Feuille d`exercice 10 : Méthodes numériques de résolution d`un

UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
Département de Mécanique
Feuille d’exercice 10 : Méthodes numériques de résolution
d’un système d’équations linéaires
L’objectif de ce TP numérique est d’implémenter sous Matlab l’algorithme de Gauss vu en cours de
résolution d’un système linéaire.
Partie 1 : Résolution d’un système linéaire triangulaire inférieur.
Dans le TD précédent, nous avons créé une fonction sous Matlab qui permet de résoudre un système
linéaire à matrice triangulaire inférieure. En partant de ce programme, implémenter sous matlab l’algorithme
suivant qui permet de trouver la solution Y d’un système d’équation linéaire LY = B où L désigne une
matrice triangulaire inférieure inversible de taille n, et Y, B ∈ Mn,1 (R).
Pour i = 1, ...n faire :


X
Lij yj  /Lii
y i =  bi −
(1)
(2)
j<i
(3)
Fin
On écrira une fonction qui en entrée prend une matrice triangulaire inférieure L et une matrice colonne B
et en sortie donne la solution Y du système LY = B. On testera ensuite cette fonction sur des matrices
triangulaires simples dont on connaît la solution analytique ou en comparant avec la solution donnée par
Matlab.
Partie 2 : Algorithme de Gauss de factorisation LU
Implémenter sous matlab l’algorithme de Gauss qui permet de décomposer une matrice A inversible quelconque en le produit d’une matrice L triangulaire inférieure à diagonale unité et d’une matrice U triangulaire
supérieure.
1
Pour k = 1, ...n faire :
Lkk = 1
Ukk = Akk −
X
Lkj Ujk
j<k
Pour i = k + 1, ...n faire :


X
Lij Ujk  /Ukk
Lik = Aik −
j<k

Uki = Aki −
X
j<k

Lkj Uji 
fin
fin
(4)
On implémentera cet algorithme sous forme d’une fonction qui en entrée prend une matrice carrée de taille
n A et en sortie donne une matrice triangulaire inférieure de diagonale unité L et une matrice triangulaire
supérieure U tel que A = LU .
Partie 3 : Résolution d’un système linéaire à l’aide de la méthode de Gauss
Utiliser ces 2 fonctions ainsi que la fonction codée dans la partie 1 du précédent TD, pour résoudre un
système linéaire d’équations AX = B.
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