SUR UNE FORMULE GÉNÉRALE POUR LE CALCUL DES PRIMES

SUR UNE FORMULE GÉNÉRALE POUR LE CALCUL DES P R I M E S
PURES D'ASSURANCES SUR LA VIE
PAR M. MAURICE FRéCHET,
Professeur à /' Université de Strasbotirg, Strasbourg, France.
INTRODUCTION
Dans son ouvrage Introduction à la science actuarielle, M. Du Pasquier
obtient quelques formules générales qu'il n'avait trouvées «dans aucun traité
et qui renferment comme cas particuliers les formules classiques pour le calcul
de la prime unique aussi bien que de la prime échelonnée)).
Les formules nouvelles auxquelles il fait ainsi allusion sont des formules
dans lesquelles le second membre variant avec le genre d'assurance envisagée
ne se distingue pas de celui des formules classiques et représente la valeur actuelle
des contrats. La nouveauté consiste dans le premier membre qui a l'expression
générale suivante
PDx+a(Nx-Nx+t)
et représente la valeur actuelle des primes (soient une prime unique P, et une
prime annuelle a constante, anticipée, temporaire pendant t années) pour lx
assurés, à l'époque de leur naissance.
Il nous a paru que l'utilité d'une formule générale était beaucoup plus
manifeste pour l'expression du second membre, étant donnée la grande variété
des engagements pris par les assureurs. Tandis que le paiement des primes ne
s'écarte guère des trois types: prime unique, prime constante vie entière;
prime constante temporaire.
On trouvera dans ce qui suit une formule générale qui s'applique, quelle
que soit la forme du contrat (supposé sur une seule tête).
L'un des buts poursuivis est celui même de M. Du Pasquier: obtenir une
formule générale qu'il suffit de particulariser dans chaque cas concret sans avoir
besoin d'imaginer à chaque fois un raisonnement nouveau. La généralité
obtenue—'concernant aussi bien les différentes formes d'engagements de l'assureur
que les différents modes de paiement des primes—est considérablement plus
étendue que celle qu'a atteint M. Du Pasquier.
Toutes les fois qu'on sera embarrassé par une combinaison nouvelle, on
pourra, au lieu de recherqher le prix de revient par une subtile méthode indirecte,
remplacer purement et simplement les quantités qui figurent dans la formule
générale (7) par celles qui correspondent à la combinaison considérée.
Nous ne recommandons pas pourtant particulièrement cette manière de
faire. C'est pour d'autres raisons que nous signalons cette formule. D'une
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MAURICE FRECHET
part, en effet, elle montre que toute prime peut s'exprimer en fonction des
nombres de commutation, vérité d'expérience qui se trouve ici établie de façon
tout à fait générale. Et, d'autre part, elle permet d'écarter, comme nous le
verrons plus loin, une objection justifiée portant sur le mode d'établissement des
formules particulières.
Données et notations.—-Nous supposerons d'abord, dans ce qui suit, que
l'unité de temps envisagée est l'année.
Soit alors x l'âge en années de la tête assurée, au moment de la signature
du contrat.
On ne sait pas d'avance quelles seront les sommes payées soit par l'assureur,
soit par le payeur de primes au cours de la ne année du contrat. Mais on sait
d'avance quelles seront ces sommes en cas de vie, et quelles seront ces sommes en
cas de décès. C'est cela que doit spécifier le contrat.
On sait donc quelle somme Vx+n sera payée par l'assureur au momen
où l'assuré entre dans l'âge x+n, s'il atteint cet âge et l'on sait quelle somme
Ax+n paiera l'assureur l'année du décès de l'assuré, si ce décès a lieu à l'âge x + n.
Cette dernière somme pouvant être payée à des époques variables suivant le
mois du décès, nous supposerons par exemple qu'elle est en moyenne payable en
fin d'année de décès.
D'autre part, les primes n'étant jamais payables que pendant la vie du
payeur de primes, nous savons qu'en entrant dans l'âge x + n celui-ci devra
payer une prime px+n et que l'assureur ne recevra plus rien du chef de ce contrat
après le décès du payeur de primes.
Bien entendu, dans les cas particuliers, certaines des sommes Fx+M,
px+n pourront être nulles.
Ax+n,
Calcul du prix de revient du contrat.—-Ceci étant, appelons U le prix de
revient du contrat, c'est-à-dire la prime pure unique équivalente à l'ensemble
des primes convenues.
Puisque pour les primes pures, nous faisons abstraction des charges, des
bénéfices et des pertes, il est indifférent pour le payeur de primes de s'adresser
à un seul assureur qui lui garantira l'ensemble des engagements inscrits dans le
contrat, ou de s'adresser à autant d'assureurs qu'il y a de sommes Vx+n, Ax+n
à assurer.
Ainsi U est égal à la somme des primes pures relatives aux paiements de
chacune de ces sommes prises isolément.
Or Vx+n est une somme à payer au moment où l'assuré entre dans l'âge x+n
et seulement s'il atteint cet âge. La prime afférente à Vx+n seul est donc la
prime pure unique à payer à l'âge x pour un capital Vx+n différé de n années en
cas de vie. Cette prime est manifestement proportionnelle à Vx+n. Elle est
égale à Vx+n. (nEx) en désignant par la notation (nEx) la prime correspondant
à un capital assuré de 1.
De même, la prime afférente à Ax+n est égale à Ax+n. (nFx) en désignant
par (nFx) la prime pure unique à payer à l'âge x pour une assurance en cas de
SUR LE CALCUL DES PRIMES PURES D'ASSURANCES SUR LA VIE
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décès temporaire pendant une année, différée de n années et pour un capital
de 1. Finalement
U= Vx+ Vx+1. (i£*)+ . . . + Vx+n. („£*)+. ..
+AX . (0FX)+AX+1. (,FX)+. . . +Ax+n.
(nFx)+.
..
Mais U est équivalent à l'ensemble des primes px+n. C'est-à-dire qu'au lieu
de payer ces primes aux époques convenues, l'assuré pourrait en payant U
charger un nouvel assureur de lui payer les sommes px+n- Autrement dit, U est
le prix de revient du contrat consistant à substituer aux sommes Vx+n les sommes
px+net à supprimer les paiements des sommes Ax+n. Par suite, la formule précédente conviendra à ce nouveau contrat moyennant les modifications indiquées.
D'où
U^px+Px+i- (iEx)+px+2. (2EX)+. . . +px+n. (nEx)+. . .
On a donc finalement une première formule générale
Px + Px+l-(lEx)+Px+2- (zEx)+ . . . +px+„. (nEx)+ . . . =
(1)
Vx+ Vx+l.(,Ex)+Vx+2.
+ A , . (oFx) + Ax^.
(2EX)+. . . + Vx+n.(nEx)+.
G^.) + A, +2 . (2FX)+. . . +Ax+n.
..
(nFx)+.
..
On peut simplifier cette formule en calculant les (nFx) en fonction des (nEx),
suivant un raisonnement connu.
Si un assuré d'âge x paie une prime unique (nFx) + (n+lEx) l'assureur devra
payer 1 à la fin de la (n + l)Q année du contrat, soit au bénéficiaire si l'assuré
décède au cours de cette année, soit à l'assuré si celui-ci survit à la fin de la
même année. L'assureur ne paie rien dans les autres cas. On voit qu'en somme,
l'assureur s'engage à payer 1 à la fin de la (n+l)leme année du contrat, si l'assuré
est en vie en entrant dans l'âge x + n. Il revient au même pour l'assureur
d'avancer ce paiement de 1 d'une année en escomptant ce paiement, c'est-à-dire
en payant I X
ou v francs si on pose v—
, i désignant le taux d'intérêt
1+i
1+i
annuel pour un franc. Finalement (nFx) + (n+1Ex) est la prime pure unique
payable à l'âge x pour un capital v différé de n années en cas de vie. D'où:
(2)
(nFx)=v.
(1tEx)-(n+lEx).
La formule (1) devient alors:
Px + Px+i- (lEx)+px+2.
(3)
(2EX)+ . . . +px+n- (nEx)+ • . . =
Vx+ Vx+1. (1EX) + Vx^. (2EX)+. .. + Vx+n. (nEx)+ . ..
+v. Ax + (vAx+1 - Ax) (XEX) + (vAx+2 - Ax+1)
+ (yAx+n-Ax+n-i)(nEx)
(2EX) + . . .
+ . ..
Cette formule, s'appliquant à toutes les combinaisons d'assurances sur une
seule tête, est indépendante de la théorie des probabilités. Elle suppose seulement
que, pour chaque durée n et pour chaque âge x, le prix d'un contrat d'assurances
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MAURICE F R É C H E T
de capital différé de n années en cas de vie a une valeur déterminée proportioneile au montant du capital assuré. Le prix (nEx) de ce contrat pour un
capital assuré de 1 franc pourrait, par exemple, être déterminé expérimentalement
au moment où les opérations de l'assureur atteindraient la stabilité. Il est
d'avance évident que ce prix doit être inférieur à la valeur actuelle vn d'un
paiement certain de 1 franc différé de n années. On aurait donc à déterminer
expérimentalement le coefficient k tel que
(nEx)=k.v\
Introduction de la probabilité de survie.—-Pour calculer nEx le raisonnement
ordinairement usité peut se présenter sous la forme suivante:
Supposons qu'au même moment, un certain nombre Lx d'assurés d'âge x
souscrivent chacun une assurance pour un capital de 1 franc différé de n années
en cas de vie. A moins que certains assurés présentent des risques spéciaux
tarifés à part, l'assureur est obligé de leur demander à chacun la même prime
(pure unique) nEx. Il reçoit donc au total la somme Lx. (nEx). Au bout de n
années, cette somme placée à intérêts composés est devenue
Lx.(nEx).(l+i)n
et elle devrait compenser le versement que l'assureur doit faire aux survivants.
Si donc le nombre de ceux-ci est désigné par Lx+n on voit qu'il n'y aurait ni
bénéfice, ni perte si l'on avait
Lx. (nEx). (l+ï)n
ou en posant encore v-
= Lx+n
1
1+i
xJ n
~R —
n^x
r
T
Mais l'assureur ne connait pas d'avance la valeur de Lx+n) il sait seulement que
si le nombre Lx des contractants est assez grand, le rapport —^^-est, pratiquement,
I>x
voisin d'un nombre donné par les tables de survie sous la forme-^*, et qu'on
lx
appelle probabilité de survie de l'âge x à l'âge x+n.
Dans l'ignorance de la
valeur précise de x+n
.
pour
ceux
de
ses
assurés
qui
ont
contracté à l'âge x une
valeur précise de x+n. pour ceux de ses assurés qui ont contracté à l'âge x une
I>x
l différé de n années, l'assureur adopte la solution équit<
assurance d'un capital différé de n années, l'assureur adopte la solution équitable
consistant à remplacer ce rapport inconnu par sa valeur moyenne connue ^ t ^
lx
et il prend
n
nEx=^.v
.
lx
Objection.—Le raisonnement précédent repose soir l'hypothèse que Lx est
grand. Or, même pour une grosse entreprise d'assurance, le nombre de ceux
SUR LE CALCUL DES PRIMES PURES D'ASSURANCES SUR LA VIE
861
qui contractent une assurance de capital différé, précisément à l'âge x et précisément pour une durée de n années n'est pas très considérable.
Réfutation.—La formule (2) permet de réfuter l'objection, ou, plutôt d'en
diminuer la portée en étendant celle du raisonnement.
En effet, la formule (3)
montre qu'on peut considérer toute combinaison d'assurance comme se ramenant
à une combinaison d'assurances de capitaux différés de diverses durées. De
sorte que tout assuré d'âge x peut être considéré comme ayant contracté une
assurance d'un capital différé de n années pourvu que l'un des montants correspondants px+m Vx+n ou vAx+n — Ax+n^ ne soit pas nul. Il suffira pour cela qu'il
ait à payer une prime à l'âge x+n ou qu'il soit couvert par une assurance soit
en cas de vie, soit en cas de décès jusqu'à l'âge x+n.
On voit alors que le groupe sur lequel portait le raisonnement précédent
est beaucoup plus étendu que celui considéré tout d'abord et par suite qu'il
n'est plus excessif d'admettre que le rapport observé —^*est voisin du rapport
l'x
prévue .
h
Introduction des nombres de commutation.—Oh peut maintenant remplacer
dans la formule (2) les nombres nEx par leurs valeurs. On a vu que
(4)
JEx =
l
v" *±».
t'X
On évitera l'emploi simultané de deux tables, une de survie, une d'intérêts,
en calculant d'avance les quantités Dx = lxvx et en remarquant qu'alors
(5)
«£*=%JiU X
Au lieu de remplacer directement (nEx) par cette valeur dans la formule (3)
il vaut mieux se servir de la formule (1) après avoir calculé nFx au moyen des
formules (2) et (4) :
„«+1
\
tx
lx+n+i
h
OU
a
*F~ = w-f-l
v
x-{~n
h
en appelant dx+n le nombre de décès lx+n — lx+n+1 à l'âge x+n donné par la table
de survie. En posant Cx = dx.vx on aura
(6)
C
nF*=v
-^.
DX
Il ne reste plus qu'à remplacer dans (1) les quantités nEx et nFx au moyen
des formules (5) et (6). On obtient ainsi la formule finale
(7)
pX'Dx+px+1.Dx+1+pxjr2.Dx+2+.
. . +px+n.Dx+n
+ ... =
Vx.Dx+Vx+1.Dx+1+Vx+i.Dx+2+...+Vx+H.Dx+H+...
+ v[Ax. CÄ + AÄ+1. Cx+x + Ax+2. C Ä+2 + • • • +A*+M. Cx+n+ . . . ].
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MAURICE FRECHET
Telle est la formule générale qui permet le calcul des primes px+n payables en
entrant dans Vage x+n pour une assurance contractée à Vage x et qui garantit le
paiement de sommes telles que Vx+n payables au ne anniversaire du contrat si Vassuré
est en vie à cette époque, et de sommes telles que Ax+n payables en moyenne en fin
d'année de décès si l'assuré meurt à l'âge x + n.
Méthode dite eulérienne.—-Une fois légitimée la formule (7), on peut la
retrouver d'une façon plus rapide en écrivant que si lx assurés du même âge
contractent la même assurance, la valeur actuelle, à une époque quelconque des
engagements des lx assurés est égale à la valeur actuelle, à la même époque, des
engagements de l'assureur en supposant que les décès des contractants suivent
exactement la loi de mortalité exprimée par la table dressée d'avance des
nombres lx. En prenant pour époque de base leur naissance, la valeur actuelle
des primes px+n payées par les lx+n survivants à l'âge x+n sera égale à la
somme px+n.lx+n
escomptée de x+n années, soit
==
Px+n-lx+n-V
Px+n-I'x+if
De même, la valeur actuelle des capitaux Vx+n sera Vx+n.Dx+n.
la valeur actuelle des capitaux A*+w payés à dx+n bénéficiaires sera,
années auparavant:
Ax+n. dx+n. vx+n+1 = vAx+n. Cx+n.
Enfin,
x+n+1
D'où la formule (7).
Seulement, cette façon de procéder constitue plutôt un moyen mnémotechnique qu'une méthode de démonstration. Les nombres réels des survivants et
des décès sont très différents des nombres lx, dx. Ce sont les rapports de ces
nombres qui sont voisins des rapports correspondants. Ce qui fait que l'équation obtenue par ce second moyen est cependant valable, c'est que cette équation
est homogène par rapport aux lx.
Dans Je cas particulier envisagé par M. Du Pasquier on a:
px = P+a, px+1 = a, . . ., px+t^
= a, px+t = px+t+1=
...=0;
le premier membre de (7) devient
(P+a)Dx+
. .. +aDx+i„1
= PDx+a(Dx+
. ..
+Dx+t^)
ou
PDx+a(Nx-Nx+t)
en posant
(8)
Nx =
Dx+Dx+x+...
On retrouve ainsi l'expression de M. Du Pasquier.
REMARQUES
I. D'après ce qui précède, nous avons appelé pr, Vr les sommes à payer
respectivement par l'assuré et par l'assureur, si l'assuré est en vie en entrant
dans l'âge r. E t nous avons supposé ces sommes payables au rième anniversaire,
ou comptées pour leurs valeurs à cette époque. Si l'existence de l'assuré, en
entrant dans l'âge r déterminait le paiement de sommes payables à d'autres
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863
époques, nous aurions donc à prendre pour pr, Vr les valeurs actuelles de ces
sommes (respectivement dues par l'assuré et par l'assureur) capitalisées ou
escomptées au rieme anniversaire. De même, Ar dans notre notation désigne la
valeur capitalisée ou escomptée à la fin de l'année du décès lorsque ce décès a
lieu à l'âge r.
Si donc, par exemple, on admet que les paiements en cas de décès ont lieu
immédiatement après le décès et que comme les décès se répartissent assez régulièrement tout le long de l'année, les paiements ont lieu en moyenne au milieu
de l'année du décès, alors si l'on appelle ôr la valeur effective du capital assuré
en cas de décès à l'âge r on devra prendre pour Ar
Ar = ( l + « ) i 8 r = - ^ =
Vv
et comme les termes en A dans la formule (7) sont multipliés par v, il faudra
remplacer dans cette formule Ar par ôr et v par Vv.
IL Le raisonnement et les formules obtenues ne seraient pas altérées si
l'unité de temps était, non pas l'année, mais le semestre, le trimestre, le mois, . . .
Seulement, les notations x, i, v . . . se rapporteraient à la nouvelle unité de
temps. Comme les tables de mortalité se rapportent, en général, au cas où
l'unité de temps est l'année, il faudrait interpoler selon les méthodes développées
dans les traités d'assurances pour obtenir les valeurs des lx, Dx, . . . relatives aux
semestres, trimestres, . . .
APPLICATIONS
I. Traitons, d'abord, à titre d'exemple, une des combinaisons usuelles
d'assurances: rente viagère à jouissance différée et à capital réservé. Soit à calculer
la prime annuelle P à payer à partir de l'âge x pour assurer le paiement d'une
rente viagère de 1, différée de n années, étant entendu qu'au décès de la personne
assurée, les ayants-droit recevront la totalité des primes versées, sans intérêt.
Le premier terme de la rente sera payé à l'entrée de l'assuré dans l'âge x+n et
suivra d'une année le versement de la dernière prime.
On a évidemment, dans ce cas:
Px^Px+i
= . . . =Px+n-l
Vx= Vx+i^
^P)
Px+n = Px+n+l = • • . = 0 ,
. • . = Vx+n-i ~ 0 ; Vx+n— Vx+n+l = . . . = 1 ,
A* = P ; A*+1 = 2 P ; . . .Ax+n^
= wP = A*+n = A Ä+n+1
En portant dans la formule (7) les valeurs des px+i, Vx+j, Ax+k, indiquées
ci-dessus, celle-ci devient:
P(DX+DX+1+ . .. +Dx+n-1)=Dx+n+Dx+n+l
+vP(Cx+2Cxjrl+
. . . +nCx+n-i
+ ...
+nCx+n+nCx+n+1
ou
P(Nx-Nx+n)
=Nx+n+vP(Rx-Rx+n),
+ . ..)
864
MAURICE FRECHET
en posant conformément à l'usage
MX=CX+CX+1+
... ; Rx = Mx+Mx+l
+ . ..
D'où enfin
N x+n
Nx-Nx+n-v(Rx-Rx+n)
IL Mais il est surtout intéressant d'appliquer la formule (7) à des combinaisons peu courantes, pour lesquelles les Traités d'assurances n'offrent pas
une formule toute faite et qui cependant se présentent à l'occasion aux actuaires.
Nous conseillons, pour éviter toute erreur, sur l'interprétation des indices
des quantités pr, Vr, Ar et de leurs dates de paiement, de rétablir directement
dans chaque cas la formule (7) en employant le raisonnement abrégé indiqué
plus haut.
A titre d'exemple, nous traiterons un problème posé aux examens de VInstitut
des Actuaires français.
En novembre 1905, on demandait aux candidats de calculer la prime pure
P à verser viagèrement pendant n' années pour garantir le paiement par l'assureur
en cas de décès de l'assuré des annuités restant dues pour amortir un emprunt
A que l'assuré a contracté à l'âge x en même temps que sa police d'assurance
au taux t pour 1 avec remboursement en n années. Les annuités sont payables
en fin d'année.
Escomptons les engagements de l'assureur et de lx assurés à l'époque de
la naissance, en supposant que la mortalité des assurés se conforme à une table
de survie donnant d'avance les valeurs des lr survivants à l'âge r, et désignons
par i le taux technique (pour 1) de l'assurance. La valeur actuelle des primes
1
est, en posant v= .
1+i
(11) Plxvx+Plx+lvx+1 + . . +Plx+n,_1f+»'-*=P(Dx+
..+ZW-i)
=P(Nx-Nx+n>).
Le seul engagement de l'assureur consiste à payer en cas de décès à l'âge r
et en fin d'année de décès une certaine somme Ar. De sorte que la valeur actuelle
des engagements de l'assureur est:
Axdxvx+1 + Ax+1dx+1vx+2 + . . . =v[AxCx + Ax^Cx+l+
(12)
. . . ].
Calculons les A; Ax+r est la somme des valeurs escomptées en fin d'âge x + r
des annuités (que nous appellerons a) restant à payer. Soit, en posant w —
:
L+t
Ax+r = a+aw+aw2+
. .. +awn~l~r =
—(l-wn~r).
tw
La valeur de l'expression (12) est donc
°^{(l-wn)Cx+ . . . +(l-wn~r)Cx^r+ . . .
tw
= ~{Mx-Mx+n-(wnCx+
tw
. .. + w * - ' C , + r + . . .
+(l-w)Cx^n^}
+wCx+n-x)}.
SUR LE CALCUL DES PRIMES PURES D'ASSURANCES SUR LA VIE
865
On a donc l'expression de P :
**V
\Mx-Mx+n-(w«Cx+
. . .+wn~rCx+r+ . .
.+wCx+n^)}.
tw(Nx-Nx+n>)
Si on donne, non pas a, mais le capital A à amortir, on remplacera a par
P=
At
l-wn
P-
n
De sorte que
—
^
\Mx-Mx+n-(wnCx+
. . +wn-rCx+r+
w(l-w
)(Nx-Nx+n>)
Dans le cas particulier où i — t, la formule se simplifie:
wnCx+ . .. +wn~rCx+r+ . .. +wCx+n-1 =
vndxvx+ . .. +v«~'dx+rvx+r+ . . . +vdx+n„1vx+n~1 =vx+n(lx-lx+n)
et
A
Pss
l~v
n
\
JMx~Mx+n+Dx+n-vnDx
Nx-Nx+n<
..
+wCx+n„l)}.
=vnDx~Dx+n