Prepublication de l`Institut Fourier

Prepublication de l'Institut Fourier
Laboratoire de Mathematiques
GRENOBLE
TRAJECTOIRES BORNEES D'UNE
PARTICULE SOUMISE A UN CHAMP
MAGNETIQUE SYMETRIQUE LINEAIRE
Franchise TRUC
n°
193
Annee
1992
Mots-cles : Hamihonien, champ magnenque, perturbation, adiabatique, tore invariant,
action, moment magndtique, integrable, symplecuque.
Classification A.M.S. : 58F30 - 70D10 - 70H15.
Introduction
La trajectoire d'un particule chargee soumise a un champ magn£tique est decrite
par l'equation de Lorentz : mq'mmZjeq A B. Quand B est un champ constant en temps I ___
et position, le systeme d'equations est integrable, les trajectoires sont des helices ayant
pour axe une ligne de champ. Au cours du mouvement sont conserves, outre l'energie,
le rayon de Larmor r = ^- et le moment magndtique M = ^-. Les notations
m, e et v± ddsignent respectivement la masse, la charge et la vitesse orthogonale a la
direction du champ.
ConsideYons un champ magndtique qui varie "lentement" dans l'espace de telle
sorte qu'au cours d'une rotation de la particule le champ soit presque constant; la
trajectoire coincide approximativement avec un cercle dont le centre (le "guiding
center") se deplace lentement le long d'une ligne de champ, la penode de rotation
6tant tres petite. On peut montrer qu'_ ce mouvement de rotation rapide est associe* un
"invariant adiabatique", le moment magn£tique. En effet, dans les conditions ci-dessus,
le hamiltonien depend lentement des variables de position, sauf d'une (not£e q); on
peut ainsi ecrire H = H(p,q,y.ex) oii (g,x) sont les coordonnees (i 6 R ou R2), et
(p, y) les moments conjuguds et e un petit parametre. Si le systeme non perturbe* (c'est_-dire le systeme a un degre' de liberty obtenu en fixant ex et y) a dans son portrait de
phase des trajectoires fermees (avec une frequence qui ne s'annule pas) alors on peut
introduire les variables action-angle (7, tp). La variable d'action 7(p, q, y, ex) correspond
au moment magndtique et on montre que c'est un invariant adiabatique c'est-a-dire :
3c> 0 , |/(ptf), q(t)jKt), ex(t)) - 7(^(0), ?(0), y(0), ex(0)) | < ce pour 0 < t < l/e | y
(voir [1] : cela rdsulte de la mdthode de moyennisation).
Kruskal [6] montre meme 1'invariance de certe quantity a un ordre quelconque :
a l'aide de transformations symplectiques sur les coordonnees on peut "dliminer" la
phase rapide (p de sorte que le hamiltonien exprime" dans les nouvelles coordonnees ne
depende de tp que par des termes d'ordre en, n arbitrairement choisi. (Voir £galement
Neistadt pour une meilleure approximation [10]).
Dans le cas ou le champ est une fonction convexe le long des lignes de champ
(en tant que fonction de l'abscisse curviligne) il existe un autre invariant, "longitudinal".
En effet la trajectoire est rdflechie aux points qi venflant MB(qi) = H (M disigne
de nouveau rinvariant "moment magnefcque"), et l'invariant est donne" par la formule
J = _ f-£ds l'integrale dtant calculee sur une oscillation complete (voir Northrop
[11]). (t,j| ddsigne la vitesse parallele a la direction de la ligne de champ).
Gardner [4] montre que certe quantitd est invariante a tous ordres. Cependant
on rencontre des cas ou ce second invariant adiabatique n'existe pas, la vitesse
d'eioignement transversale par rapport aux lignes de champ etant du meme ordre que la
vitesse longitudinale : Weitzner a ainsi etudie des configurations experimentales formees
de cylindres beaucoup plus longs que larges, cf. [12].
Arnold s'est pose la question suivante : peut-on trouver des cas pour lesquels
les particules qui sont "confinees adiabatiquement" le sont reellement? B montre que
Taction est un invariant adiabatique perpetuel sous de lentes variations periodiques d'un
hamiltonien a un degre de liberie [1], p. 210; ce resultat provient de la theorie de KAM
et n£cessite l'hypothese que le systeme n'est pas lineaire au sens que la frequen ce
moyenne n'est pas constante. Considerant un champ magnetique a symeme axiale il
tait le hamiltonien, a 2 degres de liberty, comme une perturbation d'un hamiltonien
integrable pour lequel le mouvement dans l'espace des phases se situe sur un tore.
Sous l'hypothese que le rapport des frequences du mouvement "varie" dans le temps,
il montre alors que les tores invariants ne sont pas tous detruits et que Taction reste un
invariant adiabatique perpetuel, par des considerations de dimension [2].
La difficulte* est d'expliciter l'hypothese car le rapport des frequences est
d'un ordre "petit". Arnold ne la verifie que dans le cas ou le hamiltonien s'ecrit
H = *-%£ + U(X- q) ou le "puits de potentiel" s'6crit U(zt q) = \(e2x2 + \)q2
1
,
.-1 I \f'\ \ .-f l.<l.<
j^4hP&tpi
Figure 1
Une autre mdthode consiste a utiliser un theoreme de Moser [8] qui garantit
l'existence de solutions periodiques des equations du mouvement, pour des systemes
proches d'un systeme integrable. M. Braun a ainsi prouve l'existence d'une region ou
les particules soumises au champ magnetique tenestres sont retenues indefiniment [3].
D generalise sa demarche a un champ a symetrie axiale mais sans expliciter la condition
de "twist" qui permet d'utiliser le theoreme de Moser; en effet celle-ci doit se verifier
pour chaque champ etudie.
Nous determinerons une classe de conditions initiales qui permettent d'obtenir
une trajectoire bornee, dans le cas d'une particule soumise a un champ magnetique
symetrique et lineaire.
Nous ecrivons le hamiltonien du systeme comme une perturbation d'un hamil
tonien a deux frequences, et nous bornons uniformement le terme perturbateur sous
certaines hypotheses sur les conditions initiales. Nous verifions la condition technique
du theoreme de Moser qui permet alors d'affirmer que le moment magnetique de la
particule est un invariant adiabatique perpetuel, nous montrons alors que les trajectoires
sont bornees lorsque le rapport entre vitesse et positions est assez petit et que le moment
magnetique initial n'est pas "trop petit".
I. Calcul du Hamiltonien assocte au champ magnetique f? = tox A
1. Calcul dans le cas general. — Le mouvement d'une particule (de charge et
de masse 1) soumise au champ B est regi par l'equation de Lorentz q = q A B (E);
il existe un lagrangien associe : C(q,q) = \q2 + q • A(q) (*). En effet (J£) a pour
projection sur Ox :
.M
x. . =r [»y B. _~ -, z B
y ]v =d Ay*( \^ - -^f)d+Az *( —d-A—* )\
ce qui permet d'expliciter _\(_j)
d ,6CS .. dAx
JdAy dAx.
dt
d'ou
_7W=X+
M z
dx
dA..
dz
. dAx . dAy
ftA
d f d C m . dAx _ dC
dt ox
dx ~ dx'
En operant de meme pour les autres projections on obtient les trois equations
d'Euler Lagrange.
Pour obtenir le hamiltonien, on ecrit les moments conjugues des coordonnees
generalisees : p,- =dqi
|~ ce qui s'ecrit vectoriellement: p = q + A(q) et on a alors :
W«,p) = PQ " ««, *) = o [P ~ Mq)]2
2. Calcul en coordonnees cylindriques, pour le champ B
y •
-2z
a) Potentiel vecteur. — On remarque que la 2-forme B s'ecrit:
B = xdy Adz- ydx Adz- 2zdx A dy
= (xdy - ydx) Adz- 2zdx A dy = (~r2dz - Izrdr) A dB
= d(-r2z)Ad6
€ «M."'-T.
il est done natural de prendre pour potentiel vecteur associe a B le vecteur
A A$ = — tz .
0
b) Lignes de champ. — Elles sont caracterisees par
B s'ecrit
r
0 .
= r
0 car le champ
{;=
-22
-22
Ces lignes sont done caracterisees par 2 conditions : 9 = constante et r2z =
constante; en effet d(i*z) = 2r>2 + r2z = 0.
c) Hamiltonien. — D s'agit de calculer les impulsions pr,p*,Pz. Pour cela il
faut poser q = (r, 0, z); q = (r, r0, i) et obtenir C(q, 9) a l'aide de la formule (*) :
C(q, 4) = 5O* + r^2 + i2> + rH-rz)
d'ou
dC
^
1A
2
dC
p> = -dl = z
Ainsi :
7i(r5^2,pr,p^p2)-=r2 + (r^-r22)^ + i2-i(r2 + r2^ + i2) + r22^
= ^2 + i2)+lr2^2
(on reconnait l'energie cinetique de la particule). Revenant aux variables d'impulsion
on obtient:
ft(r,0, z,pr,pe,p2) = -(p2 + p2) + j-j(p6 + r22)2
La coordonnee 9 n'intervient pas dans cette expression, elle est cyclique ce qui entraine
l'existence d'une integrale premiere, qui est p%.
Pour des conditions initiales donnees on a done p% = r2(0)[#(0) — 2(0)]. Notons
M ce nombre (qui depend done uniquement des conditions initiales). Le hamiltonien
est en fait a deux degres de liberte :
W(r, ziPr,p>) = i(p2 + p2) + JL(r*_ + M)2
il depend du parametre M = p%.
II. Changement de coordonnees
1. — La quantite M = pe etant fixde par les conditions initiales, nous pouvons
considerer la distance d'un point P de la trajectoire a la ligne de champ Cm definie par
r22 = -A/ et introduire le systeme de coordonnees (_,t;) suivant :
Figure 2
• u est l'abcisse curviligne de la projection H de P sur Cm. Torigine sur cette
courbe etant prise au point £2 correspondant a la valeur minimale du champ sur Cm
• t; est la distance H P de P a la ligne de champ.
Remarque. — Pour calculer les coordonnees explicites de Q il suffit d'ecrire
que pour un point (r, -£f) de £Mona:
-?2 = _?r2 + B2 = r2 + 422 = r2 + 4^
la valeur minimale est obtenue par
r60 = 8M2
et Ton a
2. Expression du hamiltonien dans ces nouvelles coordonnees. — La rela
tion : dr2 + dz2 = [1 + vk(u)]2du2 + dv2 qui fait intervenir la courbure k(u) de la ligne
A * ^ , r r, n / * .
>., ~^:«» /.. r\\ :_j4..
Nous determinerons une classe de conditions initiales qui permettent d'obtenir
une trajectoire bornee, dans le cas d'une particule soumise a un champ magnetique
symetrique et lineaire.
Nous ecrivons le hamiltonien du systeme comme une perturbation d'un hamil
tonien a deux frequences, et nous bornons uniformement le terme perturbateur sous
certaines hypotheses sur les conditions initiales. Nous verifions la condition technique
du theoreme de Moser qui permet alors d'affirmer que le moment magnetique de la
particule est un invariant adiabatique perpetuel, nous montrons alors que les trajectoires
sont borndes lorsque le rapport entre vitesse et positions est assez petit et que le moment
magnetique initial n'est pas "trop petit".
I. Calcul du Hamiltonien assocte au champ magnetique I? = roil
1. Calcul dans le cas general. — Le mouvement d'une particule (de charge et
de masse 1) soumise au champ B est regi par l'equation de Lorentz q = q A B (E)\
il existe un lagrangien associe : C(q,q) = _92 + 4 ' Mq) (*)• En cffel (&) a pour
projection sur Ox :
-. -.D1
ft =r [*A
zBy] .Mv
= y(-^0A*\_.-M*
- -^ +z(— dA*\
- —)
ce qui permet d'expliciter 37(ff) :
d,dc^ .. dAx ,fdAy dAx..,dAz dAx. dAx dAy dAz
d°U _t<_-l\ = • £-__- _ __r
dt{dx) q' dx dx'
En operant de meme pour les autres projections on obtient les trois equations
d'Euler Lagrange.
Pour obtenir le hamiltonien, on ecrit les moments conjugues des coordonnees
generalises : pi = #■ ce qui s'ecrit vectoriellement: p = q + A(q) et on a alors :
W(«,p) = pq - £(?. 4) = 5^ " Mq)]2
2. Calcul en coordonnees cylindriques, pour le champ B
y .
-22
a) Potentiel vecteur. — On remarque que la 2-forme B s'ecrit:
B = xdy Adz- ydx Adz- 2zdx A dy
= (xdy - ydx) Adz- 2zdx A <fy = (-r2dz - 2zrdr) A d9
= d(-r2z)Ad9
£eM,-?-?.
il est done naturel de prendre pour potentiel vecteur associe a B le vecteur
A$ = — rz.
0
ff = r
b) Lignes de champ. — Elles sont caracterisees par < 9 = 0 car le champ
I i = -22
r
B s'ecrit 0 .
-22
Ces lignes sont done caracterisees par 2 conditions : 9 = constante et r2z =
constante; en effet d(i*z) = 2r>2 + r2z = 0.
c) Hamiltonien. — n s'agit de calculer les impulsions pr,P6,Pz- Pour cela il
faut poser q = (r, 9. z); q = (r, r0, z) et obtenir C(q. 4) a l'aide de la formule (*) :
C{q, 4) = ^(r2 + r292 + i2) + t9(-tz)
d'oii
dc
Pr " df = r
" dd9c = r20-T 2 Z
Pe _
dc
Pz " dz = 2
Ainsi:
ft(r, 9, z,pr,pe,pz) = r2 + (r20 - r22)0 + i2 - ^(r2 + r202 + i2) + r2z9
(on reconnait l'energie cinetique de la particule). Revenant aux variables d'impulsion
on obtient:
Wr,0,2,pr,p,,p2) = -(p2 + p2) + — (p, + r22)2
La coordonnde 9 n'intervient pas dans cette expression, elle est cyclique ce qui entraine
l'existence d'une integrale premiere, qui est p6.
Pour des conditions initiales donnees on a done pe = r2(O)[0(O) — 2(0)]. Notons
M ce nombre (qui depend done uniquement des conditions initiales). Le hamiltonien
est en fait a deux degres de liberte :
W(r, ziPriPz) = i(p2 + p2) + ±(r2z + M)2
il depend du parametre M = p$.
II. Changement de coordonnees
1. — La quantite M = p6 etant fixde par les conditions initiales, nous pouvons
considerer la distance d'un point P de la trajectoire a la ligne de champ CM definie par
r2z = -M et introduire le systeme de coordonnees (u, t;) suivant :
Figure 2
• u est l'abcisse curviligne de la projection H de P sur Cm. Forigine sur cette
courbe etant prise au point £2 correspondant a la valeur minimale du champ sur Cm
• v est la distance HP de P a la ligne de champ.
Remarque. — Pour calculer les coordonnees explicites de Q il suffit d'ecrire
que pour un point (r, -$) de Cm on a :
_?2 = _?2 + _?2 = r2+422 = r2 + 4^
la valeur minimale est obtenue par
ro:
et Ton a
Bl = rl + ±rUlMV*
2. Expression du hamiltonien dans ces nouvelles coordonnees. — La rela
tion : dr2 + dz2 = [1 + vk(u)]2du2 + dv2 qui fait intervenir la courbure k(u) de la ligne
de champ Cm au point (tx, 0) induit sur les impulsions p_ et pv les relations suivantes :
fpu = [1 +t;A:(t/)]u
{Pv = V
On obtient ainsi l'expression du hamiltonien :
H(u,v,Pu.Pv,M) ■= _(ll + *Hu)p +Pl)+V(u,v)
oii U(u, v) joue le role d'un potentiel. On a :
lf(u,«) = Fe»-l(u,»)
avec
^:(r,z)—>(u,v)
(r2z + M)2
F : ( r. z )
2r2
Soit e > 0 donne. Notons E l'energie du systeme.
Proposition 1. — Pour toutes conditions initiales virifiant (CI) : E <
2M4/3 et E < £|M|2/3
a) la distance v de la trajectoire a la ligne de champ Cm est dau plus t.
b) de plus il existe une constante C (ne dipendant que de E et M) telle que :
\U(u,v)-^B2(u.0)v2\<Ce*
(demonstration en annexe).
Remarque 1. — On vena par la suite que M est fixe et e choisi ensuite; il
suffira de considerer e tel que e3 < 322/3|A_r| pour que la seule condition a mentionner
soit(CI): £ <f^|M|2/3.
Remarque 2. — L'inegalite U(u, v) ^ E contraint la particule a rester dans la
bande B deiimitee par les courbes C* et C" d'equation :
< - : , _ - _ ;r 2+ -r- -
Figure 4
Ce schema represente les bandes 51,-51/2, £1/10 correspondant aux valeurs
1,1/2,1/10 de l'energie E.
3. Remarque : mise en evidence de Paction. — On a donne un developpement
de H selon la variable t; de la maniere suivante :
1 P" ^ + f+ ^52(u,0)t;2 + ^(u>t;)pti,pJ
#(u,V,pu,Pv,M) = 2 [1 + vk(u)]2 2 2
avec \K(u, v,pu,pv)\ < Ce3 des que (CD est satisfaite, en particulier on a :
A*BH.,<,._,<EtCc,
L'expression Hu = P*+B2(u>0)v2 represente a u fixe l'energie d'un oscillateur harmonique (a 1 degre de liberte); Taction 7U correspondante, c'est-a-dire Taire de Tellipse
parcourue par le point de coordonnee (v.pv) a pour expression : J_ = f2B(_oj y2* *a
frequence du mouvement etant 2?(_,0).
On remarque que Tinegalite ci-dessus peut encore s'ecrire :
B(u,0)Iu<e\^-+Ce).
On voit alors, sous reserve que J_ soit minoree par une constante k non nulle
independante du temps, que pour tout point (tx, v,p_,Pt.) de la trajectoire on a
Cela entraine que la trajectoire est bornee puisque 2?(u, 0) grandit avec it.
On est done amene a minorer Iu; pour cela on va montrer que c'est un "invariant
adiabatique perpetuel".
III. Changement d'echetle pour obtenir un hamiltonien proche
d'un hamiltonien integrable
1. Mise en evidence de la variable d'action Iu. — On pose
tx = eui p_ = epUl
v = evi pv = epVl
Le hamiltonien correspondant au nouveau systeme est H' = e'2H. Or
H(uuvup^p^M)=^\[uJ^
ou H\ est une fonction analytique reelle. D'ou
it//
^
rin+tfu+BHwuO)
2
■
rr/,
^
H(m,vi,pulipVl,M)= —l l— v\t + eH}(euuvupUl,pvl).
On introduit la fonction generatrice (on note B pour ||i?||) :
S(ui,vuPui,Pv2) = \/B(euu0)v]pv_-ruipU2
cela engendre un changement de variables canoniques :
"lj^ljPunPt, ▶ ^2,V2,Pu2iPv2
par le biais des equations :
dS
B'(euu0)
dul-^--i^2vm^s)
Put = q— = Pux + tv\py
dS
i
Pvt = ~-~- = y/B(euu0)pVi
dS
u2 = -— = ui
OpU2
dS
/
v2- ■-— = \/B(eu} ,0)vi
OPv2
10
On remarque que p\x sera remplace par pj2 a condition d'integrer dans le terme restant
l'expression ev\ B(cu^°) pV2. On obtient :
H'(U2, V2,pU2,pV2,M) = .BU^O)^^2-) + -p22 + eH_(eu2,V2,Pu2,Px,2)
le nouveau terme restant H_ est encore analytique car l'expression v\Pvi^B/'!t7,0\. Test;
2yJaB{CU2,V)
en effet des que M n'est pas nul on sait que B est une fonction analytique de _, et ne
s'annule pas, la valeur minimale de B(u,0) etant Bm = \/3|M|1/3 (cf. p. 7).
On reconnait la variable d'action \ * dej_ mentionnee p. 9, au facteur
multiplicatif pres e2y que nous noterons I pour simplifier les notations; introduisons
Tangle (p par la formule :
j V2 = V-Tsiny?
\pt2 = \/27cos<p
alors #' s'exprime en fonction des variables action-angle (I,<p) :
(*) ^/(t/2J/,Pu2,^) = B(e_2)0)/ + -p22 + e^3(£:_2)/JPu2,^)
La quantite I = r^^y^2 (en revenant aux variables de depart) peut
s'interpreter aussi, pour les points de la trajectoire situes sur la ligne de champ, comme
le moment magnetique e~2__$ = £~2^g-.
2. La prochaine etape est T etude de la 2e variable d'action. — Pour cela il est
commode de changer Techelle de temps de sorte que la lere frequence du hamiltonien
non perturbe devienne egale a 1. Posons
F(-2,1,Pu2,V) = B(el2 Q) [#'("2, LPu„ V)-E).
Chercher les trajectoires incluses dans Thypersurface H' = E revient a trouver les
solutions a energie nulle du hamiltonien F\ F se decompose ainsi : F = Fo + F\ avec
p 2B(eu2>0)
1
& B(cu2,0)
E
ro
et
F\ est d'ordre 1 par rapport a e car B(eu2,0) ^ Bm Q_ valeur du champ sur Cm est
minoree par Bm = y/3\M\1'3).
Le hamiltonien non perturbe Fo a done une premiere frequence egale a 1; pour
trouver la seconde il faut considerer les lignes de niveau dans le plan (ti2,P_a) de la
fonction f(u2,pU2) = _B$lfi) - B(tultoy ** lcs courbes f(u2ipU2) = c sont fermees
pour c€]-■£,(>[.
Soit J(c) Taire deiimitee par la courbe f(u2,pU2) = c.
Lemme 1. — Im fonction J(c) est croissante sur ] - ^--,0[.
11
Demonstration.
1. Expression de J(c)
B(fti2,0)
Figure 5
Tegalite f(u2ipU2) - c entraine les inegalites suivantes :
>
E
\pU2\ < y/2(E + cBm); Bm < B(eu2i0) < -ce qui impose a c d'appartenir a ] — -=--, 0[.
De plus Taire J(c) se calcule de la facon suivante :
J(c) = 4 Pua^2
Jj(u2j>+2)=e
= / 2"" v/5[FTcS(£_2Ton^2
ou _2min et _2max sont definis par B(cu2nun,0) = -f = B(eu2max,0) et _2n_n ^ 0,
ii2ni„ ^ 0. Posons u = CU2. On obtient
J(c) = - / ~ V^fFTc^Olcfix
^ Ju_
aveC B(Umin) = B(_max) = -§, "min ^ 0, et _m« ^ 0.
Remarque. — On note pour simplifier B(u) pour B(u,0).
Posons 7(c) = eJ(c). On obtient done
J(c) = / "" y/2[E + cB(u)]du
Ju__
2. Montrons que J(c) est croissante. — Remarquons tout d'abord que les bornes
de l'integrale ci-dessus dependent de c :
12
Umin(c') I'minM 1 «m_x(c) t/m„(c')
Figure 6
Supposons c < c' < 0, alors
%/£ + c_?(u) ^ y/E + cTBlu) et [t/min(c'), tw(c')] D [_„_„(c), tWc)]
d'ou 7(c) < 7(c').
Voici Tallure des courbes de niveau quand c varie de —_f- a 0 :
Figure 7
En effet, le seul point critique de / correspond au point (0,0) obtenu pour la
valeur c = -—-. D'autre part quand c tend vers 0 la courbe determine un domaine
dont Taire tend vers celle de la bande horizontale de largeur 2\/2E.
En conclusion lim 7(c) = +oo ; lim 7(c) = 0.
e-,0
e
E/B-.
lemme 2. - ;; 7(c) = /;-<;> 7lr§^mdu
2) J (c) est une fonction croissante de c pour un ouvert ]a,0[.
La demonstration du lemme 2 est donnee en annexe. On utilise le fait que la
fonction B(u) est equivalente a _ en +cc et a 2_ en -oo. De ces lemmes decoule la
13
Proposition 2. — U hamiltonien F s'ecrit :
F^I + deV + eHfcJJ,?^)
ou la fonction c(eJ) a une dirivie seconde non nulle sur un intervalle ]A,+oo[.
Demonstration. — On a c'(7) = =r-. On a montre que 7(c) est une fonction
croissante de c pour c voisin de zero; c'(7) est done aussi une fonction monotone de c
pour c voisin de zero, ou encore (puisque 7 est une fonction croissante et J(c) —▶
+co)
e—>0
une fonction monotone de J pour J grand.
La fonction c"(eJ) ne s'annule done qu'en un nombre fini de valeurs J\,..., Jp.
Nous appliquerons le "twist theorem" de Moser sur chacun des anneaux A(eJi,eJi+\)
et sur tout anneau exterieur aux cercles J = eJ\,J = eJp.
IV. Utilisation d'un theoreme de Moser
Proposition 3. — Pour e assez petit la quantite It = e~2 *_\\£q)V est
un invariant adiabatique perpetuel, a condition que Yinegalite (CI) soit satisfaite pour
e. Plus precisement: 36. o ne dependant que de M;
_K > 0 tel que \Ic(t) - /c(0)| < Ke Vt, Ve < e0.
Demonstration. — Nous avons ecrit Thamiltonien F sous la forme :
F = I + c(eJ) + eH'<(eJ,I,ip,xl>,e).
Sur Thypersurface d'energie 0 on a :
I = -c(eJ)-eH'<(eJJ,^,e)
d'ou l'existence d'une fonction $ : $(eJ.ip,tl),e) = /.
En utilisant tp comme nouveau temps on obtient pour le nouvel hamiltonien J
les equations suivantes :
dJ _ dF/diI> _ d$
d^p " dF/dl " dxp
dxp _ dF/dJ __ d$
l dtp dF/dl "~ dJ
En effet le hamiltonien F, autonome, a 2 degnfs de liberte correspondait aux equations :
d£_d<p dF_____\
dl ~ dt dip" dt
d_F_d_b d_F____dJ_
dJ ~ dt dxp" dt
14
et Ton trouve bien que
£__,_£__ dt ■ - _ dFld^
_> "" dt* dip" dF/dl
dxp _ dxp dt__ dF/dJ
~ty ~ ~dt X dip ~ dF/dl
De plus, de Tegalite I - $(eJ. ip, xp, e) - F = 0 on tire :
_r,#_,
W
0F
,
dF
«*
D'oii:
j- = -e2/(cJ, p, V>, e) avec 7= eJ et /(c J, y>, V*) = -j^W* 7> P> *»*>
ay?
par:
Les solutions au temps <p = 2ir sont done donnees en fonction du temps tp - 0
_
f7<2*) = J(0) + 0(e2)
\ V(2tt) = V(0) + ec'(£ J) + 0(e2).
Au diffeomorphisme 7(0),xp(0) —▶ 7(2tt), V>(2tt) de l'anneau Affi ,7m), on peut
appliquer le theoreme de Moser (avec * = 1 et £ = 2) suivant:
Theoreme Moser [8]. — Soit $ un diffeomorphisme de l'anneau .4(1,2), $
de classe C5, s ^ 5, preservant I'aire, et tel que : $(R, 9) = (#',0') avec
/# = /* + £*/(/-,*)
oii 7'(/2) j-0,k<£, f et g bornees.
Alors il existe une infinite de courbes invariantes par <E> pour e assez petit
Remarque. — Chaque courbe invariante par ce difTeomorphisme engendre un
tore invariant si Ton prend toutes les solutions de F qui sont issues de cette courbe
invariante, et sur ces tores le mouvement est quasi periodique a 2 frequences. De plus,
n'importe quelle trajectoire commencant entre 2 tels tores sur la meme surface d'energie
doit rester entre ces tores pour des raisons de dimension. En particulier la quantite I est
un invariant adiabatique perpetuel (cf [1], [3], [7]).
15
V. Conclusion
Proposition 4. — Soit Mfixe; (c'est _ dire r(0), 2(0), 9(0)). II existe e0>0
ne dependant que de M et K > 0 tels que la trajectoire de la particule est bornee, si
les conditions (1) et (2) sont satisfaites :
(1)
(2)
£<~|M|2/3
7.(0)
>
2Ke3
°* 7« = FhBB(uO)Vt' PlusP^cisement on a :
C est la constante de la proposition I.
Demonstration. — On remarque que Ic(0) = e~2Iu(0); de la proposition 3 on
deduit que Ic(i) > Ic(0) - Ke d'ou Ic(t) > ^- si (2) est satisfaite et finalement en
utilisant la remarque du II:
&(*£♦*)•
«-•<
H s'agit a present d'etudier la compatibilite des conditions (1) et (2). II est immediat de
constater que si Tintervalle ]2B(u,0)Ke^,2e2^^-[ n'est pas vide on peut choisir pj
a Tinterieur de sorte que 7U(0) > jiffa > 2Ke3 et choisir alors p2 de sorte que (1)
soit vraie. II faut done considerer un e assez petit pour que soit vraie Tinegalite :
B(.,^e<M_.
On peut enfin remarquer que la condition (1) permet aussi bien de considerer des
positions eioignees de Torigine et des vitesses "de Tordre de 1", que des positions plus
proches et des vitesses petites. La condition (2) exprime que la vitesse orthogonale a la
ligne de champ ne doit pas etre trop faible par rapport a Tenergie totale, et en particulier
exclut le cas 20 = 0, io = 0 = 6q qui correspond a un depart sur une "ligne de champ"
Qa droite (9 = 0o> *o = 0)) avec une vitesse parallele a cette ligne.
On donne ci-dessous le trace d'une trajectoire obtenue par simulation. Les
conditions initiales sont Mo(l, 1,0) et Vb(l/4,1/4,4/5). Lorsque la trajectoire s'eioigne
suffisamment de Torigine selon l'axe 02, la bande £?, definie par les courbes C^ — z —
_m + ^gl et C_ = 2 = -^r - *^, dans laquelle elle est comprise (si on considere
un plan de coupe vertical), apparait nettement; en effet la largeur de la bande, qui vaut
16
2^ (voir appendice) devient de plus en plus petite, et de plus r etant petit Tangle 9
est peu significant.
Supposons qu'il n'y ait pas de retour : alors la distance v de la trajectoire a la
ligne de champ Cm est toujours inferieure a v(i\), ou t\ est le temps determine par
v(t\) < eo (avec le eo de la prop. 4). Les resultats precedents s'appliquent et on obtient
une borne pour B(u.O) (d'ou contradiction) si on a Tinegalite 7u(*i) > 2Kt\.
La simulation parait montrer que les "fuites vers le bas" sont bornees : le pas de
Theiice diminue mais la particule se stabilise puis est renvoyee vers Torigine sur une
autre heiice.
c o r t fl i t i e n f i n i t i i l t t
MO s J .OOOOOOOOOOOOOC-C'OOO
vo s i.ooooooooooooooc*ooo
20 « O.OO0O0O00OOOOO0E*OO0
ro s 2.SOOOOOOOOOOOOOC-001
00 s 2.SOOOOOOOOOOOOOC-001
KO x • .OOOOOOOOOOOOOOt-001
p»5 s 1.O000000000O0OOC-OO2
Figure 8
17
Appendice
Demonstration de la proposition 1 a).
lire Remarque. — C est dtaoissante, tandis que C~ passe par un minimum
pour la valeur r\ = -^^^«
2e Remarque. — Pour 2 fixe, du signe de -M, la droite de hauteur 2 rencontre
C* et C~ en P+ et P~ d'abcisses respectives :
r+ =
+\/2E + y/A -\/2F + \/A
; r_ =
2
2
En effet ces valeurs sont les racines positives des equations r2z±y/2Er+M = 0,
la notation A designant le discriminant 2E-AMz commun aux 2 equations. On a alors :
„_P
„ .+ = r + - 2r _\ / 2= E .
P
3e Remarque. — Pour r fixe la hauteur de la bande vaut 2^~^.
Notons R+ le point (r+,0) et R_ le point (r_,0). On est amene a chercher un
reel positif r+ de facon que les cotes du rectangle #_.ft+P+P~ soient de longueur
inferieure a -7=; si de plus ce reel est inferieur au minimum r\ de la courbe C", on
pourra affirmer que la distance d'un point quelconque de la bande a la ligne de champ
Cm est inferieure a e.
En effet, soit P un point de B de coordonnees (r, 2)
. si r > r+ alors _(P,£?) < ^ < _5I = /e+p+
# si r < r+ soit P est au dessus de P'T^, auquel cas d(Py B) < &E < p-p+.
soit P est dans le rectangle R~F?P+P-. (II ne peut etre en dessous du fait que
le minimum de C" est situe au dela de ce rectangle) et sa distance a Cm est majoree
par la longueur de la diagonale. Nous cherchons done r ^ 0 verifiant:
v/2M
r< n = —
(1)
Ve
2>/gf
(2)
r < V2
2V2E , _£_
(3)
18
explication de (3): c'est la condition ^^ < -^, compte tenu de Testimation de z pour
le point d'abcisse r qui est sur C* : z = -jt + «^ avec la remarque que 2 > -£f•
Les conditions (2) et (3) ne sont compatibles que si Tintervalle 7t =]1f£, - j%[
est non vide d'ou la condition
(0
F<^|M|2/3
lo
De plus si (i) est vrai il faut comparer la borne inferieure de It a r2 : a-t-on inf It < rf ?
Auquel cas le choix de r* sera possible. Or inf 7e = *j£ < |M|2/3 si (i) est vrai. Si
(") E < 2|M|4/3 alors inf It < r\.
Remarque. — La condition (i) est plus restrictive que la condition (ii) (_ part
pour des petites valeurs de \M\ : si \M\ < 3^71) mais on verra par la suite que M est
fixe et e choisi ensuite; il suffira de choisir ^-_ < \M\ pour eviter de mentionner la
condition (ii).
Demonstration de la proposition 1 b).
lire itape. — Developpement limite de t; —▶ U(u,v) (a _ fixe) a Tordre 1.
D s'agit d'ecrire le developpement de la fonction F(r, 2) au voisinage du point
(a, 6)ou a26=-M
Figure 9
dF _ (r2z + M)2 2z(r2z + M)
dr"
r3
+
r
dF _ 2
= r2z + M
donc^(a,6)=£?(a,6) = 0.
f d2F _ 3(222 + M)2 6z(r2z + M) 2
dr*
r«
r*
+
*
d2F = 2r2
drdz
d2F 2
19
Le developpement de Taylor de F au voisinage de (a, 6) est done le suivant:
F^ 2) = +I[462(r - a)2 + a2(z - b)2 + 4a6(2 - b)(r - a)] + 0(t;2)
(en effet v2 = (r - a)2 + (2 - 6)2).
Or H est sur la ligne de champ done B h\ ^h cst perpendiculaire a PH\ 2 _ ^ •
Ainsi
F(r, 2) = ^[26(r - a) + (2 - 6)a]2 + 0(v2)
= i(D • PH)2 + 0(v2) avec 7) = ( J et D colineaire a P#
= j(IPII 11^11) +0(«a)
F(r,2)=^|_?i/||V + 0(t;2).
2c £tope. — II s'agit a present de majorer les termes d'ordre superieur a 2 dans
le developpement C/(_, v) par rapport a v. Notons
G(r, 2) = F(r, 2)-1||_?h||V
= C/(u,t;)-i||B(u,0)||t;2
Le calcul des derivees partielles d'ordre 3 de F permet d'ecrire :
UJOA
|G(r,2)| < —3!
--— *€(o,i]
max
Ar,,z,
avec
L - , r, / - 2 2 2 ( r 2 2 + M ) ( r 2 2 + M ) 2 v 1
>lr>2 = max[2r,22,12(7 + -----3 L + ±——L)\
et
r* = (1 - 9)r + 0a
z6 = (1 - 0)2 + 06 '
Nous allons corner v3max(r|2)€0.Ar,2.
Lemme. — 5ozr p un p^wr de 5, v sa distance d Cm- Ses coordonnies (r, 2)
verifient:
\/2E
(1)
"< r
(2) t; < 5i 2 ejr 2du signe de — M(—Mz > 0).
Ce lemme decoule de la remarque 2 p. 8.
ler cas. — -Mz > 1 z> z0 = -jj. On veut majorer v3 maxBn{z>20} Ar,*20
Figure 10
Or si P _ B D {z > 20} on peut majorer G de la facon suivante :
| G ( r , , 3)! | 2<- 'l £e n^{ 2_> * 0r} A ,
^
8
MV
r2r
2
,
1
2V5F
2F
xi
3! 64 0n{2>2O} I23 22 vr2 r222 r323/J
En effet on a tenu compte de l'hypothese E < ^Q— et de la majoration r2z + M ^
\/2Er vraie dans 5. Les termes fy et pr sont majores respectivement par -jf- et ^.
D reste a montrer que ^ est majonS; or J- < _jz (ou r~ est la lere coordonnee
du point P~ de cote 2 sur C").
De plus, r" s'exprime en fonction de 2 grace a la formule des racines d'un
trinome ;
r~2 = -V5F + \/2F - 4A/2.
Finalement:
J_ y/2E + V2E-4Mz
rz
—AMz
Cette fonction de 2 tend vers ziro _ l'infini. On a bien montre l'existence d'une constante
C (ne dependant que de E et M) telle que \\G(r, z)\\ < Cc3.
21
2e cas. — P _ B O {z < zo}. On sait qu'alors r > r^ et z > z\ = minC"
On se sen cette fois de Tinegalite (1):
wnt
m.^
8
M^
\2
2z
^fzl
2z^
2E\]
Les termes sont tous majores puisque J et 2 le sont
Demonstration du lemme 2 du paragraphe HI.2.
Demonstration. — 1)
_,
d
/
r--(2)
y
\
/
7u--(c)
Le premier terme est nul car il vaut :
27?(u)
du.
i(c) 2V2[E + cB(u)]
(^umox(c)) x/2[F + cB(umax(c))] - (^ _„un(c))\/2[F + __?(«-*,<_))].
Les expressions sous le radical sont nulles puisqu'elles correspondent a la valeur pu =■ 0.
2) Montrons que J (c) est croissante dans un voisinage de 0. Soit c < c' < 0 ou
c est proche de 0.
La difference J(cf) — J(c) se scinde en trois parties :
J(c')-J(c) =
/u--(c) B(u)du r~"(c) B(u)du
V2E Ju_-(C) ^i + ^B(u) ^-(0 yj\ + j_B(u) m
u«_(c)
J u .(c)
rfu.
B(u)
yi+ £_?(«) v/^i^).
7i et 72 sont positives, 73 est negative; il s'agit de les comparer. Du developpe
ment au voisinage de 0 des radicaux on obtient :
/>tw(c)
rc_c.
,
h = / —— + (c - c')e(c)\ B2(u)du ou e(c) —▶ 0, c —▶ 0.
A__(e)
L
-^
J
D'ou, pour c suffisamment petit:
h > 2(C~C
) , max -?2(u)[tw(c) - tx-^c)]
3i/ [«__(0,w__(c)3
(note : c - c' < 0)
Or, on peut obtenir facilement le comportement de B(u) pour les grandes valeurs
de tx; en effet, des relations :
_»_,*.+-£
r*
et
_,u2 = aY2 + _,z2
22
On deduit les equations parametriques de B en fonction de tx:
u(r) = r yj 1 + ^-<ft avec rg = 8M2
(p. 7)
On calcule ensuite que :
.. B(r) v tx(r) f _. r2B(r) .. r2u(r) .
bm —--£ = hm ----- = 1 et lim ' = lim , _ = 1.
+oo
r
+oo
r
0
2M
0
M
D'ou 7?(tx) ~ tx et B(u) ~ 2tx. Ainsi:
E
E
um«(c) c 2S
B(txm»(c))C = et tXminW
2:
;--.
—»0
n
o72c"
/»
On obtient finalement:
'.^-?[-I<"«;M
. A *
/sxc-^n+ix^)].
D'autre part:
7! ^ / 7?(u)rftx > 7?(txmin(c))[umin(c) - umin(c/)]
D'ou
et
7l,_|[|(1+0(-l))--|(i-+o(-L))]
7l+7^2?M(c'-c)(1+0<?))-
La somme des trois integrales est done positive, pour c suffisamment proche de
0 puisque |fj > tJt.
23
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Institut Fourier - B.P. 74 - 38402 Saint-Martin-d'Heres cedex (France)
Telephone 76.51.46.00. - Ttfex 98 0134 F - TOScopie 76.51.44.78.
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