Analyse - Exercice proposé 15 `A afficher le 23/03/07

Analyse - Exercice proposé 15
À afficher le 23/03/07 - À retirer le 20/04/07
Recherchez une approximation de
A=
50
X
1
√
n
n=1
Donnez une estimation de l’erreur.
Suggestion.
Représentez graphiquement A au moyen d’une fonction étagée sur l’intervalle [0, 50], puis
majorez (respectivement minorez) cette fonction étagée par une fonction de comparaison,
continue, dont l’intégrale sur [0, 50], facile à calculer, fournit une majoration (respectivement
minoration) de A.
Solution
1
1
En remarquant que √ est l’aire du rectangle de largeur 1 et de hauteur √ , nous pouvons
n
n
interpréter A comme l’aire de 50 rectangles juxtaposés comme sur la figure suivante.
1
√
1/ 2
√
1/√3
1/ 4
···
0
1234
50
1
Cette aire est inférieure à l’aire délimitée par l’axe horizontal et le graphe de la fonction √
x
entre les abscisses 0 et 50 comme illustré ci-dessous.
1
√
1/ 2
√
1/√3
1/ 4
1
√
x
···
0
1234
50
1
Nous en déduisons
A<
Z
50
0
√
√
√ i50
1
√ dx = 2 x
= 2 50 = 10 2 ≈ 14.1421
x
0
Ainsi, 14.1421 est un majorant de A.
De plus, l’aire considérée est supérieure à l’aire délimitée par l’axe horizontal et le graphe de
1
la fonction √
entre les abscisses 0 et 50 comme illustré ci-dessous.
x+1
1
√
1/ 2
√
1/√3
1/ 4
√
1
x+1
···
0
1234
50
Nous en déduisons
A>
Z
50
0
√
i50
√
√
1
dx = 2 x + 1
= 2 51 − 2 ≈ 12.2829
0
x+1
Ainsi, 12.2829 est un minorant de A.
Ces considérations nous permettent de dire que A est compris entre 12.2829 et 14.1421.
Si nous approchons A par la moyenne, 13.2125, du majorant et du minorant, l’erreur
absolue est inférieure à (14.1421 − 12.2829)/2 = 0.9296. L’erreur relative est de l’ordre de
0.9296/13.2125 ≈ 0.07 = 7%.
Sachant qu’une évaluation explicite de la somme donne A = 12.7524, nous constatons que
l’erreur absolue, 13.2125 − 12.7524 = 0.4601 est inférieure à celle annoncée.
Nous aimerions réduire l’erreur, qui dépend évidemment du choix des fonctions de
√
étagée,
comparaison. Nous constatons ci-dessus que la fonction 1/ x, qui majore la fonction
√
prend la même valeur que la fonction étagée en x = n tandis que la fonction 1/ x + 1, qui la
minore, vaut la fonction étagée en x = n − 1. Nous pourrions imposer l’égalité de la fonction
étagée et de la fonction de comparaison en un point situé entre n − 1 et n, par exemple au point
x = n − 1/2.
Choisissons donc la fonction de comparaison
1
r
1
x+
2
(*)
entre les abscisses 0 et 50.
Ainsi, l’aire délimitée par l’axe horizontal et le graphe de cette fonction constitue une autre
approximation de A comme illustré sur le dessin suivant.
2
1
√
1/ 2
√
1/√3
1/ 4
1
r
x+
1
2
···
0
1234
50
Nous avons
A≈
Z
50
0
1
r
x+
1
2
dx = 2
r
1
x+
2
#50
0
√
√
= 2 50.5 − 2 0.5 ≈ 12.7985
mais, a priori, nous ne savons pas si 12.7985 est une approximation par défaut ou par excès de
A. Pour le découvrir, regardons plus précisément l’erreur entre n − 1 et n.
1
√
1/ n
r
n−1
n−
1
2
x+
1
2
n
En examinant la figure, nous constatons que l’erreur
est positive entre n − 1 et n − 1/2 et
p
négative entre n − 1/2 et n. De plus, la fonction 1/ x + 1/2 étant convexe, son graphe est situé
√
au-dessus de la tangente au point (n − 1/2, 1/ n). Ainsi l’erreur entre n − 1 et n − 1/2 est
√
supérieure à l’aire du triangle délimité par cette tangente et l’horizontale à la hauteur 1/ n.
Par contre, la valeur absolue de l’erreur entre n − 1/2 et n est inférieure à l’aire du triangle
√
délimité par cette tangente et l’horizontale à la hauteur 1/ n. Or les deux triangles considérés
sont égaux. Il en résulte que l’erreur entre n − 1 et n est positive.
Ce raisonnement étant valable pour n allant de 0 à 50, nous déduisons que 12.7985 est une
approximation par excès de A.
Ainsi, 12.2829 < A < 12.7985. Si nous approchons A par la moyenne, 12.5407, du majorant
et du minorant, l’erreur absolue est maintenant inférieure à (12.7985 − 12.2829)/2 = 0.2578 et
l’erreur relative est de l’ordre de 0.2578/12.5407 ≈ 0.02 = 2%.
Par comparaison avec la valeur A = 12.7524, nous constatons que l’erreur absolue
12.7524 − 12.5407 = 0.2117 est inférieure à celle annoncée.
3
Remarque
On peut aussi donner une expression analytique de l’erreur entre n − 1 et n pour déduire
que 12.7985 est une approximation par excès de A. En effet, cette erreur est donnée par




Z n−1/2
Z n

 1

1 
r 1
√ − r 1
−

√
e(n) =
−

 n
n
1
1
n−1
n−1/2
x+
x+
2
2
#n−1/2
#n
r
r
1
1
1
1
=2 x+
− √ − √ +2 x+
2
2 n 2 n
2
n−1
=
√
4n + 2 −
√
n−1/2
1
4n − 2 − √
n
Il n’est pas facile de vérifier analytiquement que e(n) > 0 pour n allant de 1 à 50 mais le
graphe de la fonction ne laisse aucun doute.
e(n)
50 n
0 1234
Mathématiques générales, FSA, ULg, mars 2007
4