Coloration de graphes: algorithmes et structures

Transcription

Introduction
Structure de graphes et coloration
Structure des colorations
Nicolas Bousquet
Semindoc - 18/04/2012
N. Bousquet
Introduction
Equipe AlGCo
Algorithmique et théorie des graphes. Plus particulièrement :
Complexité paramétrée.
Aspects topologiques de graphes.
Théorie des matroı̈des.
Coloration de graphes.
N. Bousquet
Introduction
1
Introduction
2
3
N. Bousquet
Introduction
Graphes et coloration
Définition
Un graphe G est une paire (V , E ) où V est un ensemble de
sommets et E un ensemble d’arêtes reliant les sommets.
Deux sommets sont voisins si ils sont reliés par une arête.
N. Bousquet
Introduction
Graphes et coloration
Définition
Un graphe G est une paire (V , E ) où V est un ensemble de
sommets et E un ensemble d’arêtes reliant les sommets.
Deux sommets sont voisins si ils sont reliés par une arête.
Coloration
Une k-coloration des sommets (resp. arêtes) est une fonction de
l’ensemble des sommets dans {1, ..., k}.
N. Bousquet
Introduction
Colorations
Une coloration est dite propre quand elle vérifie certaines
propriétés. Par exemple :
les sommets/arêtes voisin(e)s ont des couleurs différentes.
N. Bousquet
Introduction
Colorations
les sommets/arêtes à distance deux ont des couleurs
différentes.
N. Bousquet
Introduction
Colorations
les sommets/arêtes à distance deux ont des couleurs
différentes.
les sommets d’une même couleur forment un graphe acyclique
(i.e. une forêt).
Mais on peut aussi colorer par liste, de manière injective, arêtes
sommets distinguantes...etc...
N. Bousquet
Introduction
Algorithmique
Dans la suite on colorera les sommets de façon à ce que deux
sommets voisins aient des couleurs différentes.
N. Bousquet
Introduction
Algorithmique
Dans la suite on colorera les sommets de façon à ce que deux
sommets voisins aient des couleurs différentes.
Question
Est-ce simple de déterminer si on peut colorer un graphe avec k
couleurs ?
N. Bousquet
Introduction
Algorithmique
Folklore
On peut déterminer en temps polynomial si un graphe est 2
colorable.
Preuve :
N. Bousquet
Introduction
Algorithmique
Folklore
colorable.
Preuve :
N. Bousquet
Introduction
Algorithmique
Folklore
colorable.
Preuve :
Il n’y a pas de cycles impairs si et seulement si, dans un parcours
en largueur, aucun niveau ne contient d’arêtes.
N. Bousquet
Introduction
Et ensuite ?
Théorème
Il est NP-complet de déterminer si un graphe est 3-colorable.
N. Bousquet
Introduction
Et ensuite ?
Théorème
Il est NP-complet de déterminer si un graphe est 3-colorable.
Pire....
Innaproximabilité
Sous la condition P 6= NP, il est impossible d’approximer la
coloration à un facteur n1− avec un algorithme polynomial.
N. Bousquet
Introduction
1
Introduction
2
3
N. Bousquet
Introduction
De l’intérêt de la structure
Graphes planaire
Un graphe est dit planaire si on peut le représenter comme un
graphe d’intersection de régions du plan.
N. Bousquet
Introduction
Coloration des graphes planaires
Folklore
Tout graphe planaire est 6 colorable.
Preuve :
N. Bousquet
Introduction
Folklore
Preuve :
Formule d’Euler
Pour tout graphe planaire,
S − A + F = 2.
N. Bousquet
Introduction
Folklore
Preuve :
Formule d’Euler
S − A + F = 2.
On a F ≤ 2A/3.
En re-injectant dans la formule d’Euler on obtient :
A ≤ 3S − 6.
N. Bousquet
Introduction
Folklore
Preuve :
Formule d’Euler
S − A + F = 2.
On a F ≤ 2A/3.
En re-injectant dans la formule d’Euler on obtient :
A ≤ 3S − 6.
P
Comme x∈S deg (x) = 2A, il existe un sommet de degré au
plus 5.
N. Bousquet
Introduction
Théorème des 4 couleurs
Conjecture (Guthrie, 1852)
N. Bousquet
Introduction
Théorème (Appel, Haken ’76)
Une étude de 1478 cas.
N. Bousquet
Introduction
Théorème (Appel, Haken ’76)
Une étude de 1478 cas.
Simplifiée par Robertson, Sanders, Seymour, Thomas pour
obtenir “seulement” 633 cas.
N. Bousquet
Introduction
Cliques et coloration
Définition
Une clique est un ensemble de sommets du graphe deux à deux
reliés.
On notera ω la taille d’une clique maximale et χ le nombre
minimum de couleurs requises pour colorer le graphe G .
Remarque
χ ≥ ω.
Réciproque ?
Il existe des graphes sans triangle dont le nombre chromatique est
arbitrairement grand.
N. Bousquet
Introduction
Une famille de contre-exemple
On crée la famille Gi par récurrence de la façon suivante :
G2 est une arête.
Pour créer Gk+1 :
Créer k copies de Gk .
Pour tout ensemble de taille k contenant exactement un
sommet dans chaque copie, créer un sommet relié à cet
ensemble de sommets.
N. Bousquet
Introduction
G2 est une arête.
Pour créer Gk+1 :
N. Bousquet
Introduction
G2 est une arête.
Pour créer Gk+1 :
N. Bousquet
Introduction
G2 est une arête.
Pour créer Gk+1 :
⇒ Gk+1 est sans triangle et de nombre chromatique k + 1.
N. Bousquet
Introduction
Classes χ-bornées
Définition
Une classe de graphe est dite χ-bornée s’il existe une fonction f
telle que χ(G ) ≤ f (ω(G )).
Que dire si la fonction est l’identité ?
N. Bousquet
Introduction
Classes χ-bornées
Définition
Une classe de graphe est dite χ-bornée s’il existe une fonction f
telle que χ(G ) ≤ f (ω(G )).
Que dire si la fonction est l’identité ?
Théorème (Chudnovsky, Robertson, Seymour, Thomas)
L’ensemble des graphes vérifiant l’égalité χ = ω pour tout sous
graphe induit, est l’ensemble des graphes sans trous impairs et sans
antitrous impairs.
N. Bousquet
Introduction
Une classe χ-bornée
Theoreme (Gyárfás)
La classe des graphes sans triangle et sans chemin induit de
longueur au moins k est χ-bornée.
Preuve :
But : Si on a besoin de beaucoup de couleur, il existe un chemin de
longueur k qui part de n’importe quel point du graphe (connexe).
N. Bousquet
Introduction
Une classe χ-bornée
Theoreme (Gyárfás)
La classe des graphes sans triangle et sans chemin induit de
longueur au moins k est χ-bornée.
Preuve :
But : Si on a besoin de beaucoup de couleur, il existe un chemin de
longueur k qui part de n’importe quel point du graphe (connexe).
Prendre un sommet x du graphe. Considérer le graphe sans x
et son voisinage.
Il existe une composante connexe C où on a besoin de (χ − 2)
couleurs pour colorer la composante.
Selectionner un voisin y de x qui voit C .
Hypothèse de récurrence sur la composante y ∪ C .
N. Bousquet
Introduction
Mais encore...
Théorème
Les classes de graphes suivantes :
Sans cycle induits avec une corde (Trotignon, Vušković).
Sans subdivision de taureau (Chudnovsky, Penev, Scott,
Trotignon).
Sans étoile (Gyárfás).
Sans subdivision induite d’un arbre fixé (Scott).
De diamètre 2 et sans subdivision induite de H quelconque
(B., Thomassé).
sont χ-bornées.
N. Bousquet
Introduction
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Introduction
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3
N. Bousquet
Introduction
Colorations adjacentes
Définition
Deux colorations propres sont dites adjacentes si on peut passer de
l’une à l’autre en changeant la couleur d’un seul sommet.
Chemin entre colorations
Il existe un chemin entre deux colorations s’il est possible de passer
de l’une à l’autre par une suite de colorations adjacentes.
N. Bousquet
Introduction
Graphes k-mixing
Graphe k-mixing
Un graphe G est dit k-mixing si pour toute paire de k-coloration
propre de G , il existe un chemin de l’une à l’autre.
N. Bousquet
Introduction
Graphes k-mixing
Graphe k-mixing
Remarque
Pour tout k, il existe des graphes 2-colorables qui ne sont pas
k-mixing.
N. Bousquet
Introduction
Graphes k-mixing
Graphe k-mixing
Remarque
Pour tout k, il existe des graphes 2-colorables qui ne sont pas
k-mixing.
Théorème (Bonamy, B.)
Les graphes de treewidth k sont k + 2-mixing avec un chemin de
longueur quadratique.
N. Bousquet
Introduction
Merci
Des questions ?
N. Bousquet

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