approche financiere de l`option de rachat

APPROCHE FINANCIERE
DE L’OPTION DE RACHAT
Carole BERNARD
Université de Waterloo, Ontario, Canada
RESUME
Dans une première partie, nous situons le problème de l’évaluation de l’option de
rachat d’un contrat d’assurance-vie par rapport aux différents travaux sur le sujet. Nous
soulignons en particulier la dualité des approches actuarielles et financières de ce même
problème. Dans une seconde partie, après avoir remarqué l’importance du caractère
stochastique des taux, nous expliquons comment la méthode de Monte Carlo de Longstaff
et Schwartz [2001] pour l’évaluation des options américaines peut s’appliquer au problème
de l’évaluation en valeur de marché de l’option de rachat dans un contrat d’assurance-vie.
ABSTRACT
This study is devoted to the surrender options embedded in life insurance contracts.
The first part is a review of the literature on the subject. We underline the differences
between the two standard ways to tackle this problem: the actuarial approach and the
financial approach. The second part of the article shows how to apply the least squares
approach of Longstaff and Schwartz [2001] to value American derivatives to obtain the fair
value of the surrender option of a standard participating contract with a minimum
guaranteed rate, taking into account the interest rate risk and the default risk.
Notre étude se décompose en deux parties. Tout d’abord, il s’agit de rappeler les
différentes approches du problème de l’évaluation de l’option de rachat dans un contrat
d’assurance-vie en soulignant les différences entre l’approche actuarielle et l’approche
financière. Puis nous donnons une approche possible du problème permettant d’obtenir une
évaluation en fair value de l’option de rachat tout en tenant compte du caractère
stochastique des différents paramètres du problème, en particulier des taux. Notre approche
s’appuie sur la théorie des options. Chaque option du contrat, offrant à l’assuré la
possibilité de modifier son contrat en cours, doit figurer dans le contrat initialement signé et
a généralement une valeur non nulle. Une option offre en effet à l’assuré une opportunité
qu’il est libre d’exercer, par exemple celle de convertir un capital en rente ou celle
BULLETIN FRANÇAIS D’ACTUARIAT, Vol. 7, n° 13, janvier-juin 2007, pp. 39-66
40
C. BERNARD
d’exercer une option de sortie du contrat. L’option de conversion d’un capital en rente a été
particulièrement étudiée par Ballotta et Haberman [2003] et Biffis et Millossovich [2004].
Citons également Pelsser [2003] et Quittard-Pinon [2002]. Nous nous consacrons ici à une
option de sortie du contrat, celle de rachat anticipé. On parle de rachat du contrat lorsque le
souscripteur souhaite ne plus payer sa prime et récupérer la valeur actuelle constitutive de
son contrat. Cette option, si elle est exercée, peut entraîner un surcoût pour l’assureur. Elle
doit donc être évaluée et faire l’objet d’une prime versée initialement à l’assureur, acquise
définitivement, que l’assuré exerce ou non son droit. Le but de notre travail est de
modéliser et évaluer le surcoût éventuel pour l’assureur au moment où l’assuré fait exercice
de son droit. La valeur de cette option peut être calculée de manière à comporter une
restitution au souscripteur d’une partie du prix de l’option en cas de non exercice (sorte de
prime de fidélité). Il s’agit alors d’une autre option à l’intérieur de l’option de rachat, le prix
initial d’une telle option de rachat sera donc nécessairement plus élevé que l’option de
rachat classique (cf. Bisch [1999]).
En pratique, la valeur de rachat d’un contrat est calculée à partir du montant des
provisions mathématiques correspondantes, mais dans tous les cas elle ne peut excéder la
valeur de la contre-assurance (remboursement des primes versées). Dans le cas d’un contrat
où le capital en cas de vie versé est supérieur au capital en cas de décès, la valeur de rachat
est inférieure au capital décès. Le rachat, en mettant fin au contrat de manière anticipée, est
parfois une opération désavantageuse pour l’assuré, qui répond alors à un besoin financier
urgent. En fait, un assuré, qui décide de cesser le paiement de ses primes, a le droit de
récupérer une partie des provisions de son contrat avec cependant certaines limites fixées
par le Code des Assurances, à savoir que seule la provision mathématique est la base du
remboursement, que l’assureur peut prélever une indemnité pour rupture des engagements
contractuels1 et surtout qu’un contrat ne peut être racheté dans les deux premières années. 2
Les pertes pour l’assureur correspondent au versement de la valeur de rachat et à la baisse
1
Cette indemnité ne peut excéder 5 % des provisions mathématiques et doit être nulle si la rupture du contrat a lieu
au-delà de 10 ans après la signature de celui-ci (article R-123-1 du Code des Assurances)
2
Précisément, l’article L-132-23 du Code des Assurances stipule que dans le cas des contrats à prime périodique,
l’assureur a le droit de considérer la valeur de rachat nulle dans les deux premières années du contrat et tant que
moins de 15 % des primes ont été versées.
APPROCHE FINANCIERE DE L’OPTION DE RACHAT
41
de ses bénéfices futurs due à l’arrêt d’un contrat (qui pouvait être a priori avantageux pour
la société).
Pour éviter le risque d’antisélection, toutes les options ne sont pas autorisées. En
particulier, certains contrats ne permettent pas d’option de rachat, notamment les contrats
en cas de vie. En effet l’option de rachat donne la possibilité à l’assuré, quand il le souhaite,
de résilier son contrat, récupérer son capital et le réinvestir ailleurs. Dans un contrat en cas
de vie, si l’assuré décède pendant la durée du contrat, l’assureur n’a aucune prestation à
verser. Un assuré, sentant ses chances de survie improbables, aurait tout intérêt à racheter
son contrat avant la fin et laisserait ainsi à l’assureur uniquement les contrats arrivant à
terme, ce dernier se retrouvant alors dans l’incapacité de mutualiser les risques.
Une solution pour la compagnie serait de fixer la valeur de rachat bien en dessous de
sa valeur effective. Le seul avantage est de permettre ainsi à la société de négliger
complètement l’existence d’une option de rachat dans sa tarification et de résoudre alors
trivialement le problème de son évaluation. Cette technique est en fait fortement
déconseillée : d’une part, un assuré amené à résilier contre son gré son contrat pour des
raisons personnelles se sentira abusé ; d’autre part, les échéances des contrats d’assurancevie sont souvent très longues, les investisseurs exigent de garder la possibilité de récupérer
leur investissement à tout moment. Il est donc nécessaire de leur assurer la possibilité d’un
rachat dans des conditions correctes. Dans la pratique, les conditions d’exercice du droit de
rachat sont très favorables aux assurés et la concurrence entre les assureurs les oblige à ne
soumettre l’assuré à aucune pénalité en cas de rachat anticipé.
L’évaluation de l’option de rachat cachée dans les contrats d’assurance-vie est un
point très controversé. Les avis sur la modélisation du comportement de rachat des assurés
sont totalement divergents. Peut-on considérer qu’une option de rachat n’est autre qu’une
option américaine ? que les assurés se comportent comme des agents rationnels sur un
marché ? Nous allons dans un premier temps décrire les différentes approches de ce sujet
avant de donner notre approche du problème.
1.
TOUR D’HORIZON SUR L’OPTION DE RACHAT
Les études concernant l’option de rachat dans les contrats avec minimum garanti et
participation aux bénéfices sont relativement récentes. Pendant longtemps ce type d’option
était négligé dans les contrats participatifs à taux minimum garanti, car le taux garanti était
très bas, et la compagnie fixait le taux de participation aux bénéfices chaque année en
fonction de ses résultats. Cependant une baisse des taux d’intérêt importante dans les
42
C. BERNARD
années 90 a provoqué la faillite de compagnies d’assurance-vie qui avaient sous-estimé le
risque des contrats commercialisés en proposant des taux minimum garantis trop hauts.
D’autre part, si les taux montent brusquement, les clients auront tendance à racheter leur
contrat pour accéder à des taux plus compétitifs tandis que l’assureur se verra dans
l’obligation de revendre des obligations de son portefeuille en période de moins-values
latentes afin de rembourser ses clients (risque de liquidité). Le risque de rachat est donc, à
première vue, extrêmement lié à l’évolution des taux.
L’approche actuarielle classique consiste à évaluer l’option de rachat à partir
d’études statistiques sur le comportement de rachat. Les actuaires distinguent généralement
deux types de rachat, le rachat structurel et le rachat conjoncturel (cf. Mémoire ISUP de
Jung [2003] ou mémoire IAF de Bresson et Lehmann [2000]). Lorsque la décision de
rachat est prise indépendamment du niveau des taux du marché, on parle de rachat
structurel, c’est un rachat récurrent et permanent qui est généralement modélisé en tenant
compte de facteurs exogènes tels que l’âge, la fiscalité, le sexe... En revanche, si la décision
de rachat est motivée par une opportunité du marché, on parle de rachat conjoncturel. Les
actuaires nuancent cependant le comportement rationnel par la prise en compte de facteurs
exogènes liés par exemple aux droits de successions avantageux, aux pénalités de sortie,
aux primes de fidélité, et surtout à la perception subjective que l’assuré a de l’écart entre le
taux servi par le contrat et le taux du marché, en particulier certains auteurs introduisent un
coefficient de latence (cf. l’approche de Bossy, Pistre et Talay [1997] que nous détaillons
au paragraphe suivant). Dans sa thèse, Pras [1998] étudie l’impact de variables
économiques telles que la maturité du contrat, la fiscalité, la saisonnalité et les taux (un taux
long à 10 ans et un taux court : PIBOR à 1 mois) en effectuant une régression sur des
données historiques. Jung [2003], propose quant à elle un modèle de rachat visant à
mesurer le risque maximum auquel l’assureur doit se préparer à faire face en supposant que
le rachat a lieu si la valeur actuelle probable d’un autre placement est supérieure à celle du
contrat détenu.
Bossy, Pistre et Talay [1997] critiquent l’évaluation de l’option de rachat réalisée
sous l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage en marché arbitré ; ces auteurs
soulignent le fait que l’option de rachat ne peut être librement négociée, car certes l’assuré
peut exercer son droit de rachat du contrat mais ne peut revendre son option. Cette option
ne correspond à aucun flux réel du point de vue de l’assuré, et d’ailleurs c’est un droit qu’il
n’a pas vraiment choisi d’acheter, la législation faisant que ce droit lui est acquis. Selon ces
auteurs, elle ne doit donc pas être évaluée comme une option américaine vendue sur un
APPROCHE FINANCIERE DE L’OPTION DE RACHAT
43
marché parfait. Leur étude est menée sous la probabilité historique en ne considérant pas les
assurés comme des agents rationnels agissant sur un marché. Ces auteurs introduisent des
critères d’exercice de l’option de rachat selon que l’assuré est informé ou non du marché.
Ils distinguent deux comportements, le comportement d’un assuré impulsif au critère
“historique” et un assuré “anticipatif”, informé des paramètres financiers de l’évolution des
taux, et des placements de la compagnie. Un assuré, au comportement “historique”,
compare à l’instant t le capital initial rémunéré au rendement observé entre la souscription
du contrat et l’instant t (estimant que ce rendement soit maintenu jusqu’à la maturité du
contrat) avec le capital, minoré de la pénalité de sortie, qu’il recevrait en cas de rachat du
contrat, placé au taux du zéro-coupon de maturité l’échéance du contrat. L’assuré
“anticipatif” calcule l’espérance des flux futurs sous la probabilité historique
conditionnellement à l’information détenue en t et la compare avec le capital de sortie
placé au taux du zéro-coupon. Les deux critères de rachat proposés sont tempérés par un
coefficient de latence qui modélise un individu plus ou moins impulsif et plus ou moins
confiant dans ses prévisions. Ce coefficient de latence permet de modéliser des
comportements irrationnels d’individus ne réagissant pas du tout à leur propre critère.
Berthelot, Bossy et Pistre [2001] utilisent dans leur étude le cas d’un individu au
comportement “historique”, ne sachant pas anticiper le marché. Dans les deux études citées
ici, le problème est traité avec des simulations de Monte Carlo.
À l’approche actuarielle classique, nous opposons l’évaluation d’une option de
rachat avec le modèle traditionnel d’une option américaine, c’est-à-dire en temps continu
avec la théorie de l’arbitrage. Dans ce type d’approche, seul l’aspect financier décide du
rachat du contrat. Les premières études de ce type sur l’évaluation de l’option de rachat
d’un contrat d’assurance-vie concernent des contrats indexés sur l’évolution d’un fonds,
avec un rendement minimum garanti à maturité. Classiquement l’assuré reçoit à l’échéance
le maximum entre un capital rémunéré au taux garanti rg et la valeur d’un fonds V .
Brennan et Schwartz [1976] et Boyle et Schwartz [1977] obtiennent le prix de tels contrats
dans le cadre classique de Black et Scholes [1973] : la dynamique de V est modélisée par
un mouvement brownien géométrique et tous les paramètres sont constants. Dans ce
modèle simple d’évaluation, Grosen et Jørgensen [1997] montrent que l’étude de la valeur
d’une option de rachat se ramène à l’évaluation d’une option de vente américaine classique.
Ils exhibent alors une barrière optimale d’exercice d’après les résultats de Myneni [1992].
Aucune participation aux bénéfices n’est envisagée dans ce modèle.
Citons aussi Albizzati et Geman [1994] qui proposent un modèle d’évaluation de
44
C. BERNARD
l’option de rachat entre l’approche risque-neutre et celle actuarielle. Ces auteurs étudient la
valeur de l’option de rachat d’un contrat à taux minimum garanti, proportionnel au
rendement d’une obligation d’état. L’étude est faite dans un modèle de taux stochastiques
de type Heath, Jarrow et Morton [1992]. Un raisonnement d’arbitrage leur permet d’obtenir
une formule explicite de la valeur de l’option de rachat exerçable à une seule date par
actualisation sous la probabilité risque-neutre. Ensuite, moyennant certaines hypothèses
discutables concernant l’indépendance entre les prix des zéro-coupons à différentes dates
données, elles étendent leur étude au prix d’une option de rachat exerçable à plusieurs
dates. Ces auteurs proposent alors un taux de rachat prenant en compte des comportements
observés éventuellement irrationnels et utilisent une méthodologie mixte à la fois issue de
la finance et de l’actuariat. Elles font en particulier le rapprochement du problème de
l’option de rachat cachée dans les contrats d’assurance-vie avec celui de l’option de
remboursement anticipé d’un prêt. Leur méthodologie est celle de D’Andria, Elie et Boulier
[1991] calée sur des données américaines. On peut effectivement voir un lien entre le
remboursement anticipé de crédits hypothécaires à taux fixe et le rachat anticipé d’un
contrat d’assurance-vie, mais il faut toutefois nuancer la similitude entre ces problèmes car
le secteur de l’assurance-vie a ses particularités en fiscalité et droits de succession. De plus
comme un assuré anticipe plus difficilement le rendement futur de son contrat du fait de la
participation aux bénéfices par rapport au remboursement d’un emprunt, il semble qu’il
devrait être plus réactif face à une dette qu’à un placement, autrement dit devant une
possibilité de remboursement anticipé que devant le rachat de son placement financier.
Néanmoins, pour leur application, Albizzati et Geman reprennent le modèle de
remboursement anticipé de crédits. Les contrats étudiés ici sont des contrats avec minimum
garanti mais également sans clause de participation aux bénéfices.
Les premières approches de l’évaluation de l’option de rachat avec des contrats
participatifs à taux minimum garanti utilisent des méthodes par arbres ou des méthodes par
EDP (équations aux dérivées partielles). Grosen et Jørgensen [2000] ramènent l’étude d’un
contrat participatif à l’évaluation d’une combinaison linéaire d’options, ils utilisent ensuite
à la fois les méthodes de Monte-Carlo pour évaluer les options européennes du contrat et
des méthodes par arbres de type Cox Ross et Rubinstein [1979] pour évaluer l’option de
rachat. L’approche suppose une distribution des bénéfices annuelle au taux rP indexé sur le
rendement du fonds constitué des réserves, et garanti supérieur à un taux minimum rg fixé.
Récemment, Bacinello [2003a, 2003b, 2005] évalue un contrat d’assurance-vie participatif
APPROCHE FINANCIERE DE L’OPTION DE RACHAT
45
avec taux minimum garanti avec une méthode par arbres, en tenant compte de l’option de
rachat, de la mortalité et du versement périodique des primes. Son modèle est très complet,
l’approche par arbres se prête bien à inclure un maximum de caractères annuels du contrat.
Son implémentation pratique se heurte néanmoins aux limites classiques des approches par
arbres, très coûteuses en temps de calcul et en utilisation de mémoire.
Dans Jensen, Jørgensen et Grosen [2001], l’évaluation est faite entièrement avec des
schémas numériques, l’approche tient compte du risque de mortalité. L’approche par EDP
du problème de l’évaluation de l’option de rachat est à l’origine d’une importante littérature
récente en assurance, citons par exemple Shen et Xu [2005] et Siu [2005] ou encore les
travaux de Suzuki [2004] dont l’approche est très différente des modèles usuels. Ce dernier
modélise une compagnie japonaise proposant des contrats à taux minimum garanti,
comprenant une participation aux bénéfices et une option de rachat. L’originalité est tout
d’abord de proposer un modèle en temps continu, dans lequel tous les flux sont continus et
le contrat n’a pas de maturité. Le second point, absent des autres modèles, est la présence
d’une option de vente que la compagnie possède sur les contrats (possibilité de les
convertir). Enfin, l’auteur fait le choix d’un modèle de défaut à intensité.
Cependant ces approches présentent toutes la même limite : tous les paramètres du
modèle sont constants, en particulier les taux d’intérêt sont constants. Pourtant ces auteurs
(se référer par exemple aux nombreux graphes de Jensen, Jørgensen et Grosen [2001])
montrent que l’impact d’une variation de taux sur la valeur de l’option de rachat est
important. Bernard, Le Courtois et Quittard-Pinon [2006] mettent en évidence que le fait de
considérer des taux constants amène à sous-estimer le risque de défaut et la forte sensibilité
de l’évolution du fonds à celle des taux d’intérêt (le portefeuille d’une compagnie
d’assurance-vie est en effet fortement obligataire). Il est donc important de pouvoir prendre
en compte le caractère stochastique des taux. De plus, le rachat rationnel d’un contrat à taux
minimum garanti est nécessairement fortement corrélé à l’évolution des taux sur le marché.
Enfin notons que les méthodes usuelles par arbres ou par EDP sont en général très
coûteuses en temps de calcul et occupation de mémoire et quasi-impossibles à mettre en
œuvre dans le cas général.
Pour terminer, citons Simon [2003] qui étudie le prix d’une option de rachat
exerçable à un nombre fini de dates dans un modèle de taux constants et stochastiques (de
type HJM). La participation aux bénéfices est modélisée par un bonus de taux indexé sur le
rendement d’un fonds s’ajoutant au taux minimum garanti lorsque ce rendement est
supérieur. L’étude est menée dans le cas d’un bonus annuel, et dans le cas d’un bonus versé
46
C. BERNARD
à l’échéance. Dans certains cas particuliers, Simon et Van Wouwe [2005] se ramènent à des
formules du type de l’évaluation d’une option composée (Geske [1979]). Ces auteurs
évaluent l’option de rachat comme un produit bermudéen sur un marché financier en
utilisant pleinement la théorie de l’arbitrage. Mais les formules obtenues s’écrivent à partir
de la fonction de répartition d’une loi normale multivariée et de ce fait sont difficiles à
implémenter.
Les deux manières proposées pour évaluer une option de rachat, l’approche
actuarielle ou l’approche risque-neutre semblent être complètement incompatibles. En effet,
selon l’approche actuarielle, le rachat et le marché sont quasiment indépendants, il s’agit de
modéliser le comportement des assurés le plus fidèlement possible. Dans la seconde
approche, l’assuré est rationnel et décide du rachat à partir des observations du marché. En
fait, les études statistiques montrent que la plupart des rachats sont d’origine exogène, ils
sont décidés par des facteurs sur lesquels la compagnie n’a aucun contrôle, tels que les
changements de l’état de santé de l’assuré, de sa situation familiale ou professionnelle, son
besoin de liquidité qui sont des facteurs totalement indépendants de l’évolution des taux
d’intérêts ou de la politique d’investissement de la compagnie. Cependant, nous souhaitons
évaluer le risque de rachat pour l’assureur en fair value. Le prix de ce droit doit
nécessairement être indépendant du comportement car nous cherchons une valeur de
marché. En d’autres termes, l’assuré a le droit d’agir de façon optimale et la compagnie doit
anticiper le coût d’exercice d’un tel rachat optimal car elle ne peut empêcher un assuré
d’agir dans son propre intérêt. En anticipant des comportements non optimaux, elle
s’expose à sous-estimer le risque réel auquel elle est confrontée et à se retrouver en
difficulté.
Le but de notre étude est de proposer une approche alternative à celles exposées
dans cette revue de la littérature, pour évaluer l’option de rachat en fair value. Un des
problèmes les plus difficiles en théorie des options est l’évaluation etla couverture de la
stratégie d’exercice optimal de produits dérivés à caractère américain. Le problème est
particulièrement délicat lorsqu’il dépend de plusieurs facteurs stochastiques. Nous
montrons comment aborder le problème par la simulation en nous appuyant sur des
résultats mathématiques récents sur les méthodes de Monte Carlo pour évaluer des produits
dérivés à caractère américain tels que les travaux de Longstaff et Schwartz [2001]. Le but
est d’évaluer en fair value le risque représenté pour l’assureur d’un rachat anticipé. Pour
commencer, nous ne tenons pas compte de la mortalité et le versement de la prime est
unique. Nous montrons alors comment les méthodes de Monte Carlo permettent de prendre
APPROCHE FINANCIERE DE L’OPTION DE RACHAT
47
en compte à la fois le risque de taux, le risque de défaut et le risque de rachat. Nous
approchons le problème d’un point de vue financier en n’abordant pas celui de la
modélisation du comportement. Des auteurs italiens, Andreatta et Corradin [2003] utilisent
également les méthodes de Monte Carlo pour évaluer l’option de rachat. Ces auteurs
appliquent dans un premier temps la méthode de Longstaff et Schwartz [2001] pour évaluer
des options de rachat avec un modèle de taux constants et valident ainsi la méthode en
comparant les résultats de leurs simulations à ceux de Grosen et Jørgensen [2000] obtenus
grâce à des méthodes par arbres. Dans un second temps, ils étendent l’évaluation de
l’option de rachat à un modèle de taux stochastiques de Cox, Ingersoll et Ross [1985] mais
négligent le risque de faillite de la société émettrice.
Nous commençons par définir le modèle de rachat retenu, la modélisation du risque
de taux et du risque de défaut et les notations que nous allons utiliser ensuite. Nous
expliquons ensuite comment adapter la méthode de Longstaff et Schwartz [2001] utilisée
pour évaluer des options américaines à l’évaluation de l’option de rachat. Enfin, nous
illustrons la méthode par quelques résultats numériques qui nous permettront de
comprendre les facteurs influant sur la valeur de l’option de rachat, en particulier
l’importance de modéliser le risque de faillite dans les simulations numériques. Nous
expliquons dans un dernier paragraphe comment les méthodes de Monte Carlo permettent
aussi d’inclure avec beaucoup de souplesse le risque de mortalité, le paiement périodique
des primes, l’effet cliquet, et plus généralement tous les facteurs stochastiques.
2.
LE MODELE
Nous proposons une modélisation de l’option de rachat dans un contrat d’assurancevie participatif à taux minimum garanti constant égal à rg , tel qu’il a été décrit au départ
par Briys et de Varenne [1994, 1997] puis étudié dans les travaux de Jensen, Jørgensen et
Grosen [2001] ou de Bernard, Le Courtois et Quittard-Pinon [2005]. Supposons pour
commencer que le versement de la prime se fait de manière unique. Ainsi, en date t = 0 ,
l’investissement des assurés est L0 = α A0 , celui des actionnaires vaut (1 − α ) A0 . Nous
notons Θ L (T ) , la garantie finale du contrat en absence de défaut anticipé de la compagnie
g ⎞+
⎟
⎠
: Θ L (T ) = LT + δ ⎜ α AT − LT
g
⎛
⎝
− ⎛⎜⎝ LTg − AT ⎞⎟⎠
+
Rappelons que le premier terme correspond au capital minimum garanti, idem est le
rT
capital initial rémunéré au taux constant rg ( LT = L0 e g ), le second terme est la
g
participation aux bénéfices lorsque la compagnie est en situation favorable à la maturité du
48
C. BERNARD
contrat (autrement dit, AT >
LTg
α
, ce qui signifie aussi que le rendement global du
portefeuille de la compagnie est supérieur au taux minimum garanti) et le troisième terme
correspond au défaut possible à l’échéance (les détails se trouvent dans les articles
référencés au début de ce paragraphe). Cette écriture des flux à l’échéance est dite écriture
optionnelle des flux du contrat, elle fait en effet intervenir une option d’achat (la
participation aux bénéfices dite aussi bonus option) et une option de vente (default put).
2.1
Valeur de Rachat
En cas de rachat anticipé à une date t antérieure à la maturité du contrat, l’assureur
rembourse le capital investi rémunéré au taux garanti rg pendant la durée [0, t ] (autrement
rt
dit, le montant L0 e g = Lt ) augmenté de la clause de participation aux bénéfices. Pour
g
δ ′ versée en cas de rachat anticipé
′
est moins avantageuse que celle à maturité (c’est-à-dire δ < δ ). La valeur de rachat brute
pénaliser l’assuré, nous supposons que la participation
d’impôts et de pénalité est alors égale à :
Lgt + δ ′ ⎛⎜⎝ α At − Lgt ⎞⎟⎠
+
Nous tenons compte des conditions fiscales applicables au rachat car elles sont
fortement corrélées avec la décision de rachat (cf. Pras [1998]). Si le rachat a lieu dans les
quatre premières années suivant la souscription, les plus-values sont imposées à 35 %, puis
à 15 % dans les quatre années suivantes, et à 7,5 % au-delà de huit ans, avec une
exonération dans le cas où elles sont inférieures à 4 600. Nous notons xt le taux
d’imposition des plus-values du contrat d’un montant PVt à la date t de rachat (l’instant
initial de référence étant la date de signature du contrat). À la date t , le taux d’imposition
x s’écrit aussi :
xt , At = 0.351[0,4[ (t ) + 0.151[4,8[ + 0.0751[8,+∞[ (t )1PVt > 4600
Nous le noterons xt par la suite pour simplifier, alors que les plus-values PVt
dépendent également de la valeur des actifs à la date de rachat.
De plus, pour des raisons réglementaires, la valeur de rachat est la provision
mathématique constituée par l’assureur pénalisée au plus de 5% . Notons γ le
pourcentage de la valeur de rachat finalement restitué ( γ ≥ 95% ). La valeur de rachat Rt
du contrat s’écrit finalement :
⎡
⎛ ⎛
+⎞
⎞⎤
⎢⎣
⎝ ⎝
⎠
⎠ ⎥⎦
Rt = γ ⎢⎢ L0 + (1 − xt ) ⎜⎜⎜ ⎜⎜ Ltg + δ ′ ⎛⎜⎝ α At − Lgt ⎞⎟⎠ ⎟⎟ − L0 ⎟⎟⎟ ⎥⎥
(1)
49
APPROCHE FINANCIERE DE L’OPTION DE RACHAT
2.2
Décision de Rachat
L’assuré rationnel décide de racheter de manière anticipée son contrat à la date t si
la valeur de rachat est avantageuse devant la valeur de marché des engagements de
l’assureur du contrat en cours. Notons Ct la valeur du contrat en t offrant en particulier la
possibilité d’un exercice ultérieur de l’option de rachat. La décision de rachat est donc
déterminée par le fait que :
Rt > Ct
Nous supposons que l’assuré paie sa prime en t = 0 , puis qu’il peut racheter son
contrat au terme de chaque année précédent la maturité de celui-ci. Soit T la maturité du
contrat, nous notons {ti } i =1... n −1 les différentes dates de rachat possibles, telles que
t0 = 0, t1 < t2 < ... < tn −1 , tn = T
(2)
Le contrat a ainsi un caractère bermudéen, cela signifie que l’exercice de l’option de
rachat est possible uniquement à certaines dates et non en continu comme pour le caractère
américain.
2.3
Problème en Absence de Défaut Anticipé
Commençons par aborder le problème en négligeant le risque de défaut anticipé.
Plaçons-nous à une date tk , k1 où l’assuré est en mesure de racheter son contrat (nous
utilisons les notations (2) pour les dates de rachat possibles). L’assuré compare en date tk
la valeur de rachat Rtk du contrat avec la valeur du contrat s’il n’exerce pas son option de
rachat immédiatement. Notons Ctk la valeur de prolongation du contrat bermudéen en tk
si le détenteur n’exerce pas son option de rachat. En raisonnant par arbitrage, en date tk
nous obtenons l’expression suivante pour Ctk sous la probabilité risque-neutre
Ctk = EQ
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
n −1
∑e
j = k +1
−
tj
∫tk
rs ds
F (t j , tk , T )1Rt + e
j
−
T
∫tk rs ds
Q:
⎤
⎥
⎥
⎥
tk ⎥
⎥
⎥
⎦
Θ L (T )1R | F
où R correspond au non-exercice de l’option de rachat du contrat et Rt j au cas
d’exercice optimal en t j . F (t j , tk , T ) désigne le flux du contrat à la date t j en cas de
rachat optimal à cette date et en supposant quel’option n’ait pas été exercée avant la date
tk . Θ L (T ) correspond au flux final du contrat dans le cas où il n’y a pas eu de rachat
anticipé.
50
C. BERNARD
Pour connaître la valeur de l’option de rachat à l’instant initial, nous comparons le
prix du contrat bermudéen (c’est-à-dire avec la possibilité de racheter en fin de chaque
année) et le contrat européen (idem est sans option de rachat). Rappelons que le contrat
européen sans prise en compte du défaut anticipé est évalué par Briys et de Varenne [1994,
1997]. La valeur à la date initiale est égale à :
⎡
⎢ −
Q ⎢⎢
⎣
T
VL (0) = E e ∫0
rs ds ⎛
⎜
⎜
⎝
+
LTg + δ ⎛⎜⎝ α AT − LTg ⎞⎟⎠ − ⎛⎜⎝ LTg − AT ⎞⎟⎠
⎤
+ ⎞⎥
⎟⎥
⎟
⎠⎥
⎦
Ces auteurs obtiennent une formule explicite dans un univers gaussien après avoir
effectué un changement de numéraire et passé en univers Forward-neutre pour se
débarrasser du terme d’actualisation stochastique.
2.4
Problème en Présence de Défaut Anticipé
Pour l’instant, nous n’avons considéré que le défaut à l’échéance du contrat, or la
compagnie peut faire faillite avant. Le rachat anticipé des contrats peut notamment mettre
la compagnie en situation de ruine. En cas de défaut anticipé de la compagnie,à la date
de défaut, notons Θ L (τ ) le montant reversé aux assurés, il vaut :
τ
rτ
Θ L (τ ) = L0 e g
Il est possible d’introduire des paramètres supplémentaires pour tenir compte des
frais de faillite et de la surveillance imparfaite du processus des actifs (cf. Bernard et al.
τ
[2006]). L’instant
est l’instant de faillite de la société, il est défini comme l’instant de
rt
premier passage du montant des actifs At par la barrière L0 e g . Pour nos simulations,
nous supposons que tous les flux ont lieu en fin d’année. Si la compagnie fait faillite
rτ
pendant l’année le versement de L0 e g a lieu à la fin de l’année en cours. La valeur de
continuation du contrat bermudéen en tk , est la suivante :
Ctk = EQ
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
n −1
∑e
j = k +1
−
tj
∫tk
rs ds
F (t j , tk , T )1 + e
j
−
T
∫tk rs ds
⎤
⎥
⎥
⎥
tk ⎥
⎥
⎥
⎦
Θ L (T )1 | F
T
j
où F désigne les flux qui ont lieu en date t j sous la condition 1 . Précisément 1
j
vaut 1 lorsque la compagnie a fait défaut pendant ]t j −1 , t j ] (dans ce cas F vaut
⎛
rt
⎞
min ⎜⎜⎜ At j , L0 e g j ⎟⎟⎟ ), ou lorsque le contrat est racheté en t j (le flux est alors égal à
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎠
⎞
⎟
t j ⎟⎟⎠
min At j , R ). Enfin 1T vaut 1 si la compagnie n’a pas fait défaut avant la maturité et
APPROCHE FINANCIERE DE L’OPTION DE RACHAT
51
que le contrat n’a pas été racheté.
En résumé, à la fin de chaque année, deux cas de figures sont possibles : soit la
compagnie est liquidée car elle a fait faillite pendant l’année, dans ce cas les assurés ne
peuvent pas exercer leur option de rachat et reçoivent la compensation prévue en cas de
faillite ; soit la faillite n’a pas eu lieu, la question de l’exercice de l’option de rachat se
pose. L’assuré, parfaitement informé du marché et de la politique d’investissement de la
compagnie, exerce son option si la valeur de rachat est supérieure strictement à la valeur de
continuation du contrat. La difficulté réside dans l’estimation de l’espérance conditionnelle
correspondant à la valeur de continuation du contrat.
La valeur du contrat européen en présence de taux stochastiques et de défaut est
obtenue par Monte Carlo (par Grosen et Jørgensen [2000]) et par des formules semiexplicites (par Bernard et al. [2005]). Comme l’étude de l’option de rachat est menée par
une approche de Monte Carlo, nous utiliserons également cette approche pour évaluer le
contrat européen.
2.5
Dynamiques des Taux et des Actifs
Nous choisissons les dynamiques du taux court rt et des actifs de la compagnie At
suivantes :
drt = a (θ − rt )dt + νdZ1Q (t )
⎛
σ2 ⎞
⎟⎟dt + σρdZ1Q (t ) + σ 1 − ρ 2 dZ 2Q (t )
d (ln ( At )) = ⎜⎜ rt −
2
⎝
⎠
Q
(3)
Q
où Z1 et Z 2 sont deux Q -browniens indépendants sous la probabilité risqueneutre.
En intégrant la dynamique de r , nous obtenons l’expression suivante de l’intégrale
du taux qui nous sera utile dans les simulations de Monte Carlo afin d’actualiser les flux :
∫
t
u
rs ds = θ (t − u ) +
ru − rt ν Q
+ ( Z1 (t ) − Z1Q (u ) ) .
a
a
La simulation des processus est faite à partir d’un schéma d’Euler (cf. Jäckel [2002]).
52
3.
C. BERNARD
METHODOLOGIE
La méthodologie retenue pour évaluer l’option de rachat du contrat d’assurance-vie
présenté dans la section précédente est la méthode de Monte Carlo de Longstaff et
Schwartz [2001] (appelée également LSM pour Least Squares Monte Carlo). Le principe
de cette méthode repose sur l’approximation de l’espérance conditionnelle par rapport à la
tribu Ft sous la probabilité risque-neutre par une combinaison linéaire d’éléments de Ft
(si les processus intervenant sont markoviens, leurs valeurs en t suffisent) en effectuant
une minimisation par moindres carrés. Par exemple, pour évaluer une option de vente
américaine dans le cadre de Black et Scholes, Longstaff et Schwartz proposent d’approcher
l’espérance conditionnelle à la date t par une combinaison linéaire entre une constante, la
2
valeur du sous-jacent en t (soit At ) et son carré (soit At ). On cherche les coefficients qui
minimisent les écarts entre les valeurs des flux futurs actualisés si on ne fait pas exercice de
2
l’option et de la combinaison linéaire entre 1, At et At . On obtient ainsi une
approximation de l’espérance conditionnelle (du prix correspondant au non-exercice de
l’option) comme combinaison linéaire de variables du présent et on peut alors comparer à
l’instant t cette valeur approximée avec la valeur en cas d’exercice immédiat de l’option.
Dans leur article, Longstaff et Schwartz [2001] décomposent chacune des étapes
nécessaires à l’évaluation d’une option de vente américaine dans le modèle de Black et
Scholes (l’algorithme est extrêmement bien détaillé). Donnons-en les grandes lignes. Pour
commencer, nous simulons des trajectoires du sous-jacent de l’instant initial à la maturité
de l’option. On calcule ensuite les paiements à l’échéance pour chacune des trajectoires en
supposant que l’option n’ait pas été exercée plus tôt. Ensuite, on remonte dans le temps. Au
pas de temps précédent, noté s , on regarde s’il est judicieux d’exercer ou d’attendre
(uniquement sur les trajectoires où l’option peut être exercée). Soit X les valeurs du sousjacent en s si l’option peut être exercée, Y les cash-flows futurs actualisés si on ne fait pas
exercice de l’option. On effectue alors une régression de Y comme combinaison linéaire
entre les variables 1 , X et X
2
(en cherchant les paramètres a , b et c tels que les
écarts entre a + bX + cX et Y soient minimisés au sens des moindres carrés). Cette
régression est l’approximation de E[Y | X ] . On compare alors le montant en cas
2
d’exercice immédiat et la valeur approchée de E[Y | X ] qui est une fonction de X donc
du présent. L’étape suivante consiste à remonter au pas de temps précédent. À la fin de
l’algorithme, nous obtenons sur chaque trajectoire le moment optimal d’exercice avec le
flux correspondant. Il suffit de faire la moyenne des flux actualisés pour trouver le prix de
APPROCHE FINANCIERE DE L’OPTION DE RACHAT
53
l’option américaine.
Longstaff et Schwartz [2001] montrent que l’approximation, réalisée en minimisant
par la méthode des moindres carrés, donne des résultats très précis par rapport aux
méthodes usuelles par EDP ou par arbres. L’algorithme est aussi très efficace car il ne
prend en compte que les trajectoires pour lesquelles l’option est dans la monnaie. On
obtient ainsi une minoration du prix d’une option américaine. Ils remarquent également que
la régression par un polynôme de degré deux de la valeur du sous-jacent fournit des
résultats très bons pour une option américaine standard. Cependant lorsque les produits
deviennent plus complexes, path-dependents ou avec des paramètres stochastiques, il faut
introduire plus de variables explicatives afin de maintenir un certain niveau de précision. Ils
illustrent ce cas en étudiant des produits asiatiques américains.
Le but de cette section est de montrer comment adapter cette méthode au problème
d’évaluation de l’option de rachat d’un contrat d’assurance - vie participatif à taux
minimum garanti constant rg en présence de risque de taux et de défaut. Pour commencer,
nous ne prenons en compte que le risque de taux et de défaut à l’échéance en négligeant la
possibilité de faire faillite de manière anticipée pour la compagnie.
3.1
Absence de Défaut Anticipé
En absence de défaut anticipé, l’exercice est possible sur toutes les trajectoires, nous
ne pouvons pas nous limiter au cas où l’option est dans la monnaie. En effet, la valeur de
rachat est toujours strictement positive et ne dépend pas simplement de la comparaison de
la valeur du sous-jacent avec une constante comme pour une option de vente standard.
Nous devons donc prendre en compte toutes les trajectoires. Dans notre cas, les taux sont
stochastiques, nous choisissons donc d’approcher l’espérance conditionnelle en t par une
combinaison linéaire des variables 1 , At , At , P (t , T ) , P (t , T ) , et At P (t , T ) .
2
2
Nous appliquons l’algorithme de Longstaff et Schwartz [2001] en commençant par
évaluer en T = tn la valeur du contrat (elle est parfaitement connue, égale à Θ L (T ) ).
Ensuite, l’algorithme consiste à remonter le temps, en se plaçant à l’instant tn −1 où le rachat
est possible. À cette date, on compare la valeur de rachat Rtn−1 avec l’espérance
conditionnelle approchée du flux en cas de non exercice en tn −1 , notons-la Ctn−1 (cette
valeur tient en particulier compte de la possibilité d’effectuer un rachat ultérieur lorsqu’on
se place à une date d’exercice qui n’est pas la dernière date d’exercice possible). L’exercice
est optimal (autrement dit, il vaut mieux racheter que continuer) lorsque :
54
C. BERNARD
Rtn−1 > Ctn−1
Le point clef de la méthode de Monte Carlo de Longstaff et Schwartz est
l’approximation par moindres carrés de l’espérance conditionnelle Ctn−1 par une
combinaison
linéaire
de
variables
de
Ftn−1 . Nous obtenons une fonction
h(1, Atn−1 , A , P(tn −1 , T ), P(tn −1 , T ) , Atn−1 P(tn −1 , T )) . Sur chaque trajectoire, on
2
tn−1
2
compare alors l’espérance conditionnelle approchée (i.e. la fonction h évaluée à l’instant
tn −1 de la trajectoire en question) avec la valeur Rtn−1 en cas d’exercice, et on décide
d’exercer si cela est avantageux. Il est important de noter que la décision d’exercice optimal
est basée sur le polynôme de régression et non sur les valeurs futures de la trajectoire en
question.À une date donnée, nous utilisons bien évidemment le même polynôme de
régression pour chacune des trajectoires.
Lorsque l’exercice est avantageux, on enregistre la valeur de rachat et la date
d’exercice, et on annule les flux à maturité qui n’auront pas lieu car le contrat est racheté.
Puis on recommence à la date tn − 2 . Nous construisons ainsi par induction rétrospective une
matrice de flux optimaux. La valeur initiale du contrat est égale à la moyenne des flux
actualisés en 0 pour chaque trajectoire. Notons qu’à chaque trajectoire correspond un seul
flux, soit à l’instant de rachat soit à la maturité du contrat.
3.2
Présence de Défaut Anticipé
Pour prendre en compte la possibilité pour la compagnie de faire défaut avant la
maturité, nous adaptons l’algorithme présenté ci-dessus. Le principe général de la méthode
de Longstaff et Schwartz [2001] est conservé. Cependant, lorsque la compagniefait défaut
de manière anticipée, le rachat devient impossible à partir de la date de liquidation.
On commence de la même manière en calculant en date T la valeur du contrat sans
s’occuper de savoir si la compagnie a fait défaut avant ou si le contrat est racheté. Puis on
remonte le temps. À chaque étape, avant de regarder si on peut exercer une option de
rachat, on note si la compagnie a fait ou non défaut de manière anticipée dans l’année
courante. En cas de défaut, la question de l’exercice de l’option de rachat ne se pose pas ;
les flux ultérieurs sont annulés. À la date examinée, on retient lesflux en cas de faillite
anticipée. Dans le cas contraire, on compare la valeur en cas de rachat immédiat du contrat
avec l’espérance conditionnelle des flux futurs actualisés. L’estimation des paramètres de
régression de l’espérance des flux futurs ne sefait que sur les trajectoires qui ne sont pas en
défaut.
55
APPROCHE FINANCIERE DE L’OPTION DE RACHAT
Pour déterminer si la compagnie a fait défaut dans l’année courante, nous sommes
confrontés à la simulation du premier instant de passage par la barrière d’un processus
continu. Une méthode naïve est de discrétiser très finement le processus et d’observer aux
dates de discrétisation si le processus simulé est ou non au-dessous de la barrière de défaut.
L’alternative, beaucoup moins coûteuse en temps et en mémoire, est de garder un pas assez
grossier, par exemple de 3 mois et d’estimer la probabilité quele processus soit passé en
dessous de la barrière pendant ce laps de temps par les ponts de diffusion (c’est le principe
χ t = At e
de la correction de Andersen et Brotherton-Ratcliffe [1996]). Notons
L’étude de
τ
, instant de premierpassage de At par la barrière L0 e
du premier passage du processus
χt
rg t
− rg t
.
se ramène à l’étude
par la barrière L0 . En particulier, nous souhaitons
discrétiser grossièrement et estimer la probabilité ps ,t qu’entre deux pas de discrétisation,
notés s et t , la barrière H = L0 ait été franchie par le processus
χ
sont tous les deux strictement au-dessus de celle-ci. Nous approchons
lorsque
χ
χs
et
χt
par un processus
de Markov à un facteur et utilisons le résultat de Andersen et Brotherton-Ratcliffe [1996].
⎛ 2(ln( L0 ) − ln χ s )(ln( L0 ) − ln χ t ⎞
ps ,t = 1ln χ s ln( L0 )1ln χt ln( L0 ) exp ⎜ −
⎟
σ 2 (t − s)
⎝
⎠
(4)
L’évaluation de l’option de rachat d’un contrat participatif émis par une société
d’assurance soumise au risque de défaut et au risque de taux se ramène en fait à celle d’une
option à barrière bermudéenne dans un modèle de taux stochastiques.
4.
ETUDE NUMERIQUE
Nous fixons les différents paramètres du modèle d’évaluation du contrat. Rappelons
que A0 désigne la valeur initiale des actifs en 0, L0 = α A0 est la part investie par les
assurés. On suppose que la maturité du contrat est égale à 10 ans.
A0
α
σ
T
rg
δ
γ
δ′
100
0.85
10%
10 ans
2%
90.25%
98%
85%
Table 1. Paramètres de l’étude
Deux paramètres interviennent spécifiquement dans la modélisation du rachat :
pourcentage restitué à l’assuré en cas de rachat anticipé et le paramètre
δ
′
γ
le
désignant la
participation aux bénéfices en cas de rachat anticipé. Dans notreexemple, nous supposons
une pénalité de 2 % donc γ = 98% . Nous supposons que le rachat du contrat est possible à
56
C. BERNARD
chaque fin d’année antérieure à la maturité, autrement dit aux dates t1 ,..., t9 .
a
ν
r0
θ
ρ
0.4
0.008
0.0245
0.045
0.2
Table 2. Paramètres de Taux et Corrélation
Le tableau 2 fixe les paramètres de volatilité des taux ( a et ν ) et de la structure
initiale ( r0 et θ ). Le paramètre ρ est la corrélation entre les actifs et les taux.
4.1
Convergence et Vitesse
Nous avons programmé l’algorithme décrit ci-dessus à l’aide du logiciel Matlab, en
fixant les paramètres avec les valeurs des tableaux 1 et 2. Nous obtenons les résultats
numériques suivants :
Européenne
Bermudéenne
Option de Rachat
Valeur théorique
85.00
×
×
N = 10 / pas=1
N = 106 / pas=1/4
85.31
86.76
1.41
85.18
86.67
1.49
6
Table 3. Premiers Résultats Numériques
Ces résultats ont été obtenus en utilisant la méthode de Monte-Carlo améliorée pour
les produits à barrière. La discrétisation doit cependant rester assez fine, même dans le cas
européen. Nous pourrions effectivement penser qu’il suffit de simuler le processus A aux
dates ti . La simulation par un schéma d’Euler (à partir des dynamiques des taux et des
actifs données en (3)) est alors discutable, car on utilise rti pour simuler rti +1 et ln( Ati+1 ) .
Un biais subsiste: même si on augmente le nombre de trajectoires, on ne converge pas vers
le prix du contrat européen théorique.
La valeur de l’option de rachat est obtenue en effectuant la différence entre les
valeurs respectives du contrat bermudéen et européen. Nous voyons dans le tableau 3 que le
droit accordé à l’assuré de résilier son contrat en fin de chaque année a une valeur
strictement positive. Elle ne doit donc pas être négligée dans le calcul des paramètres d’un
contrat fair. Étudions maintenant la sensibilité de l’option de rachat en fonction des
différents paramètres du modèle, en particulier auxparamètres du contrat tels que le taux
minimum garanti, la participation aux bénéfices, mais surtout à la volatilité des actifs (donc
APPROCHE FINANCIERE DE L’OPTION DE RACHAT
57
au risque de défaut), et au taux d’intérêt.
4.2
Sensibilité aux Paramètres du Contrat
Commençons par étudier la sensibilité au paramètre
γ,
pourcentage restitué à
l’assuré (après déduction des frais de rachat). Le graphe 1 représente en fonction du
paramètre γ , à gauche, la valeur d’un contrat européen ou bermudéen en présence ou non
de défaut et à droite, la valeur de l’option de rachat. Le contrat européen ne dépend pas de
γ caril n’offre pas la possibilité de racheter, nous notons ainsi que sa valeur est constante
(les faibles variations sont dues à l’imprécision des simulations de Monte Carlo).
Figure 1. Rachat en fonction de
γ
La valeur du contrat européen en tenant compte du risque de défaut de la compagnie
est égale à 85 (courbe en tirets simples). Notons que sa valeur est surestimée lorsqu’on
néglige la possibilité de défaut pendant la durée du contrat (courbe horizontale pointillée
autour de 85,3). La valeur du contrat est effectivement diminuée car l’assuré supporte un
risque supplémentaire, celui que la compagnie ne soit plus en mesure de remplir ses
engagements. Cette remarque reste valable lorsqu’on compare les courbes représentant les
valeurs d’un contrat bermudéen en présence ou non de défaut (courbe en trait plein et
courbe en traits alternés).
Figure 2. Rachat en fonction de rg en absence de Défaut
58
C. BERNARD
La valeur d’un contrat bermudéen augmente avec le paramètre
γ
: plus le
pourcentage de la valeur de rachat restitué à l’assuré est important, plus le rachat est
intéressant! Enfin lorsque le paramètre γ est faible, le rachat n’est pas très intéressant si le
défaut est pris en compte : la valeur de l’option de rachat est quasi-nulle (le graphe de droite
en témoigne). En revanche, lorsque le défaut n’est pas pris en compte, l’option de rachat a
une valeur strictement positive, correspondant au rachat que l’assuré va effectuer lorsque la
compagnie est en difficulté. Cela nous montre combien il est important de prendre en
compte le défaut dans l’évaluation de l’option de rachat. En négligeant le défaut anticipé,
l’interprétation de la valeur del’option de rachat est faussée. Ce point est également illustré
en étudiant la sensibilité du contrat et de l’option de rachat avec le taux minimum garanti.
Lorsqu’on néglige la possibilité pour la compagnie de faire défaut de manière
anticipée, le contrat européen prend de la valeur avec le taux minimum garanti, plus que le
contrat bermudéen. La valeur de l’option de rachat diminue (cf. figure 2). En revanche, en
tenant compte de la possibilité de défaut anticipé de la compagnie, la tendance s’inverse
lorsque le taux minimum garanti dépasse le seuil de 3 % environ, car la probabilité de faire
défaut devient très grande (ce phénomène est illustré en figure 3).
Figure 3. Rachat en fonction de rg en tenant compte du Défaut
4.3
Sensibilité au Défaut
Nous représentons en figures 4 et 5 ci-dessous la valeur d’un contrat européen et
bermudéen en absence de défaut (graphique 4) et en tenant compte du défaut anticipé
(graphique 5).
APPROCHE FINANCIERE DE L’OPTION DE RACHAT
Figure 4. Rachat en fonction de la Volatilité
σ
59
en Absence de Défaut
À nouveau les graphes 4 et 5 sont différents et mettent en évidence l’importance de
prendre en compte la possibilité pour la compagnie d’être en ruine avant la maturité du
contrat dans l’évaluation de l’option de rachat. En effet, si on néglige complètement la
possibilité pour la compagnie de faire défaut de manière anticipée, l’option de rachat prend
de la valeur avec une augmentation de volatilité. Pour l’assuré, racheter au moment le plus
propice est une alternative à attendre la date de maturité où il risque de ne pas récupérer son
investissement si la compagnie est en fait en faillite. De plus, du fait de la participation aux
bénéfices en cas de rachat anticipé, la forte volatilité des placements peut rendre la valeur
de rachat anticipé très intéressante. Le rachat peut mettre en défaut la compagnie.
Rappelons que l’étude concerne un ensemble de contrats tous identiques détenus par des
assurés ayant tous le même critère de rachat.
Figure 5. Rachat en fonction de la Volatilité
σ
en Présence de Défaut
Désormais, nous tenons compte de la possibilité pour la compagnie de se trouver en
situation de ruine avant la maturité du contrat. L’assuré peut ainsi anticiper la faillite de la
compagnie et racheter son contrat car la valeur de rachat, quoique faible, peut être
intéressante par rapport à la valeur qu’il percevrait en cas de faillite de la compagnie.
L’étude suivante consiste à représenter les probabilités de ruine et de rachat afin de
60
C. BERNARD
comprendre un peu mieux le comportement de rachat.
Figure 6. Probabilité de Défaut et de Rachat en fonction de
σ
Nous nous intéressons à la probabilité que le contrat soit racheté ou que la société
d’assurance fasse défaut. Sur le graphe 6, nous représentons en fonction de la volatilité
σ
la probabilité que la compagnie fasse défaut avant l’échéance du contrat qui augmente
naturellement avec la volatilité, la probabilité que le contrat termine avant l’échéance
(autrement dit, il est racheté ou la compagnie fait défaut), la probabilité que le rachat ait
lieu avant le défaut et la probabilité de rachat si on ne prend pas en compte le défaut
anticipé. Nous observons qu’à partir d’une certaine volatilité des actifs, la probabilité que le
contrat soit racheté diminue car le défaut est trop soudain pour être anticipé. En négligeant
la possibilité de défaut anticipé, on observe que la probabilité de rachat augmente toujours
avec la volatilité
5.
PRISE EN COMPTE DE LA MORTALITE
Soit x l’âge du souscripteur au moment de la signature du contrat ( t = 0 ). Nous
supposons toujours que le paiement de la prime s’effectue en date 0. Nous ajoutons de plus
une clause au contrat en cas de décès de l’assuré avant la maturité. Si l’assuré décède dans
l’année i + 1 , c’est-à-dire entre les dates ti et ti +1 la compagnie verse au bénéficiaire du
contrat à la fin de l’année courante du constat du décès (date ti +1 ) un capital CD , constant
ou plus généralement fonction de l’instant ti et du niveau d’actifs à la date ti , notons-le
CD (ti , Ati ) .
Nous utilisons les notations actuarielles classiques d’assurance-vie. Reprenons
l’algorithme de Longstaff et Schwartz. À l’échéance du contrat, dans le cas où l’assuré est
61
APPROCHE FINANCIERE DE L’OPTION DE RACHAT
encore en vie, le contrat n’a pas été racheté et la compagnie n’a pas fait défaut, la
compagnie verse un montant égal à Θ L (T ) au souscripteur du contrat. On remonte le
temps. Plaçons-nous sur une trajectoire particulière, en date T − 1 = tn −1 . Un assuré encore
vivant à cette date (donc d’âge x + tn −1 ) décide de racheter soncontrat si la valeur de rachat
R est supérieure à la valeur W s’il maintient son contrat. La probabilité que l’assuré en
question décède entre ]tn −1 , tn [ est égale à tn−1 |1 qx +tn−1 . Ainsi la valeur W en tn −1 du
contrat s’il est maintenu est égale à :
⎡ − ∫T −1 rs ds
⎤
Θ L (T ) ⎥
⎢e
⎣
⎦
T
tn−1 |1
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
tn−1 ⎟⎠
qx +tn−1 CD tn −1 , A
⎛
⎜
⎜
⎝
+ 1 −tn−1|1 q
⎞
⎟
x + tn−1 ⎟⎠
tn−1
Q
E
Nous avons fait l’hypothèse classique d’indépendance entre le risque de mortalité et
le risque financier. Nous estimons par la méthode de moindres carrés de Longstaff et
Schwartz l’espérance conditionnelle inconnue. Sur chaque trajectoire, on compare la valeur
de rachat R en cas d’exercice de l’option et la valeur estimée en cas de continuation. Dans
le cas où l’exercice est avantageux, les flux à l’échéance sont annulés et on retient la date
de rachat et les flux correspondants.
On remonte ainsi le temps, jusqu’à obtenir pour chaque trajectoire la date à laquelle
les flux surviennent. Puis pour estimer la valeur du contrat en présence d’une option de
rachat pour un individu d’âge x . Nous avons simulé N trajectoires. Pour la trajectoire j ,
nous supposons que les flux ont lieu en date
avant la date
τ j , soit il est vivant en τ j
τj
d’un montant F j . Soit l’individu décède
et le flux correspondant a lieu. Le prix en date 0
est égal à :
1
N
6.
N ⎡
⎢
⎢
⎢τ j
j =1 ⎣⎢
∑
τj
px e ∫0
−
rs ds
τj
Fj + ∑
k =1
k
⎤
∫0 rs ds C k − 1, A ⎥⎥
x + k |1q x e
D (
k −1 ) ⎥
−
⎦⎥
CONCLUSION
Après avoir rappelé les différentes approches de l’évaluation de l’option de rachat
d’un contrat d’assurance-vie, nous expliquons comment les méthodes de Monte Carlo
s’appliquent pour évaluer le coût du rachat d’un contrat épargne. Cette approche s’avère en
effet compatible avec la prise en compte de multiples aspects propres au contrat
d’assurance-vie, tels que la mortalité mais aussi l’effet cliquet sur la participation aux
bénéfices et le versement périodique des primes. Elle permet également de modéliser le
62
C. BERNARD
caractère stochastique des différents paramètres du modèle. Le but a été d’évaluer cette
option cachée, intrinsèque au contrat et qui peut avoir une valeur significative. Ce sont des
options à long terme qui sont fortement dépendantes de la dynamique des taux d’intérêt
ainsi que de la volatilité du portefeuille de la compagnie, donc de l’allocation des actifs.
Notre étude tient compte du défaut et du caractère stochastique des taux. La prise en
compte du défaut est en fait assez faussée car une compagnie d’assurance-vie
commercialise un grand nombre de contrats identiques qui ne vont pas tous terminer au
même moment car tous les assurés n’ont pas le même comportement face au rachat, en
particulier l’approche par arbitrage est critiquable. Si tous les assurés sont rationnels, et font
exercice de leur option de rachat au même instant, ils peuvent entraîner ainsi un gros choc
pour la compagnie et éventuellement sa faillite. Il faudrait comme Albizzatti et Geman
étendre l’étude et tenir compte du fait que dans une compagnie d’assurance de nombreux
rachats sont motivés par des raisons personnelles à l’assuré comme le besoin de liquidité ou
un changement d’état de santé et non par des raisons exclusivement financières.
Enfin, notons que nous évaluons la valeur d’une option cachée ou d’un contrat
d’assurance-vie à partir de la prime pure, c’est-à-dire au coût de la couverture du risque.
L’assureur devra rajouter ensuite les frais de gestion, son chargement de sécurité etsa marge
de bénéfices. D’autre part notre approche de la valeur de l’option de rachat correspond au
risque maximum pour l’assureur. Cette analyse demande à être tempérée par l’analyse des
comportements.
7.
REMERCIEMENTS
Ce travail a été réalisé pendant ma thèse à l’Université Lyon 1, soutenue en
Novembre 2005. Je tiens à remercier cordialement Olivier le Courtois et mon directeur de
thèse, professeur François Quittard-Pinon pour leurs commentaires pertinents et leur
soutien. Une pensée également au professeur Christian Partrat pour ses encouragements et
ses conseils inoubliables.
8.
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