Corrigé

Mathématiques Lycée Schuman-Perret
2015-2016
Exercice 1
Une entreprise, qui fabrique et vend des ordinateurs sur commande, modélise le bénéfice en euros pour x ordinateurs
fabriqués et vendus en une journée, par la fonction :
f (x) = x3 − 60x2 + 900x − 500.
L’entreprise ne pouvant construire plus de 30 ordinateurs par jour, on aura 0 6 x 6 30.
1. (a) f (4) = 2204 donc pour 4 ordinateurs le bénéfice est de 2204(
f (10) = 3500 donc pour 10 ordinateurs le bénéfice est de 3500(
(b) On obtient : f ′ (x) = 3x2 − 120x + 900
(c) Factorisons : f ′ (x) = 3x2 − 120x + 900, son discriminant : ∆ = (−120)2 − 4 × 3 × 900 = 3600
√
−(−120) ± 3600
Les racines ont :
c’est à dire 10 et 30
2×3
La factorisation est alors 3x2 − 120x + 900 = 3(x − 10)(x − 30)
Le signe de f ′ (x) et les variations f (x) sont alors les suivantes
x
3
(x − 10)
(x − 30)
f ′ (x)
0
f (x)
10
30
+
|
+
|
−
0
+
|
−
|
−
0
+
0
−
|
max
✒
❅
❅
❘
❅
min
+∞
+
+
+
+
✒
(d) f est donc maximale lorsque x = 10, et la valeur de ce maximum est f (10) = 3500(.
2. La courbe C donnée ci-dessous représente l’évolution du bénéfice en fonction du nombre d’ordinateurs fabriqués
et vendus en une journée suivant le modèle choisi par l’entreprise.
bénéfice en (
4000
a Pour un bénéfice d’au moins
2 500 (. il faut entre 5 et 16
machines
3500
3000
2500
b contrat A : acheter 300 ordinateurs à fabriquer en dix
jours ;
2000
soit 30 ordinateurs par jour :
le bénéfice est négatif.
1500
contrat B : acheter 100 ordinateurs à fabriquer en cinq
jours ;
1000
soit 20 ordinateurs par jour :
le bénéfice est positif.
500
ordinateurs fabriqués
0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
L’entreprise a intérêt à choisir
le contrat B.
−500
1
Stéphane Le Méteil
Mathématiques Lycée Schuman-Perret
2015-2016
Exercice 2
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des réponses proposées
est correcte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.
Pour chaque question une courte justification est demandée.
1. La suite (Un ) est géométrique de premier terme U0 = 10 et de raison q = 3, alors :
a.
U4 = 22
b.
c. U4 = 10 × 33
U4 = 810
U4 = 10 + 3 × 4
d.
Car U 4 = U0 × q 4
2. La suite (Vn ) est arithmétique de premier terme V0 = 0 et de raison r = 5 alors la somme
V0 + V1 + · · · + V10 est égale à :
a. 0
b. 50
c. 250
275
d.
Car S10 =
V0 + V10
× 11
2
3. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 10] par :
f (x) =
x2 + 5x
.
3x + 4
La dérivée de la fonction f est donnée par :
a.
f ′ (x) =
2x + 5
3
b.
f ′ (x) =
9x2 + 38x + 20
(3x + 4)2
c.
f ′ (x) =
car f ′ (x) =
3x2 + 8x + 20
(3x + 4)2
u′ v − uv ′
v2
4. On considère la fonction g définie pour tout nombre réel x par :
g(x) = 2x3 + 4x + 2.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de g au point d’abscisse 2 est :
a.
y = 26x + 2
b.
y = 28x − 30
c.
y = 28x + 26
car f (2) = 26 et y(2) = 26
2
Stéphane Le Méteil