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1ère BT S DOM OT IQU E
Variables aléatoires continues
Lundi 04 mai 2009
Devoir surveillé n˚7
Tous les résultats seront arrondis à 10−2 .
EXERCICE no 1
On note X la variable aléatoire qui, à chaque homme prélevé au hasard, associe sa taille en centimètres. On
suppose que X suit la loi normale de moyenne 178 et d’écart-type 10.
1. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
(a) A : « Un homme prélevé au hasard a une taille supérieure strictement à 180 ».
(b) B : « Un homme prélevé au hasard a une taille inférieure ou égale à 150 ».
(c) C : « Un homme prélevé au hasard a une taille comprise entre 160 et 185 inclus ».
2. (a) Déterminer le réel a tel que P (X ≥ a) = 0, 80. Interpréter ce résultat.
(b) Déterminer le réel b tel que P (176 − b ≤ X ≤ 180 + b) = 0, 68. Interpréter ce résultat.
(c) Déterminer une estimation de la taille en dessous de laquelle se situe la moitié de la population.
EXERCICE no 2
Soit X et Y des variables aléatoires.
X suit la loi normale N ( 2 ; 0, 1 ), Y suit la loi normale N ( 3 ; 0, 2 ).
1. Déterminer la loi de la variable aléatoire Z = −2X + 3.
2. Déterminer la loi de la variable aléatoire U = X − Y .
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Variables aléatoires continues
1ère BT S DOM OT IQU E
Lundi 04 mai 2009
Correction du DS n˚7
EXERCICE no 1
1. On pose T =
X − 178
, T suit alors la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1 ) et X = 10T + 178.
10
(a) Calcul de P (A) :
P (X > 180)
= P (10T + 178 > 180)
= P (T > 0, 2)
= 1 − P (T ≤ 0, 2)
= 1 − Π(0, 2)
= 1 − 0, 5793
= 0, 4207.
P (A) = 0, 42
2. On a toujours T =
(a)
(b) Calcul de P (B) :
P (X ≤ 150)
= P (10T + 178 ≤ 150)
= P (T ≤ −2, 8)
= P (T ≥ 2, 8)
= 1 − P (T < 2, 8)
= 1 − P (T ≤ 2, 8)
= 1 − Π(2, 8)
= 1 − 0, 9974
= 0, 0003.
P (B) = 0, 003
(c) Calcul de P (C) :
P (160 ≤ X ≤ 185)
= P (160 ≤ 10T + 178 ≤ 185)
= P (−1, 8 ≤ T ≤ 0, 7)
= P (T ≤ 0, 7) − P (T < −1, 8)
= Π(0, 7) − P (T > 1, 8)
= Π(0, 7) − [1 − P (T ≤ 1, 8)]
= Π(0, 7) − 1 + Π(1, 8)
= 0, 7580 − 1 + 0, 9641
= 0, 7221.
P (C) = 0, 72
X − 178
et X = 10T + 178.
10
P (X ≥ a) = 0, 80
(b)
P (176 − b ≤ X ≤ 180 + b) = 0, 68
⇐⇒ P (10T
+
178
≥
a)
=
0,
80
⇐⇒
P
(176
− b ≤ 10T + 178 ≤
180 + b) = 0, 68
a − 178
−2 − b
2+b
= 0, 80
⇐⇒ P T ≥
≤T ≤
= 0, 68
⇐⇒ P
10
10
10 a − 178
2+b
⇐⇒ 1 − P T <
= 0, 80
⇐⇒ 2Π
− 1 = 0, 68
10
10 a − 178
2+b
⇐⇒ P T <
= 0, 20
⇐⇒ Π
= 0, 84
10
10
a − 178
2+b
0, 20 < 0, 5 donc,
<0
or, Π(0, 99) = 0, 84 donc
= 0, 99
10
10
−a + 178
⇐⇒ b = 10 × 0, 99 − 2 = 7, 9
⇐⇒ P T >
= 0, 20
10
b = 7, 90 soit : 68% des hommes ont une taille
−a + 178
comprise entre 168, 1 cm et 187, 9 cm.
⇐⇒ 1 − P T ≤
= 0, 20
10
−a + 178
⇐⇒ Π
= 0, 80
(c) 178 étant la moyenne de cette loi normale, la moitié
10
de la population à une taille inférieure à 178 cm.
−a + 178
Or, Π(0, 84) = 0, 80 donc :
= 0, 84
10
⇐⇒ a = 178 − 10 × 0, 84 = 169, 6
a = 169, 60 soit : 80% des hommes ont une
taille supérieure ou égale à 169, 6 cm.
EXERCICE no 2
1. Z suit la loi normale de paramètres :
Donc : Z
m = −2E(X) + 3 = −2 × 2 + 3 = −1
σ = | − 2|σ(X)
= 2 × 0, 1
= 0, 2
(
m = E(X)
− E(Y )
=p
2−3
= −1
p
2
2
2
2
σ = σ(X) + σ(Y ) = 0, 1 + 0, 2 = 0, 22
N ( −1 ; 0, 2 ) .
2. U suit la loi normale de paramètres :
Donc : U
(
N ( −1 ; 0, 22 ) .
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