Chapitre 2. Caractéristiques des distributions à une variable

Transcription

Caractéristiques de tendance centrale
Caractéristiques de dispersion
Caractéristiques de concentration
Notes
Chapitre 2. Caractéristiques des distributions à une
variable quantitative
Jean-François Coeurjolly
http://www-ljk.imag.fr/membres/Jean-Francois.Coeurjolly/
Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University
Notes
1
Mode
Médiane
Quantiles d’ordre quelconque
Moyenne
Synthèse : quelles caractéristiques pour résumer une série ?
Complément : méthode du “shift and share”
2
Etendue (intervalle de variation)
Ecarts interquantiles
Ecart absolu
Ecart-type et variance
Comparaison de séries statistiques et synthèse
3
Courbe de Lorentz
Indice de Gini
Médiale
Mode
Notes
Mode d’une variable statistique
Définition
Le mode (ou classe modale) est la valeur (ou la classe)
Calcul du mode :
variable discrète : modalité présentant le plus grand
variable continue : on cherche d’abord la classe ayant la plus
Le mode peut ensuite
être défini (par exemple comme le centre de cette classe).
Remarques :
pour une var. continue, en général on ne donne que la classe modale.
Une série peut avoir plusieurs modes (en présence de maxima locaux
de fréquence ou densité selon le type de variable) ; on parle de série
Mode
Notes
0.30
0.25
●
●
0.20
fréquence
0.35
●
0.15
0.10
Exemple Nbre pers./voiture
xi
fi
1
10%
2
25%
3
40%
4
25%
Total
100%
0.40
Application numérique sur deux exemples
●
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
30
20
% par tranche de 800 euros
10
0
Revenu des ménages français
xi
fi
di
(en euros)
(/tr. de 800e)
[0, 1600[
45%
22.5%
[1600, 2400[
35%
35%
[2400, 3200[
20%
20%
Total
100%
×
40
nombre de personnes/voiture
0
500
1000
1500
2000
Revenu en euros
2500
3000
3500
Médiane
Notes
Médiane - définition
Définition
La médiane est la valeur de la série (i.e. une modalité) qui
BIl faut distinguer deux cas :
1
les données sont observés de manière brute.
[le plus souvent une variable discrète]
2
les données sont regroupées en classes.
[le plus souvent une variable continue]
Médiane
Médiane (2) - données brutes
Deux cas possibles en fonction du caractère pair ou impair de la
taille de l’échantillon n :
1
n est impair : la médiane de la série de n = 5 âges : 17, 9, 19,
25, 21 est
.
2
n est pair : la médiane de la série de n = 4 âges : 17, 9, 19, 25
est entre 17 et 19⇒
Formule générale : Soient x1 , . . . , xn les valeurs de la série et soient
x(1) , x(2) , . . . , x(n) les versions ordonnées, i.e. x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n)
alors
Notes
Médiane
Notes
Médiane - données brutes (2)
Quelle est la médiane de la série statistique suivante ?
Exemple nb personnes/voiture
xi
ni
fi
Fi
1
40
10%
10%
2
100 25%
35%
3
160 40%
75%
4
100 25%
100%
Total 400 100%
×
n = 400 est pair ⇒ il faut donc repérer la
et
-ème observation dans la liste des observations
ordonnées.
Médiane
Médiane (3) - données regroupées
Exemple du revenu
xi (en e)
ni (×106 )
[0, 1600[
9
[1600, 2400[
7
[2400, 3200[
4
Total
20
ménages
fi
Fi
45%
45%
35%
80%
20% 100%
100%
×
Dans le cas où les données sont regroupées en classes, il faut suivre
deux étapes :
1
repérer la
, i.e. la classe contenant la
médiane.
Ici, 45% des ménage ont un revenu < 1600eet 80% des
ménages ont un revenu < 2400e⇒ Me ∈]1600, 2400[
2
estimer la médiane par
Notes
Médiane
Notes
1.0
Médiane (5) - interpolation linéaire
0.8
●
Graphiquement : la médiane
correspond à l’abscisse du point
d’intersection entre la courbe des
(xi , Fi ) et la
Fi
0.6
●
0.0
0.2
0.4
●
●
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
revenu
⇒ Formule générale : soit ]xi , xi+1 [ la classe médiane et soient Fi
et Fi+1 les fréquences cumulées évaluées en xi et xi+1 , alors
Notes
Quantile
Définition
Un quantile d’ordre α (pour α ∈ (0, 1)) notée en toute généralité Qα est
la valeur qui partage la série en deux sous-ensembles ; une proportion α se
situe en dessous de Qα et une proportion 1 − α au-dessus strictement de
Qα .
Remarques :
Me = Q50% .
Quartiles (notés Q1 , Q2 , Q3 ) : quantiles qui séparent la série en 4
sous-ensembles de même effectif/fréquence. Plus précisément
Q1 = Q25% , Q2 = Me, Q3 = Q75% .
Déciles (notés D1 , D2 , . . . , D9 ) : quantiles qui séparent la série en 10
sous-ensembes de même fréquence. Plus précisément
D1 = Q10% , D2 = Q20% , . . . , D9 = Q90% .
Notes
Quantile (2)
Les quantiles se calculent de manière similaire à la médiane.
Ainsi pour des données regroupées on a : si Qα ∈]xi , xi+1 [
Calculez le premier quartile de la série suivante
Exemple du revenu ménages
xi (en e)
ni (×106 )
fi
Fi
[0, 1600[
9
45%
45%
[1600, 2400[
7
35%
80%
[2400, 3200[
4
20%
100%
Total
20
100%
×
Moyenne
Moyenne arithmétique (pondérée)
Définition
Soit xi (i = 1, . . . , p) les modalités d’une série brute, d’effectifs ni
(i = 1, . . . , p) et fréquence fi , la moyenne arithmétique pondérée
notée x est donnée par
BSi les données sont regroupées en classes, les xi ne sont en
général pas observées. Ces valeurs sont alors remplacées par les
centres de classes, notés ci pour i = 1, . . . , p.
lorsque le nombre de modalités (ou nombre de classes) est grand, il
devient intéressant d’utiliser la calculatrice (rentrer les données sous
forme d’un tableau, configurer de manière appropriée et demander
des résultats univariés).
Notes
Moyenne
Moyenne arithmétique : exemple covoiturage
Notes
Calculez la moyenne de la série
Exemple nb personnes/voiture
xi
ni
fi
Fi
1
40
10%
10%
2
100 25%
35%
3
160 40%
75%
4
100 25%
100%
Total 400 100%
×
Application :
Moyenne
Moyenne arithmétique : exemple revenu des ménages
Calculez la moyenne de la série
Exemple du revenu ménages
xi (en e)
ci
ni (×106 )
fi
[0, 1600[
800
9
45%
[1600, 2400[ 2000
7
35%
[2400, 3200[ 2800
4
20%
Total
×
20
100%
Application :
Fi
45%
80%
100%
×
Notes
Moyenne
Notes
Propriétés de la moyenne arithmétique
1
La somme des écarts (pondérés) à la moyenne est nulle, c-a-d
p
X
ni (xi − x) = 0
i=1
2
Considérons une population P d’effectif total n composée de
k sous-populations P1 , . . . , Pk d’effectifs n1 , . . . , nk (donc
n = n1 + . . . + nk ). Notons x 1 , . . . , x k les moyennes
arithmétiques des sous-populations P1 , . . . , Pk alors
x=
n1 x1 + . . . + nk xk
.
n
Moyenne
“Moyenne globale = moyenne pondérée des moyennes”
Ex : salaire de nH =200 hommes et nF =100 femmes d’une entreprise.
Calculez la moyenne de la
série Ensemble de deux
façons différentes :
xi (en e)
[0, 1500[
[1500, 3000[
Total
ci
750
2250
×
ni,H
70
130
200
ni,F
60
40
100
Méthode 1 (méthode directe) :
1
(750 × 130 + 2250 × 170) = 1600e.
300
Méthode 2 (en utilisant la propriété précédente) :
xE =
xH =
xF =
xE =
ni,E
130
170
300
Notes
Moyenne
Notes
Moyenne géométrique
Une action en bourse a évolué à la hausse de 10% l’année 1,
puis a diminué de 5% l’année 2 et de 5% l’année 3.
Question : Quel est le taux moyen (noté tmoy ) d’évolution de
cette action sur les trois années ?
B
tmoy , 0 ! ! !
La moyenne géométrique est le taux qui, appliqué durant les
trois années donnera le même capital final selon l’évolution
décrite précédemment.
Moyenne
Moyenne géométrique (2)
Soit C0 le capital initial et soient C1 , C2 , C3 les capitaux après 1,2
ou 3 années. On a
selon l’énoncé C1 = (1 + 10%)C0 , C2 = (1 − 5%)C1 et
C3 = (1 − 5%)C2 , c-a-d
C3 = (1 + 10%)(1 − 5%)(1 − 5%)C0 .
selon la définition du taux moyen : C1 = (1 + tmoy )C0 ,
C2 = (1 + tmoy )C1 et C3 = (1 + tmoy )C2 , c-a-d
C3 = (1 + tmoy )3 C0 .
Par identification des deux identités, il vient que pour tout capital
initial C0
⇐⇒
Notes
Moyenne
Notes
Moyenne géométrique (3)
Définition
Soit la série statistique x1 , . . . , xp d’effectif n1 , . . . , np alors la
moyenne géométrique notée en général x G est définie par
où n = n1 + . . . + np .
Moyenne
Moyenne harmonique
Elle permet de calculer des moyennes de ratios.
Exemple : Un coureur monte une côte de 1km à la vitesse de
10km/h et descend cette même côte à la vitesse de 30km/h.
Question : Quelle est la vitesse moyenne du coureur ?
vmoy , 20 km/h ! !
car il a passé plus de temps à 10km/h qu’à 30km/h.
On cherche vmoy telle que la somme des temps passés à la
montée et la descente soit égal au temps passé à la vitesse
vmoy :
Notes
Moyenne
Notes
Moyenne harmonique (2)
Définition
Soit la série statistique x1 , . . . , xp d’effectif n1 , . . . , np alors la
moyenne harmonique notée en général x H est définie par
où n = n1 + . . . + np .
Notes
Afin de résumer cette série . . .
. . . quel est l’indicateur pertinent ?
Salaires xi
en e
[0, 4000[
[4000, 8000[
[28000, 32000[
ci
ni
ai
(1 u.a. 4000e)
2000
16000
30000
45
10
45
1
6
1
x = 16000e, Me = 16000e.
2 classes modales :
[0, 4000[,[28000, 32000[.
⇒
Notes
Salaires xi
en e
[0, 1000[
[1000, 2000[
[2000, 3000[
ci
ni
ai
(1 u.a. 1000e)
500
1500
2500
5
90
5
1
1
1
x = 1500e, Me = 1500e.
classes modales : [1000, 2000[.
⇒
Notes
Salaires xi
en e
[0, 2000[
[2000, 38000[
ci
ni
ai
(1 u.a. 2000e)
1000
18000
90
10
1
18
x = 2900e, Me = 1100e.
⇒
Notes
Complément : méthode ”shift and share”
méthode utilisée pour comparer plusieurs moyennes pondérées
lorsque les coefficients de pondération sont très ,, par
exemple lorsqu’ils évoluent au cours du temps.
permet de lisser l’effet structure.
Exemples : salaires de 2 CSP en 2010 et 2011.
CSP
Cadres
Employés
Année 2010
fi
x i (e)
10% 2000
90% 1000
Année 2011
fi
x i (e)
50% 1300
50%
900
x 2010 = 1100 e, x 2011 = 1100 e.
peut-on conclure qu’il n’y a pas d’évolution de salaires de
2010 à 2011 ?
Complément : méthode ”shift and share” (2)
CSP
Cadres
Employés
Année 2010
fi
x i (e)
10% 2000
90% 1000
Année 2011
fi
x i (e)
50% 1300
50%
900
Pour éliminer l’effet du changement des effectifs, on calcule
les moyennes en fixant les effectifs de 2010 :
pour éliminer l’effet du changement de salaires, on calcule la
moyenne en 2011 en fixant les salaires en 2010
Notes
Notes
Définition
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite
observation de la série.
Notion très peu utilisée en pratique car elle est très sensible
aux fluctuations de l’échantillon.
Exemple : on relève l’âge de 10 individus : 24, 16, 18, 22, 16,
26, 35, 25, 15, 76.
⇒ étendue est de
phantom 76-16 = 50 ans.
Si on remplace 76 par un âge ≤ 35 l’étendue devient
Ecarts interquantiles
Notes
Ecarts-interquantiles
Définition
On définit l’écart-interquartile et l’écart-interdécile comme suit
Ecart interquartile =
Plus ces écarts sont
Ecart interdécile =
et plus la série est
Du fait que l’on ne tient pas compte des observations faibles
ou élevées, ces caractéristiques sont moins sensibles aux
fluctuations de l’échantillon que l’étendue.
Ecart absolu
Notes
Ecarts absolus
x : statistique, xi : modalités, ni : effectifs, p nbre de modalités.
1
Ecart absolu moyen :
ex =
2
p
1X
ni |xi − x|.
n i=1
Ecart absolu médian :
e Me =
p
1X
ni |xi − Me|.
n i=1
Remarques
Plus les écarts absolus sont grands, plus la série est dispersée.
Avantage : facile à calculer, écart absolu médian moins sensible aux
valeurs extrêmes.
Inconvénient : ne se prête pas aux calculs algébriques.
Notes
Définition
La variance est la moyenne arithmétique pondérée des
L’écart-type est la racine carrée de
la variance.
Variance :
Ecart-type :
Interprétation
Plus l’écart-type (ou variance) est
observée est
et plus la série
Notes
Ecart-type et variance (2)
Autre expression de la variance :
p
1X
ni (xi − x)2
Var (x) =
n i=1
p
1X
=
ni x 2 − (x)2
n i=1 i
= x 2 − (x)2
=“moyenne des carrés” − “carré de la moyenne”.
BTout comme la moyenne, pour calculer une variance (ou
écart-type) pour une variable continue (dont les données sont
regroupées en classes) on remplace les xi par ci les centres de
classe.
Notes
Ecart-type et variance (3)
xi (en e)
[0, 1600[
[1600, 2400[
[2400, 3200[
Total
Calculez les variance et
écart-type de la série
suivante :
ci
800
2000
2800
×
ni (×106 )
9
7
4
20
Méthode 1 : on rappelle que x = 1620e.
Var (x) =
= 631600 e2 .
Méthode 2 :
x2 =
Var (x) = x 2 − (x)2 =
Ecart-type : σx =
√
631600 ' 794.7 e.
= 631600 e2
fi
45%
35%
20%
100%
Notes
Variance intra et interpopulation
Théorème
Considérons une population P de taille n composée de k sous-populations
P1 , . . . , Pk d’effectifs respectifs n1 , . . . , nk . Notons, x 1 , . . . , x k et
Var (x1 ), . . . , Var (xk ) les moyennes et variances des k sous-populations.
Alors, la variance de la population P est
n1 Var (x1 ) + . . . + nk Var (xk ) n1 (x − x 1 )2 + . . . + nk (x − x k )2
+
n
n
p
k
X
X
1
1
ni Var (xi ) +
ni (x i − x)2
=
n i=1
n i=1
Var (x) =
=
=
Notes
Variance intra et interpopulation (2)
Vérifions le résultat précédent sur l’exemple suivant : on étudie le salaire
de nH =200 hommes et nF =100 femmes d’une entreprise.
xi (en e)
[0, 1500[
[1500, 3000[
Total
Calculez les variances
inter-, intra- et totale de la
série :
Pour simplifier (un peu) les
calculs :
x H = 1725 e
x F = 1350 e
x = 1600 e
ci
750
2250
×
ni,H
70
130
200
ni,F
60
40
100
ni,E
130
170
300
Var (xH ) = 511875 e2
Var (xF ) = 540000 e2
Var (x) = 552500 e2 .
Moyenne des variances :
Var . Intra =
=
= 521250e2 .
Notes
Vérifions le résultat précédent sur l’exemple suivant : on étudie le salaire
de nH =200 hommes et nF =100 femmes d’une entreprise.
xi (en e)
[0, 1500[
[1500, 3000[
Total
Calculez les variances
inter-, intra- et totale de la
série :
Pour simplifier (un peu) les
calculs :
x H = 1725 e
x F = 1350 e
x = 1600 e
ci
750
2250
×
ni,H
70
130
200
ni,F
60
40
100
ni,E
130
170
300
Var (xH ) = 511875 e2
Var (xF ) = 540000 e2
Var (x) = 552500 e2 .
Variance des moyennes :
Var . Inter =
= 31250e2 .
=
Notes
Résumons un peu ces calculs :
Var (x) = 552500e2 .
Var . Intra + Var . Inter = Moy. des variances + Var. des moyennes
= 521250 + 31250 = 552500e2 .
Peut-on dire que la caractéristique H/F influence le salaire ? Si tel
est le cas, la variance des moyennes est forte relativelement à la
variance totale des salaires. Or,
Var . Inter
31250
=
'
552500
Var (x)
%.
Notes
Complement I : Comparaison de séries (1)
soit x la série statistique de 4 produits en Francs : 100F, 200F, 300F
et 400F.
soit y la série statistique des 4 produits en e :15e, 30e,45e,60e.
Intuitivement, ces deux séries sont dispersées de la même manière.
Or,
σx = 111.8F et σy = 16.8e.
Conclusion : pour comparer les deux séries qui ne sont pas dans la
même unité, il faut transformer les caractéristiques de dispersion.
Coefficient de variation :
= c’est le % de variation par
rapport à la moyenne, sans unité.
Complement I : comparaison de séries (2)
D’autres indicateurs de comparaison de séries statistiques :
Coefficient de dispersion :
Q3 − Q1
D9 − D1
ou
.
Me
Me
Rapport interquartile ou rapport interdécile :
Q3
Q1
ou
D9
D1
Notes
Notes
Complement II : la boı̂te à moustaches (1)
aussi appelée box plot ou diagramme
de Tukey.
D9
moyen rapide de visualiser des
caractéristiques centrale et de
dispersion d’une
Q3
principalement utilisée pour comparer
un
Me
Q1
D1
basée sur le calcul de D1 , Q1 , Me, Q3
et D9 .
Notes
Complement II : la boı̂te à moustaches (2)
Me = 18010
Q3 = 27140
D9 = 39010
40000
30000
Q1 =11135
20000
D1 = 6040
10000
sachant que pour les
agriculteurs
50000
Etude sur le niveau de vie des ménages en euros par CSP (personne de
référence) en 2010. Application : complétez le graphique suivant avec les
revenus des agriculteurs . . .
agriculteurs
cadres
profInt
employes
ouvriers
Notes
Introduction
Elles sont utilisées pour mesurer (essentiellement) la
répartition de la masse salariale. La répartition de la masse
salariale se situe entre les deux cas extrêmes suivants
Répartition des salaires parfaitement équitables : un certain
pourcentage de salariés reçoit le même pourcentage de la
masse salariale. On dit que la concentration est nulle.
Un seul salarié reçoit toute la masse salariale (et les autres
rien). On dit que la concentration est maximale.
Trois indicateurs pour quantifier la concentration
1
2
3
courbe de Lorentz
Indice de Gini
Médiale.
Courbe de Lorentz
Notes
Courbe de Lorentz
On étudie les salaires de 50 employés d’une entreprise.
xi (en e)
[600, 1200[
[1200, 1800[
[1800, 2100[
Total
ci
900
1500
1950
×
ni
15
25
10
50
fi
30%
50%
20%
100%
Fi
30 %
80%
100%
×
ni ci
gi
Gi
1
on calcule la masse salariale =
.
2
on calcule le % de la masse salariale gi , ainsi que les fréquences
cumulées Gi .
Définition
La courbe de Lorentz est obtenue en faisant correspondre à la fréquence
cumulée
à la fréquence cumulée
.
Courbe de Lorentz
Notes
100
Courbe de Lorentz (2)
80
●
60
40
0
20
Gi (en %)
●
●
●
0
20
40
60
80
100
Fi (en %)
droite rouge = répartition
Plus la courbe de Lorentz est
concentration est
de la droite rouge et plus la
Indice de Gini
Notes
100
Indice de Gini
80
●
40
60
Soit S la surface orange.
20
0
Gi (en %)
●
●
●
0
20
40
60
80
100
Fi (en %)
Plus IGini est
, plus la concentration est
(proche de équirépartition).
Dans notre cas,
% (on ne cherchera pas à calculer l’indice)
Médiale
Notes
Médiale
La médiale est
exemple
Dans notre
50% − 19.1%
× (1800 − 1200) ' 1548e.
72.3% − 19.1%
Les salariés recevant moins de
Médiale = 1200 +
Mesure de concentration :
Médiale − Me
≥ 0.
Etendue
∆ petit = faible concentration, ∆ grand= grande concentration. Ici,
on peut vérifier que ∆ ' (1548 − 1440)/(2100 − 600) ' 7.2%.
∆=
Notes

Chapitre 2. Caractéristiques des distributions à une variable

Transcription

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