La construction du concept de nombre à l`école maternelle

La construction du
concept de nombre
à l’école maternelle
Résultats d'évaluation
en GS/CE1/CM2
Résultats d'évaluation
en GS/CE1/CM2
Résultats d'évaluation
en GS/CE1/CM2
Constat
En début de GS:
pas de difficulté remarquable dans l'approche des
quantités et des nombres
Au milieu de la GS:
Difficulté dans l'approche des quantités et des
nombres: résoudre des problèmes portant sur les
quantités en utilisant les nombres connus sans recourir aux
opérations usuelles
En fin de GS:
Même difficulté
En CE1:
Les difficultés se généralisent surtout dans le
dénombrement de quantité et les relations
arithmétiques entre les nombres
En CM2:
Les difficultés persistent en calcul, en exploitation de
données numériques, connaissances des nombres
notamment doubles et moitiés
Ce que l'on peut supposer
Les difficultés en calcul, exploitation de
données numériques viennent du fait que les
enfants ont mal conceptualisé le nombre
SOMMAIRE
1 - Qu'est-ce qu'un nombre entier?
2 - De manière générale, qu'est-il important de
faire comprendre aux élèves concernant le
nombre?
3 - Quelques précisions concernant la
construction du concept de nombre en
maternelle.
1 - Qu'est-ce qu'un nombre entier?
Les différents ensembles de nombres ont été
inventés (découverts ?) par l’homme pour
modéliser « le monde réel » et résoudre des
problèmes de quantités posés dans « ce monde
réel ».
Le concept de nombre entier a été
introduit comme outil pour résoudre
des problèmes.
Le nombre entier permet d’indiquer une quantité : aspect
cardinal du nombre‫‏‬.
Le nombre entier a aussi un aspect ordinal : lundi est le
premier jour de la semaine, mardi le deuxième, etc.
Remarque importante :
On ne peut pas bien concevoir la notion de
nombre si on n’est pas conscient des liens qui
unissent les nombres
Difficulté à définir la notion de nombre car cela fait
appel à l’abstraction.
Le concept de nombre
Symbole numérique
4
Position
Quantité physique
Mot nombre
quatre
Pour construire le concept de nombre
Numération de position
Donner du sens au
codage numérique
Symbole
numérique
4
Indiquer une
position
Position
Reconnaître une
Quantité
physique
collection
et la
nommer
Image mentale
et cardinalité, ordinalité
Savoir nommer les
Mot nombres
nombre
que l'on lit
quatre
et que l'on écrit
Codage et décodage
Les difficultés dans la construction de ce concept
Numération de position
Donner du sens au
codage numérique
Symbole
numérique
Système de base
4
Indiquer une
position
Position
Reconnaître une
Quantité
physique
collection
et la
nommer
Savoir nommer les
Mot nombres
nombre
que l'on lit
quatre
et que l'on écrit
Image mentale et cardinalité
Codage et décodage
Comptage
et
dénombrement
Langue
On admet que la plupart des connaissances
(savoirs et savoirs-faire) ne sont ni reçues du
milieu par un organisme passif, ni-préprogrammées à la naissance de telle façon
que le sujet se les approprie nécessairement.
Les connaissances sont construites par le sujet
dans le cours de son activité.
Différents travaux permettent de dire que:
Il faut mettre en œuvre des activités
numériques en permettant aux élèves
d'utiliser leur connaissance de la suite des
nombres pour :
Dénombrer des collections
Comparer des collections
Constituer des collections
Effectuer des partages
La connaissance de la comptine numérique devra être
travaillée pour accéder au dénombrement.
Mais qu'est-ce que le dénombrement?
L'activité de dénombrement est à la base des
apprentissages arithmétiques comme la résolution
d'opérations.
Le dénombrement est une tâche complexe qui nécessite le
pointage exhaustif des objets et l'énonciation des noms
de nombre dans l'ordre correct. Afin de déterminer la
cardinalité correcte d'une collection, ces deux habiletés
doivent être menées de façon synchrone.
Point de vue
de GELLMAN
La connaissance de la "comptine" numérique comme préalable.
L’importance de l’activité de comptage / dénombrement.
Cinq principes permettant le
dénombrement
Le principe d'adéquation unique
Le principe d'ordre stable
Le principe cardinal
Le principe d'abstraction
Le principe de non pertinence de
l'ordre
L'organisation spatiale des objets
dénombrés revêt une
importance qui peut s'avérer
fondamentale.
On distinguera des collections
d'objets déplaçables et des
collections d'objets non
déplaçables.
Dans ce dernier cas, l'énumération (
action de passer en revue une fois
et une seule, chaque élément d'une
collection ) est beaucoup plus
complexe.
Dans le premier cas, au contraire, on
distingue facilement ce qui a déjà
été fait et ce qui reste à faire
Obstacles possibles
Méconnaissance de la comptine numérique:
irrégularité de notre numération orale
Comptage par pointage non synchronisé
L'élève n'a pas acquis la notion de mot nombre
L'élève ne se représente pas les quantités
La mauvaise utilisation des mots dans le langage
courant
Les connaissances préalables des nombres et leur
utilisation dans le langage courant
La spécificité de l'écriture des nombres
La non correspondance entre ce qui est dit et ce qui
est écrit
Comment s'acquiert ces principes?
Points de vue divergeant sur leur acquisition
GELMAN, GALLISTEL: enfants disposant très tôt des
compétences par rapport à ces principes
BAROODY: enfants commençant les
apprentissages et utilisant certaines habilités de
manière mécanique, en même temps ils
construisent la compréhension et les savoir-faire
construction graduelle de la compréhension du
nombre et du comptage
FAYOL: « la mise en œuvre du comptage
nécessite le recours à une énumération
verbale »
Acquisition de la chaine
numérique verbale ( FAYOL )
3 « parties » dans les suites numériques verbales:
- une partie stable conventionnelle
suite pratiquée par les adultes
- une partie stable non conventionnelle
- une partie ni stable ni conventionnelle
continue de compter mais avec suites instables: dix-neuf, dix-dix...
la chaine numérique verbale s'élabore suivant 4
niveaux successifs (d'après FUSON, RICHARD, BRIARS ( 1982 )):
- le niveau chapelet
chaque mot indissociable de son prédécesseur et successeur:
récitation sans signification arithmétique
- le niveau chaîne insécable
suite formée de mots nombres individualisés, l'enfant ne peut
poursuivre la suite qu'à partir de 1
- le niveau chaîne sécable
l'enfant est capable de compter à partir de n'importe quel
nombre, début d'une récitation à rebours
- le niveau chaîne terminale
chaîne numérique utilisable dans les 2 sens
De la comptine numérique au
dénombrement
Connaissance de la comptine: « pratique culturelle
dont l'enjeu dépasse la simple représentation des
quantités »
souvent comptine enseignée pour elle-même, pas
d'insertion dans contextes permettant à l'enfant de
prendre conscience de son intérêt pratique
BRISSIAUD:
« pour accéder au dénombrement à partir du
comptage numérotage, l'enfant doit accorder une
double signification au dernier mot nombre
prononcé »
« Il vient un moment où le dernier mot nombre prononcé
permet effectivement à l'enfant de représenter la
quantité correspondante »
Difficulté de l'enseignant:
Trouver un dispositif d'apprentissage permettant à
l'enfant de se représenter la quantité
Des capacités numériques sont repérables chez le nourrisson dès
l'âge de 6 mois : discrimination perceptive, addition et
soustraction de petites quantités.
Des capacités que le petit d'homme partage avec ses
semblables : singes, dauphins, oiseaux… pas de
quoi pavoiser !
La place du calcul dans
la construction du
nombre
Deux thèses modernes concernant le calcul :
BRISSIAUD :
le calcul* comme accélérateur d’apprentissage du
comptage, donc la nécessité de développer des
compétences dès le plus jeune âge.
GELMAN et bien d’autres… :
le comptage doit précéder les activités de calcul (en
référence aux cinq principes).
* attention, le calcul dont parle Brissiaud n’est pas l’algorithme de l’addition par sur-comptage, mais
plutôt la perception d’une quantité par la somme de ses parties (voir les constellations, les livres à
compter…)
2 - De manière générale, qu'est-il important de
faire comprendre aux élèves concernant le
nombre?
A la fin de l’école maternelle, l’enfant est capable
de :
- comparer des quantités,
- résoudre des problèmes portant sur les quantités.
Ce que disent les programmes
« Approcher les quantités et les nombres
L’école maternelle constitue une période décisive dans l’acquisition de la suite des nombres
(chaîne numérique) et de son utilisation dans les procédures de quantification. Les enfants y
découvrent et comprennent les fonctions du nombre, en particulier comme représentation de
la quantité et moyen de repérer des positions dans une liste ordonnée d’objets.
Les situations proposées aux plus jeunes enfants (distributions, comparaisons,
appariements…) les conduisent à dépasser une approche perceptive globale des collections.
L’accompagnement qu’assure l’enseignant en questionnant (comment, pourquoi, etc.) et en
commentant ce qui est réalisé avec des mots justes, dont les mots-nombres, aide à la prise
de conscience. Progressivement, les enfants acquièrent la suite des nombres au moins
jusqu’à 30 et apprennent à l’utiliser pour dénombrer.
Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le
moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par
l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. La taille
des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes
que l’enseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun.
A la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du
calcul mais c’est le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations,
signe « égal ») et les techniques. »
Horaires et programmes d’enseignement de l’école primaire, BO hors-série, n°3 du 19 juin 2008, p.15.
4 pôles pour la
connaissances des
nombres
Quels problèmes?
À quoi servent les nombres?
Quelles
procédures?
Quelles
désignations?
comptage,
dénombrement...
analogique, verbale,
symbolique
comment utiliser les
nombres?
comment exprimer les
nombres?
Quelles propriétés?
suite, ordre, relations arithmétiques...
a - Faire comprendre que les nombres sont utiles pour résoudre
des problèmes (ayant du sens pour l’élève …)
b - Faire comprendre qu’un nombre a plusieurs représentations
et qu’il faut savoir passer d’une représentation à une autre
c - Faire comprendre que les nombres sont « liés les uns aux
autres »
a) Faire comprendre que les nombres sont utiles pour résoudre
des problèmes
Un équilibre entre les occasions où l’activité est spontanée et
celles dans lesquelles elle est provoquée par un
questionnement de l’enseignant.
D’une manière générale, activités correspondantes à des
centres d’intérêt des enfants.
Dans certaines circonstances, le questionnement spontané
ou provoqué, à partir de situations familières, ludiques ou
aménagées spécialement par l’enseignant, place les jeunes
enfants en situation de résolution de problème :
la réponse n’est alors pas disponible d’emblée et son
élaboration nécessite dans un premier temps des actions de
la part de l’enfant, puis progressivement une anticipation sur
l’action à réaliser, le recours à des essais et des ajustements…
b) Faire comprendre qu’un nombre a plusieurs
représentations et qu’il faut savoir passer d’une
représentation à une autre
Ce qui sera poursuivi au cycle 2 :
Et au cycle 3 :
c) Faire comprendre que les nombres sont « liés les uns aux
autres »
En utilisant les doigts, on peut montrer que :
« ça fait trois »
« deux »
« et encore un »
Objectifs importants pour la maternelle dans le domaine de la
construction du nombre selon Roland Charnay :
la stabilisation de la connaissance de la suite orale
l’apprentissage de différentes méthodes pour dénombrer
la connaissance de la correspondance suite orale-suite écrite
par le biais de la bande numérique
la compréhension du fait que les nombres sont des outils pour
mémoriser des quantités
la compréhension du fait que les nombres sont des outils pour
mémoriser des positions dans une liste rangée
Activités citées par R. Charnay :
Réaliser une collection ayant le même nombre d’éléments
qu’une collection donnée
Compléter une collection pour qu’elle ait le même nombre
d’éléments qu’une collection donnée
•
Comparer des collections
Indiquer une position
Replacer un objet à sa position
Comparer des positions
Remarque :
La manipulation intéressante pour s’approprier les
situations et les problèmes posés
mais Roland Charnay insiste aussi sur le fait qu’il
est souhaitable d’amener les élèves à anticiper
sur le résultat d’une manipulation car c’est ainsi
qu’on peut amener l’élève à élaborer des
procédures.
Les activités mises en place doivent être signifiantes
pour les élèves :
il s'agit de mettre en place des problèmes ayant du
sens pour les élèves et les amenant à comprendre que
les nombres sont utiles.
illustration extraite de l’ouvrage de Rémi Brissiaud
« Premiers pas vers les maths – Les chemins de la
réussite à l’école maternelle »
Voir, par exemple, les ouvrages de Dominique Valentin (un pour PS/MS et un
pour GS) et l’ouvrage de l’équipe Ermel pour la GS :
On peut utiliser le matériel proposé par Brissiaud (PS, MS et GS)
3 - Quelques précisions concernant la
construction du concept de nombre en
maternelle.
a) La présence de bandes numériques collectives ou individuelles est
importante
(si la file numérique commence par 1 et non par 0, on fera plus facilement le lien entre
aspect ordinal et aspect cardinal du nombre)
b) Il est souhaitable de varier les manières de répondre à la question
« Combien y a-t-il de … ?»
reconnaissance immédiate des petites quantités
comptage un par un : on utilise la comptine numérique
utilisant de "collections-témoins organisées" (configurations spatiales diverses,
configurations digitales, etc.) qui servent de repères
Remarque concernant le dénombrement par comptage un par un :
Ce qui est difficile, c’est de faire comprendre que le dernier mot-nombre
prononcé n'est pas un simple numéro mais représente à lui seul la
quantité de tous les objets.
Pour cela, on peut travailler les décompositions:
« Un, un, un et encore un ça fait quatre »
« Trois et un ça fait quatre »
On peut aussi procéder ainsi :
Si les objets sont déplaçables :
« un »
« trois »
« deux » « quatre »
Si les objets ne sont pas déplaçables :
« un
« deux
«» trois
« quatre
»»
»
c) Les activités permettant de faire comprendre le lien entre "aspect
cardinal" et "aspect ordinal" du nombre sont intéressantes
(exemple avec l'utilisation du calendrier : faire comprendre qu'un numéro de jour
représente aussi une quantité de jours écoulés)‫‏‬
L’activité porte à priori assez peu sur les quantités, mais il
est facile de les faire intervenir en comptant le
nombre de jour qui nous sépare d’un événement.
Le passage du quantième (on est 15 novembre) à la
quantité (nombre de jours depuis le début du mois)
est l’occasion de mêler la frise numérique (ordinalité)
avec la cardinalité.
Utilisation d’un calendrier
Lecture cumulée de la suite des dates
9
1
2
3
4
5
9
6
7
8
9
10
11
12
13
17
On est le 17.
1°°) Combien de jours se sont passés depuis le 14 ?
2°°) La maîtresse Aline revient dans combien de jours ?
3°°) Combien de jours jusqu’à l’anniversaire de Pierre ? etc.
d) Les activités mises en place doivent être signifiantes pour les élèves :
il s'agit de mettre en place des problèmes ayant du sens pour les élèves et les
amenant à comprendre que les nombres sont utiles.
e) dans le domaine de la construction du concept de nombre, le passage au
CP va être caractérisé, entre autres, par le fait qu’on va donner du sens à
chacun des chiffres d’une écriture comme 24 (ce qui nécessite, bien sûr, que
l’élève ait compris le sens des écritures 2 et 4)‫‏‬
f) Le travail sur les situations additives en maternelle permet de comprendre les
relations qui existent entre les nombres
h) Il faut attacher de l’importance au choix des différentes contraintes (ou
variables didactiques) lors de la mise en place de situations de recherche
En conclusion
« S'approprier les nombres dans un
rapport avec des expériences réelles...
... en réservant l'utilisation de fiches
écrites aux phases d'entraînement
individuel » R. CHARNAY
Merci de votre attention