ab α4
φm = α1 + 2a α3
C'est
φ
α 1 = φi
1
α2 = ( φ j − φi )
2b
1
α3 =
( φm − φi )
2a
1
( φi − φj + φk − φm )
α4 =
4ab
φi φ
m
i
m
t
r
s
2b
φj
φk
k
q
2a
Interpolation
⎧ ∂φ
∂N
1
⎪
⎪
=
{φe } = (bi φi + bj φj + bk φk )
⎪
⎪
∂x
2A
⎪ ∂x
⎨
⎪∂
φ
∂N
1
⎪
=
{φe } =
(ci φi + c j φj + ck φk )
⎪
⎪
2A
∂y
⎪
⎩ ∂y
j
x
φ(x ) = N i φi + N j φj + N k φk + N m φm = N {φe }
s ⎞⎛
t ⎞⎟
s ⎛
t ⎞⎟
⎛
⎜1 −
N i = ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎜⎜1 −
⎟; N j =
⎟
⎝
2b ⎠⎝
2a ⎠
2b ⎝⎜
2a ⎠
st
t ⎛
s ⎞⎟
⎜1 − ⎟
;
Nk =
Nm =
4ab
2a ⎜⎝
2b ⎠
Remarque : les gradients ne sont
pas constants dans un élément Q4
63
Transformation : "s-t" ==> "q-r"
y
φi φ
m
m
t
i
r
s
2b
φj
φk
k
q
2a
φ
64
j
x
s=b+q
t=a+r
Ces expressions sont très utiles puisqu'elles permettent
de définir l'élément de référence pour des éléments
plus généraux : éléments quadrilatéraux à 4 nœuds.

Les propriétés de N sont comme celles de T3. Ces
deux types d'élément sont donc compatibles et
peuvent être utilisés conjointement.
65
66
Systèmes de coordonnées

La résolution du problème par éléments finis
demande souvent l'évaluation des intégrales dans
un domaine et il est difficile et même impossible
de le faire par des méthodes analytiques. On fait
donc appel aux méthodes numériques.
Les difficultés liées à l'évaluation numérique des
intégrales peuvent être réduites par changement
des variables d'intégration.
Systèmes de coordonnées

système de coordonnées globales : x

système de coordonnées locales : s, q

système de coordonnées de référence: ξ : | ξ | ≤ 1
s
ξ
q
x
i
ξ = 2q/L
L = xj - x i
j
Par exemple, écrire l'intégrale dans un nouveau
système de coordonnées.
11
67
68
Différentes expressions de N
Formule intégrale d’Olmstead
p
- variable du nouveau système de coordonnées
g(p)
- équation qui relie x et p : x = g(p)
Exemple:
Rapport des longueurs
Élément L2
v1
v2
x
i
évaluer l’intégrale de N
Rapport des longueurs
Élément T3
69
v1=(1-s/L)=Ni(s)
v2 =s/L=Nj(s)
k
h
j
L3=Nk
L1
P
L3
formule
i
intégrale d’Abramovitz-Stegun
j
formule
Ex.
L1=d/h=Apjk /A =Ni
L2=Nj
L2
s
70
i
j
intégrale d’Eisenberg-Malvern
d
Ex.
71
72
Intégration sur les contours
Intégration sur les contours
L'incorporation
des conditions aux limites avec
dérivations ou des forces surfaciques dans le modèle
d'éléments finis fait intervenir l'intégration sur les
côtés des éléments.
k
L1=Apjk /A =(b-s)/b=v1
L2= v2
v2
Toute
intégration sur le côté d'un élément
triangulaire peut être remplacée par l'intégration sur
une ligne en terme de s ou v2 :
et l'intégration se fait avec la formule factorielle.
Côté i-j
L1
i
P
s
b

Côté j-k: L2=v1
L3= v2
Côté k-i: L3=v1
L1= v2
v1 j
Côté k-i:
12
73
74
Éléments de référence
η
Éléments de référence: définition
élément de référence Vr est un élément de forme
très simple, repéré dans un espace de référence
(|ξ|≤1), qui peut être transformé en chaque élément
réel Ve par une transformation géométrique τe :
Un
τe
3
1
2
y
ξ
τe
η
4
3
1
2
τe : ξ -> xe = xe(ξ)
x
Nous
utilisons une transformation linéaire par
rapport aux coordonnées {xn} des nœuds
géométriques de l'élément réel:
ξ
élément de référence Vr
ξ = <ξ, η> ; x = <x, y>
élément réel Ve
τ : ξ -> x(ξ) = [N(ξ)] {xn}
Ni - fonctions de transformation géométrique
Propriétés de τe
1.
75
τ est bijective : tout point de Vr <=> un point de Ve
Vr

Ve
2.
nœuds de
3.
chaque frontière de Vr se transforme en la frontière
correspondante de Ve

<=> nœuds de
Construction des fonctions N(ξ)
76
Approximation généralisée
u(ξ) = <P1(ξ) P2(ξ) ... Pnd(ξ)> = <P(ξ)>{a}
Élément isoparamétrique : N(ξ) = N(ξ)

u(ξ) = <N1(ξ) N2(ξ) ... Nnd(ξ)> = <N(ξ)>{ue}
En chaque nœud d'interpolation de coordonnées {ξi},
la fonction u(ξ) prend la valeur nodale ui :
; {ue} = [Pn] {a}
Construction des fonctions N(ξ)
77

Reportons {a} = [Pn]-1 {ue} dans u(ξ) = <P(ξ)>{a},
on a :
u(ξ) = <P(ξ)> [Pn]-1 {ue}
Par identification, on obtient finalement :

<N(ξ)> = <P(ξ)> [Pn]-1
Résumé des opérations de construction de N

78
Triangle de Pascal

choix de la base polynomiale <P(ξ)>

évaluation de la matrice nodale [Pn] = [Pj(ξi)]

inversion de [Pn]

<N(ξ)> = <P(ξ)>[Pn]-1
En pratique, on peut choisir la base polynomiale à
l'aide du triangle de Pascal (dans les cas 1D et 2D)
1
ξ
η
2
ξ ξη η2
3
ξ ξ2η ξη2 η3
... ... ...
T6: <P(ξ)> = <1 ξ η ξη ξ2 η2>
Q8: <P(ξ)> = <1 ξ η ξη ξ2 η2 ξ2η ξη2>
13
79
80
Quelques éléments de références

1D
z
z

Éléments de référence 2D
Q4 :
L2
1
L3
T3
T6
2
ξ
3
Q8 :
<N> = < 1-ξ−η
ξ
N1 = - 0.25 (1-ξ)(1-η)(1+ξ+η)
N2 =
η
3
1
η
5
4
2
ξ
3
η ζ>
N8 =
1
a2b1c2
a2b2c1
a1b2c1
a1b1c1
a2b1c1 >
a1 = 1+ξ; a2 = 1-ξ;
η
3
7
6
8
5
4
1
2
ξ
3
0.5 (1-ξ)(1-η2)
82
= [J]{∂x}
η
2
a1b2c2
a1b1c2
ξ
Transformation des opérateurs de
dérivation
{∂ξ}
4
:
0.5
(1-ξ2)(1+η)
N7 = - 0.25 (1-ξ)(1+η)(1+ξ-η)
ζ
<N> = 0.125 < a2b2c2
2
0.5 (1+ξ)(1-η2)
N6 =
6
81
H8
1
N5 = - 0.25 (1+ξ)(1+η)(1-ξ-η)
Éléments de référence 3D
<N> = < 1-ξ−η−ζ ξ
3
0.5 (1-ξ2)(1-η)
N4 =
ξ
2
1
TE4:
η
4
N3 = - 0.25 (1+ξ)(1-η)(1-ξ+η)
η>
<N> = < -λ(1-2λ) 4ξλ -ξ(1-2ξ)
4ξη -η(1-2η) 4ηλ >
avec λ = 1-ξ−η
z
(1+ξ)(1+η) (1-ξ)(1+η)>
2
1
2D
z
<N> = 0.25 <(1-ξ)(1-η) (1+ξ)(1-η)
ξ
Matrice Jacobienne
ξ
ζ
5
6
8
7
1
2
ξ
4
η
{∂x}
3
[j]
b1 = 1+η; b2 = 1-η; c1 = 1+ζ; c2 = 1-ζ
Calcul des termes de la matrice
Jacobienne [J]
= [j]{∂ξ}
= [J]-1
83
84
Transformation d'une intégrale
Comme <x y z> = <N(ξ,η,ζ)> [{xn} {yn} {zn}]
Formule intégrale d’Olmstead
on a :
1D
3D
∫ve f (x,y,z )dxdydz =
∫v r f (x( ξ, η, ζ ),y( ξ, η, ζ ),z( ξ, η, ζ ) )det(J )d ξd ηd ζ
14
85
86
Intégration numérique

Méthode de Gauss
Évaluer l’intégrale dans un élément de référence 1D
f(ξ)
f(ξ1)
ξ
-1
1
1
w1
f(ξ2)
2
f(ξ1)
ξ
w2
g coefficients (poids) wi et les abscisses ξi sont
déterminés de manière à intégrer exactement des
polynômes d'ordre m ≤ 2g -1 :
Les
f(ξ2) f(ξ3)
1
2
3
w1
w2
w3
f(ξ) = a1 + a2ξ + .... + a2g ξ2g-1
ξ
g : nombre de points d’intégration
ξi : coordonnées de points d’intégration
wi : poids d’intégration
Méthode de Gauss
détermination de wi et ξi
2D ou 3D
Pour
que l’équation précédente soit identiquement
vérifiée pour tout a1, a2, .... , a2g, il faut :
∫
1
∫
1
−1
ξ α dξ =
−1
g
2
= ∑ wiξ iα
α + 1 i =1
g
ξ dξ = 0 = ∑ wiξ i
α
α
88
87
En
2D et 3D, utiliser dans chaque direction une
intégration numérique à une dimension.
Élément
α = 0, 2,..., 2 g − 2
de référence carré (2D)
η
α = 1, 3,..., 2 g −1
i =1
ξ
Conditions:
wi>0
-1< ξi <1
i = 1,2,…g
soit
Exemple
1
∫ ∫
1
−1 −1
g
g
f (ξ ,η )dξ dη = ∑∑ wi w j f (ξi ,η j )
i =1 j =1
89
Élément de référence triangulaire
90
Élément de référence triangulaire
y
η
1
2
1
4
3
1
3
1
2
2
3
x
Formule
1 1−ξ
∫∫
0 0
Ces
ξ
de Hammer
g
f (ξ ,η ) dη dξ = ∑ wi f (ξi ,ηi )
i =1
formules intègrent exactement des polynômes d'ordre m
N
(ξiηj avec i+j ≤ m).
15
91
92
Problèmes scalaires 2D
Problèmes physiques

Équation fondamentale

Cette équation peut être appliquée aux différents
problèmes physiques :
Torsion d'une section non circulaire

Écoulement
ψ
φ
irrotationnel
- lignes de courant
- lignes de potentiel (perpendiculaires aux ψ)
Les
vitesses d'écoulement sont liées aux
Écoulement
∂ψ ∂ψ
,
∂x ∂y
d'eau dans un milieu poreux
Dx ,
Dy - perméabilités
Q - source en un point (pompe)
φ - niveau d'eau
g - module de cisaillement du matériau
θ - angle de torsion
φ - fonction des contraintes
93
94
Équations intégrales
Problèmes physiques
Transfert
Dx ,
h
de chaleur d’une plaque de refroidissement
Dy - conductivités
Contribution
avec
d'un élément au système d'équations :
φ = <N> {φe}
- coefficient de convection
t
- épaisseur de la plaque
Q
- source de chaleur interne
φ
- température
φf
- température ambiante
95
Vecteur gradient et [Ke] compacte
Système élémentaire
{Re} = {Ie} + [KDGe]{φe} - {fQe}
La
96
matrice [KDGe] peut être réécrite sous une forme
plus compacte par la définition de :
et du vecteur gradient
16
97
98
Application: élément triangulaire
Application : élément rectangulaire
Comme
le système de coordonnées "s-t" est
parallèle au système de coordonnées "x-y" et une
longueur reste la même dans les deux systèmes de
coordonnées, on a :
Matrices
Vecteur
élément rectangulaire : [KDe]
99
élément rectangulaire : [KGe] et {fe}
100
L'intégration
sur le terme de la première ligne et de
la première colonne de [B]T[D][B] donne :
…
…
101
102
Torsion d'une section non-circulaire
y
τzy
T
φ
τzx
x
T
z
φ = 0 sur les contours
• contraintes de cisaillement :
• couple :
Conditions aux limites sur la dérivée
Il existe deux types de conditions aux limites :
Γ1
Γ2
Sur les frontières isolées ou imperméables ou sur l'axe
de symétrie, on a :
M=S=0
17
103
104
Conditions aux limites sur la dérivée
Système élémentaire complet
Les conditions aux limites portant sur la dérivée sont incluses
dans le modèle d'éléments finis par
⎛ ∂φ
⎞
∂φ
{I e } = − ∫ { N } ⎜ Dx
cosθ + Dy
sinθ ⎟ d Γ
Γ
dx
dy
⎝
⎠
[Ke]{φe} = {fe}
avec
⎡⎣ K e ⎤⎦ = ⎡⎣ K De ⎤⎦ + ⎡⎣ K Ge ⎤⎦ + ⎡⎣ K Me ⎤⎦
{ f } = { f }+{ f }+{ f }
e
= ∫ { N }( M φ − S ) d Γ
e
Q
e
Q*
e
s
Γ
= ∫ M { N } N d Γ {φ e } − ∫ S { N } d Γ
Γ
Γ
= ⎡⎣ K Me ⎤⎦ {φ e } − { f se }
⎡⎣ K De ⎤⎦
Matrice de conductivité
⎡⎣ K Ge ⎤⎦
Matrice de génération de chaleur
⎡⎣ K Me ⎤⎦
Matrice de convection
{ f } Vecteur de source repartie
{ f } Vecteur de source concentrée
{ f } Vecteur de convection
e
Q
e
Q*
e
s
105
106
Application : Élément Q4
⎡ N i2
⎢
NN
⎡⎣ K Me ⎤⎦ = M ∫ ⎢ i j
Γ⎢N N
i k
⎢
⎢⎣ Ni N m
Ni N j
N 2j
Ni N k
N j Nk
2
k
N j Nk
N j Nm
N
Nk Nm
Ni N m ⎤
⎥
N j Nm ⎥
dΓ
Nm Nk ⎥
2 ⎥
N m ⎥⎦
Application : Élément T3
⎧ Ni ⎫
⎪N ⎪
j ⎪
⎬d Γ
Γ
⎪ k⎪
⎪⎩ N m ⎭⎪
⎡ N i2
⎢
⎡⎣ K Me ⎤⎦ = M ∫ ⎢ N i N j
Γ
⎢
⎣ Ni N k
{ f } = S ∫ ⎪⎨ N
e
s
Sur le côté i-j: Nk=Nm= 0
∫
Γij
Ni d Γ = ∫ N j d Γ =
Γij
Lij
2
⎡2
⎢1
ML
ij
⎢
⎡⎣ K Me ⎤⎦ =
6 ⎢0
⎢
⎣0
;
∫
Γij
N i2 d Γ = ∫ N 2j d Γ =
Γij
1 0 0⎤
2 0 0 ⎥⎥
0 0 0⎥
⎥
0 0 0⎦
Lij
;
3
∫
Γij
Ni N j d Γ =
Lij
6
⎧1 ⎫
SLij ⎪⎪1 ⎪⎪
e
{ f s } = 2 ⎨0 ⎬
⎪ ⎪
⎪⎩0 ⎭⎪
de chaleur sortant
∂φ
= qh = hA (φ − φ f
qc = − kA
∂n
∂φ
qc = kA
= qh = hA (φ f − φ )
∂n
qc
chaleur sortant
n
qh
∫
Γij
Lij
Ni d Γ = ∫ N j d Γ =
2
Γij
;
e
s
Γ
)
M = h ; S = hφ f
∫
Γij
N i2 d Γ = ∫ N 2j d Γ =
Γij
Lij
3
∫
;
Γij
{f }=
e
s
Ni N j d Γ =
• Équation différentielle : kA
• Convection
∂φ
>0
∂n
qc
chaleur entrant
n
qh
6
108
H
d 2φ
+ QA = 0 sur 0 < x < H
dx 2
x
dφ
= hA (φ − φ f ) 鄕 = 0
dx
dφ
− kA
= hA (φ − φ f ) 鄕 = H
dx
kA
M = h ; S = hφ f
Lij
⎧1 ⎫
SLij ⎪ ⎪
⎨1 ⎬
2 ⎪ ⎪
⎩0 ⎭
Application : transfert de chaleur
par conduction et convection
1D : mur composite
de chaleur entrant
∂φ
<0
∂n
⎧ Ni ⎫
⎪
j ⎬d Γ
⎪N ⎪
⎩ k⎭
{ f } = S ∫ ⎪⎨ N
⎡2 1 0⎤
MLij ⎢
⎡⎣ K Me ⎤⎦ =
1 2 0 ⎥⎥
6 ⎢
⎣⎢ 0 0 0 ⎥⎦
107
Flux
N 2j
N j Nk
Sur le côté i-j: Nk= 0
Convection : identification de M, S
Flux
Ni Nk ⎤
⎥
N j N k ⎥d Γ
2 ⎥
Nk ⎦
Ni N j
kA ⎡ 1
−1⎤ ⎡ hA
0⎤ ⎡0
h, φ f
0 ⎤
i
e
• Matrice élémentaire ⎡⎣ K ⎤⎦ = L ⎢ −1 1 ⎥ + ⎢ 0 0 ⎥ + ⎢0 hA ⎥
j⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
QAL ⎧1⎫
⎧1 ⎫
⎧0 ⎫
e
• Vecteur sollicitation { f } = 2 ⎨1⎬ + hAiφ f ⎨0 ⎬ + hA jφ f ⎨1 ⎬
⎩⎭
⎩ ⎭
⎩ ⎭
18
2D
109
: plaque de refroidissement
110
2D
: chauffage de sols : des fils chauffants entourés
par un volume dont la section est constante
h, φ f
Dx ,
Dy - conductivités
h
- coefficient de convection
t
- épaisseur de la plaque
Q
- source de chaleur interne
φ
- température
φf
- température ambiante
2 cm
d 2φ
d 2φ
+ k 2 + Q* = 0 sur A
dx 2
dy
∂φ
= h (φ − φ f )
k
sur Γconvection
∂n
111
∂ 2φ ∂ 2φ
+
=0
∂x 2 ∂y 2
EDP
autour des coins, des obstacles…
des eaux sous-terrains, écoulement
sous un barrage…
écoulement
Vitesse
aéronautique
vx =
de frottement entre les fluides et les surfaces
Conditions
pas
de turbulence (sans rotation, ni distorsion des
particules des fluides)
pas
de pénétration ni séparation des surfaces
Dx
Dx, Dy : perméabilités
∂φ
=0
∂n
Vitesse
∂φ
vx = − Dx
;
∂x
∂φ
vy = −Dy
∂y
∂φ
;
∂y
vy = −
aux limites
∂φ
=0
∂x
∂φ
∂x
φ = 30
∂φ
=0
∂x
114
Équations de Navier-Stokes (2D)
b
d'écoulement
(lois de Darcy)
12 cm
Application : écoulement visqueux
a
Q : source en un point (pompe)
5 cm/s
113
∂ 2φ
∂ 2φ
D
+
+Q = 0
y
∂x 2
∂y 2
φ : niveau piézo-métrique
112
φ =0
Écoulement de l'eau
dans un milieu poreux
EDP
sur Γisolation et Γsym閠rie
d'écoulement
Hypothèses
pas
∂φ
=0
∂n
Formulation "lignes de courant φ"
d'application
écoulement
isolation
k
Mécanique des fluides
(écoulement irrotationnel)
Domaines
4 cm
6 cm
∂u
∂u
∂u 1 ∂p μ ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞
+u +v +
− ⎜
+
⎟ + fx = 0
∂t
∂x
∂y ρ ∂x ρ ⎝ ∂x 2 ∂y 2 ⎠
u,v : vitesse
p: pression
∂v
∂v
∂v 1 ∂p μ ⎛ ∂ 2 v ∂ 2 v ⎞
+u +v +
− ⎜
+
⎟ + fy = 0
∂t
∂x
∂y ρ ∂y ρ ⎝ ∂x 2 ∂y 2 ⎠
μ : viscosité
ρ : densité
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
fx, fy : forces
∂φ
=0
∂n
19