composition troisième trimestre 2008-2009

Première L
COMPOSITION DE MATHEMATIQUES INFORMATIQUE
Mai 2009
Durée de l’épreuve : 1 h 30
Le candidat doit traiter les 2 exercices
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Le sujet comporte 5
pages, y compris celle-ci.
1
Première L
Composition de mathématiques – informatique Mai 2009
Exercice 1 (12 points)
On veut étudier le lien entre une certaine maladie humaine M et le taux d’un certain composé chimique
C présent dans le sang.
On décide donc de mesurer le taux du composé C dans le sang de deux groupes de personnes :
-un groupe de 138 personnes non atteintes de la maladie M (groupe des sujets sains) ;
-un groupe de 87 personnes atteintes de la maladie M (groupe des sujets malades).
On a reproduit à l'annexe 1 les valeurs du taux de C en milligramme par litre (mg/l) relevées dans le
groupe des sujets sains, classées par ordre croissant.
On a procédé de même à l'annexe 2 pour le groupe des sujets malades.
1 -Dans cette question, on s’intéresse uniquement à la série statistique des valeurs relevées dans le
groupe des sujets sains.
On admet ici que des études à grande échelle ont permis d’affirmer que les données relatives au taux
de C dans le sang des personnes saines ont une moyenne µ égale à 2,035 mg/l et un écart-type σ égal à
0,611 mg/l.
a) Préciser l'intervalle [µ - 2σ ;µ + 2σ].
Combien de valeurs de la série ne sont pas situées dans cet intervalle ?
b) Peut-on affirmer que plus de 95% des valeurs de la série appartiennent à cet intervalle ?
2 -Dans cette question, on cherche à comparer la série statistique des valeurs relevées dans le groupe
des sujets malades avec celle des valeurs relevées dans le groupe des sujets sains.
a) Déterminer la médiane puis le premier et le troisième quartile de la série statistique relative au
groupe des sujets malades.
b) On admet que la médiane, le premier et le troisième quartile de la série statistique relative au
groupe des sujets sains sont respectivement 2,065 mg/l, 1,63 mg/l et 2,42 mg/l.
Sur un même graphique, représenter les deux séries par des diagrammes en boîtes sur lesquels
figureront au moins la médiane, les premier et troisième quartiles (unité: 5 cm pour un mg/l).
c) Quelles conclusions concernant le lien entre la maladie M et le taux de C peut-on tirer de la
comparaison des médianes et des intervalles interquartiles des deux séries ?
d) Suffit-il de connaître le taux de C d’un individu pour savoir s'il est atteint ou non de la maladie M ?
Pourquoi ?
3 -Lorsque le taux de C dépasse 2,6 mg/l, on procède à des examens complémentaires pour
rechercher si un sujet est atteint ou non de la maladie M.
a) Calculer le pourcentage de personnes du groupe des sujets malades qui échappent aux examens
complémentaires.
b) Quel est le pourcentage de personnes du groupe des sujets sains qui subissent ces examens
complémentaires ?
2
Première L
Composition de mathématiques – informatique Mai 2009
Exercice 2 (8 points)
On s'intéresse au jeu « Keno » de la Française Des Jeux. L'une des façons de jouer est la suivante:
dans une grille contenant une fois chacun les nombres de 1 à 70, on choisit 10 numéros. Un tirage au
sort de 20 numéros a lieu: une grille est gagnante dans l'un des deux cas suivants :
-soit aucun des numéros sortis n'a été trouvé ;
-soit au moins cinq numéros sortis ont été trouvés.
Dans l'annexe 2 on trouve un extrait tiré des règles figurant au dos des bulletins.
Sur 10 000 bulletins, on a obtenu les résultats suivants :
Nombre de numéros 0
trouvés
effectif
254
1
2
3
4
5
1253 2521 2922 1962 822
6
7
8
9
10
220
41
5
0
0
Par exemple, le nombre de bulletins où on a trouvé exactement deux bons numéros est de 2521.
1) a. Combien y a-t-il de bulletins gagnants ?
b. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
c. Ce pourcentage est-il proche du « 1 sur 7,4 » annoncé dans le tableau de l'annexe ?
2) Sur l'échantillon observé, combien un bulletin contient-il de bons numéros en moyenne ?
3) Déterminer, en expliquant votre démarche, la médiane ainsi que le premier et le troisième quartile
de la série résumée par le tableau.
4) Construire le diagramme en boîte correspondant.
5) Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Comparer avec les pourcentages théoriques donnés par les indicateurs de la série.
a. Au moins la moitié des bulletins comporte au plus 3 bons numéros.
b. 25% au plus des bulletins comportent 4 bons numéros ou davantage.
c. Au moins 50 % des bulletins comportent de 2 à 4 bons numéros.
6) Les 10 000 joueurs ont misé 3 € chacun: ils ont donc dépensé 30 000 €.
Calculer le total des gains redistribués.
3
Première L
Composition de mathématiques – informatique Mai 2009
Annexes 1 et 2 exercice 1
Données triées par ordre croissant (en mg/l)
Annexe 1 :
Taux de C relevé chez 138 sujets sains
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
0,52
0,58
0,64
0,85
0,90
0,99
1,01
1,03
1,08
1,19
1,24
1,24
1,26
1,28
1,30
1,32
1,37
1,38
1,39
1,39
1,42
1,42
1,44
1,45
1,45
1,49
1,49
1,51
1,51
1,53
1,54
1,57
1,59
1,63
1,63
1,63
1,64
1,65
1,66
1,66
1,69
1,71
1,73
1,73
1,75
1,75
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
1,76
1,81
1,81
1,82
1,83
1,83
1,85
1,85
1,85
1,85
1,85
1,86
1,90
1,90
1,93
1,96
1,97
1,99
2,00
2,02
2,02
2,06
2,06
2,07
2,11
2,11
2,16
2,17
2,17
2,17
2,18
2,19
2,21
2,21
2,22
2,23
2,23
2,24
2,24
2,26
2,28
2,28
2,29
2,29
2,29
2,29
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
Annexe 2 :
Taux de C relevé chez 87 sujets atteints de
maladie M
2,30
2,30
2,33
2,33
2,33
2,34
2,36
2,37
2,39
2,41
2,42
2,42
2,43
2,44
2,45
2,47
2,50
2,51
2,55
2,55
2,55
2,55
2,59
2,62
2,68
2,73
2,76
2,77
2,79
2,80
2,81
2,83
2,88
2,89
2,92
2,94
2,97
2,99
2,99
3,10
3,12
3,15
3,23
3,29
3,30
3,52
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
1,98
2,07
2,19
2,21
2,23
2,23
2,34
2,41
2,42
2,45
2,47
2,57
2,57
2,61
2,62
2,65
2,65
2,66
2,69
2,70
2,70
2,74
2,75
2,76
2,77
2,77
2,77
2,79
2,79
2,79
2,80
2,81
2,81
2,82
2,82
2,82
2,85
2,87
2,87
2,88
2,89
2,89
2,89
2,89
2,89
2,90
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
2,91
2,92
2,93
2,93
2,96
2,97
2,97
2,97
2,97
3,00
3,02
3,02
3,04
3,05
3,06
3,08
3,08
3,10
3,10
3,11
3,11
3,13
3,18
3,19
3,21
3,25
3,25
3,26
3,27
3,27
3,28
3,29
3,30
3,31
3,36
3,36
3,41
3,44
3,57
3,60
3,65
4
Première L
Composition de mathématiques – informatique Mai 2009
Annexe 3 exercice 2
Exercice 2 :
Numéros
joués par
grille
10 numéros
Vos chances
totales de
gagner
1 sur 7,4
Numéros
trouvés par
grille
10
9
8
7
6
5
0
Vos chances de
gagner
1 sur 2 147 181
1 sur 47 268
1 sur 2 571
1 sur 261
1 sur 44
1 sur 12
1 sur 39
Gain :
× fois la
mise
× 200 000
× 2 500
× 100
× 10
×5
×2
×2
Gain pour
une mise de
1,5 €
300 000 €
3 750 €
150 €
15 €
7,5 €
3€
3€
Gain pour
une mise de
3€
600 000 €
7 500 €
300 €
30 €
15 €
6€
6€
5
Première L
Composition de mathématiques – informatique Mai 2009
CORRECTION
Exercice 1 (12 points)
1) a)
[µ - 2σ ;µ + 2σ]. = [2,035 – 2×0,611 ; 2,035 – 2×0,611] = [0,813 ;3,257]
Nombre de valeurs en dehors de cet intervalle : 3 + 3 = 6 (soit
b)
2) a)
6
; soit environ 4,3 %)
138
132
soit environ 95,7 % de valeurs compris dans l’intervalle.
138
Ce pourcentage est bien supérieur à 95%.
Médiane : première valeur supérieure ou égale à 50% de l’effectif total.
Soit la valeur correspondant au numéro 44.
Me = 2,89
Premier quartile : première valeur supérieure ou égale à 25% de l’effectif total.
Soit la valeur correspondant au numéro 22
Q1 = 2,74
Troisième quartile : première valeur supérieure ou égale à 75% de l’effectif total.
Soit la valeur correspondant au numéro 66
Q3 = 3,11
b)
c)
L’écart interquartile pour les sujets sains est de : 2,42 – 1,63 = 0,79 mg/l.
L’écart interquartile pour les sujets malades est de : 3,11 – 2,74 = 0,37 mg/l.
D’autre part la médiane pour les sujets malades est sensiblement plus élevée que celle
pour les sujets sains.
On peut en conclure qu’il existe un lien fort entre le taux du composé C et la maladie M.
6
Première L
Composition de mathématiques – informatique Mai 2009
CORRECTION
d)
Par contre, il ne suffit pas de connaître le taux de C d’un individu pour savoir s’il est
atteint ou non de la maladie M.
En effet, certains sujets sains peuvent avoir un taux de C supérieur à certains sujets malades.
3) a) Pourcentage de personnes du groupe des sujets malades qui échappent aux examens
13
complémentaires :
soit environ 14,9 %
87
b) Pourcentage de personnes du groupe des sujets sains qui subissent ces examens
23
complémentaires :
soit environ 16,7 %
138
Exercice 2 (8 points)
1) a) Le nombre de bulletins gagnants est de : 254 + 822 + 220 + 41 + 5 = 1342
1342
b) Le pourcentage correspondant est de :
soit 13,42 %.
10 000
1
c)
correspond à un pourcentage d’environ 13,51 % proche du pourcentage précédent.
7,4
2) Le nombre moyen de bons numéros se calcule en effectuant une moyenne pondérée du
nombre de numéros trouvés par les effectifs.
Ce calcul correspond à :
254×0+1253×1+2521×2+2922×3+1962×4+822×5+220×6+41×7+8×5+9×0+10×0 28 666
=
10 000
10 000
= 2,8666 soit environ 2,87
3) On peut construire le tableau des effectifs cumulés pour répondre à cette question.
Nombre de
numéros
trouvés
effectif
effectifs
cumulés
croissants
0
1
2
6
7
8
9
254 1253 2521 2922 1962 822 220
41
5
0
254 1507 4028
3
4
5
6950 8912 9734 9954 9995 10000 10000
La médiane correspond à 50% de l’effectif total soit à l’effectif numéro 5 000.
On a donc Me = 3
Le premier quartile correspond à 25% de l’effectif total soit à l’effectif numéro 2 500.
On a donc Q1 = 2
Le troisième quartile correspond à 75% de l’effectif total soit à l’effectif numéro 7 500.
On a donc Q3 = 4
7
Première L
Composition de mathématiques – informatique Mai 2009
CORRECTION
4)
5) a) Nombre de bulletins comportant au plus 3 bons numéros : 254 + 1253 + 2521 + 2922 =
6950
Soit plus de la moitié.
Ce qui est normal puisque moins de la moitié des effectifs sont inférieurs ou égaux à la
médiane.
b) Nombre de bulletins comportant 4 bons numéros ou davantage: 1962 + 822 + 220 + 41 +
5 = 3050
Soit plus de 25 %.
Ce résultat n’est pas conforme avec les indicateurs de la série : moins de 25 % des
valeurs sont censées être supérieurs ou égale à Q3
c) Nombre de bulletins comportant de 2 à 4 bons numéros: 2521 + 2922 + 1962 = 7405
Soit plus de 50%
Ce résultat est conforme avec les indicateurs de la série : au moins 50 % des valeurs sont
censées être comprises entre Q1 et Q3.
6) Total des gains redistribués : 254×6 + 822×6 + 220×15 + 41×30 + 5×300 = 12 486 €
8