screen - Christophe Lalanne

Découverte du logiciel Stata
Modélisation
Christophe Lalanne
www.aliquote.org
Synopsis
Régression linéaire simple
Régression linéaire sur variables catégorielles
Régression linéaire multiple
Régression logistique
d2e5ca9
2 / 47
Régression linéaire simple
d2e5ca9
3 / 47
Données d’illustration
Étude sur les poids de naisssance (1) .
low
age
lwt
race
smoke
ht
ui
ftv
ptl
bwt
d2e5ca9
poids de naissance < 2,5 kg
âge de la mère
poids de la mère (livres) aux dernières règles
ethnicité de la mère (« w », « b », « o »)
statut fumeur de la mère pendant la grossesse
antécédent d’hypertension
présence d’irritabilité utérine
nb de visites chez le gynécologue 1er trimestre
nb d’accouchements pré terme antérieurs
poids du bébé (grammes)
4 / 47
. webuse lbw
(Hosmer & Lemeshow data)
. list in 1/5
1.
2.
3.
4.
5.
+-----------------------------------------------------------------------+
| id
low
age
lwt
race
smoke
ptl
ht
ui
ftv
bwt |
|-----------------------------------------------------------------------|
| 85
0
19
182
black
nonsmoker
0
0
1
0
2523 |
| 86
0
33
155
other
nonsmoker
0
0
0
3
2551 |
| 87
0
20
105
white
smoker
0
0
0
1
2557 |
| 88
0
21
108
white
smoker
0
0
1
2
2594 |
| 89
0
18
107
white
smoker
0
0
1
0
2600 |
+-----------------------------------------------------------------------+
. summarize bwt lwt
Variable |
Obs
Mean
Std. Dev.
Min
Max
-------------+-------------------------------------------------------bwt |
189
2944.286
729.016
709
4990
lwt |
189
129.8201
30.57515
80
250
d2e5ca9
5 / 47
Caractériser la relation entre deux variables
Considérons la relation entre le poids de naissance (bwt) et le
poids de la mère (lwt).
. replace lwt = lwt/2.2
lwt was int now float
(189 real changes made)
. scatter bwt lwt || lowess bwt lwt
5000
4000
3000
2000
birthweight (grams)
lowess bwt lwt
1000
40
60
80
100
120
weight at last menstrual period
d2e5ca9
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Corrélation linéaire
La commande correlate fournit le coefficient de corrélation de
Pearson. Pour une alternative non-paramétrique, voir spearman
(coefficient de corrélation basé sur les rangs).
. correlate bwt lwt, means
(obs=189)
Variable |
Mean
Std. Dev.
Min
Max
-------------+---------------------------------------------------bwt |
2944.286
729.016
709
4990
lwt |
59.00914
13.8978
36.36364
113.6364
|
bwt
lwt
-------------+-----------------bwt |
1.0000
lwt |
0.1858 1.0000
d2e5ca9
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Le modèle de régression linéaire simple
La commande regress permet d’estimer les paramètres d’un
modèle de régression linéaire simple ou multiple.
. regress bwt lwt
Source |
SS
df
MS
-------------+-----------------------------Model | 3449063.41
1 3449063.41
Residual | 96466235.2
187
515862.22
-------------+-----------------------------Total | 99915298.6
188 531464.354
Number of obs
F( 1,
187)
Prob > F
R-squared
Adj R-squared
Root MSE
=
189
=
6.69
= 0.0105
= 0.0345
= 0.0294
= 718.24
-----------------------------------------------------------------------------bwt |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------lwt |
9.745985 3.769138
2.59
0.010
2.31049
17.18148
_cons |
2369.184 228.4671
10.37
0.000
1918.479
2819.888
------------------------------------------------------------------------------
regress [depvar] [indepvars] [if] [in] [weight]
[ , options]
d2e5ca9
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Statistics . Linear models and related . Linear regression
d2e5ca9
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Droite de régression linéaire
Pour superposer la droite de régression sur le diagramme de
dispersion, on utilise la commande lfit (au lieu de lowess) :
. scatter bwt lwt || lfit bwt lwt
5000
4000
3000
2000
birthweight (grams)
Fitted values
1000
40
60
80
100
120
weight at last menstrual period
d2e5ca9
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Coefficients de régression
Si l’on tape regress bwt lwt, noheader coeflegend, on peut
vérifier comment sont nommés les coefficients de régression
par Stata.
. display _b[lwt]
9.7459851
Les valeurs retournées par Stata sont appelées valeurs de postestimation et on peut voir l’ensemble des valeurs stockées à
l’aide de ereturn list.
. di "Coefficient de détermination = " %3.2f e(r2)*100 " %"
Coefficient de détermination = 3.45 %
d2e5ca9
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Prédictions à partir du modèle de régression
La commande predict permet d’obtenir à la fois les valeurs
prédites (ou ajustées) et les résidus du modèle de régression.
Calcul des valeurs ajustées (xb = prédicteur linéaire) :
. predict double p, xb
. list lwt bwt p in 1/5
1.
2.
3.
4.
5.
d2e5ca9
+----------------------------+
|
lwt
bwt
p |
|----------------------------|
| 82.7273
2523
3175.4423 |
| 70.4545
2551
3055.8325 |
| 47.7273
2557
2834.3328 |
| 49.0909
2594
2847.6228 |
| 48.6364
2600
2843.1928 |
+----------------------------+
12 / 47
.
.
.
.
.
predict sep,
generate lci
generate uci
format p lci
list lwt bwt
1.
2.
3.
4.
5.
d2e5ca9
stdp
= p - 1.96*sep
= p + 1.96*sep
uci %4.1f
lci p uci in 1/5
+-------------------------------------------+
|
lwt
bwt
lci
p
uci |
|-------------------------------------------|
| 82.7273
2523
2972.5
3175.4
3378.4 |
| 70.4545
2551
2923.0
3055.8
3188.6 |
| 47.7273
2557
2702.3
2834.3
2966.4 |
| 49.0909
2594
2721.7
2847.6
2973.5 |
| 48.6364
2600
2715.3
2843.2
2971.1 |
+-------------------------------------------+
13 / 47
Prédictions à partir du modèle de régression
Au lieu de lfit, on peut utiliser lfitci pour afficher directement la droite de régression et un intervalle de confiance à
95 %.
. scatter bwt lwt, msymbol(+) msize(small) || lfitci bwt lwt
5000
4000
3000
2000
birthweight (grams)
95% CI
Fitted values
1000
40
60
80
100
120
weight at last menstrual period
d2e5ca9
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Qualité d’ajustement du modèle
Statistics . Linear models and related . Regression diagnostics
Postestimation . Reports and statistics
. estat ic
Akaike's information criterion and Bayesian information criterion
----------------------------------------------------------------------------Model |
Obs
ll(null)
ll(model)
df
AIC
BIC
-------------+--------------------------------------------------------------. |
189
-1513.509
-1510.189
2
3024.378
3030.861
----------------------------------------------------------------------------Note: N=Obs used in calculating BIC; see [R] BIC note
d2e5ca9
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Autre commande de post-estimation : fitstat (2) .
. search fitstat
. fitstat
Measures of Fit for regress of bwt
Log-Lik Intercept Only:
D(187):
R2:
AIC:
BIC:
-1513.509
3020.378
0.035
16.002
2040.171
Log-Lik Full Model:
LR(1):
Prob > LR:
Adjusted R2:
AIC*n:
BIC':
-1510.189
6.640
0.010
0.029
3024.378
-1.398
Voir aussi SPost13, http://www.indiana.edu/~jslsoc/spost13.htm.
d2e5ca9
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Analyse des résidus du modèle
Calcul des résidus (écart entre les valeurs observées et les valeurs prédites) :
.
.
.
.
predict double r, rstandard
predict double rs, rstudent
format r rs %9.5f
summarize r rs, format
Variable |
Obs
Mean
Std. Dev.
Min
Max
-------------+-------------------------------------------------------r |
189
-0.00044
1.00210
-3.06057
2.89838
rs |
189
-0.00107
1.00806
-3.13182
2.95782
d2e5ca9
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Distribution des résidus
Pour visualiser la distribution des résidus, il est possible d’utiliser un histogramme ou une courbe de densité :
. kdensity r
Kernel density estimate
.4
Density
.3
.2
.1
0
−4
−2
0
2
4
Standardized residuals
kernel = epanechnikov, bandwidth = 0.3161
d2e5ca9
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Résidus en fonction des valeurs prédites
Statistics . Linear models and related . Regression diagnostic
. twoway ( scatter r p ) ( lowess r p ) , ///
yline (0 , lcolor ( black ) lpattern ( dash )) ///
ylabel (, format (%5.1 f )) legend ( off ))
4.0
2.0
0.0
−2.0
−4.0
2800.0
3000.0
3200.0
3400.0
3600.0
Linear prediction
d2e5ca9
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Régression linéaire sur variables
catégorielles
d2e5ca9
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Codage des variables catégorielles
À la différence du modèle d’ANOVA (oneway et anova), il est
nécessaire d’indiquer à Stata comment doivent être traitées
les variables catégorielles.
On recourt à un codage sous forme d’indicatrices des k − 1
niveaux de la variable : le premier niveau sert de catégorie de
référence (sauf à modifier celle-ci à l’aide de l’opérateur ib.).
On préfixe alors le nom de la variable par l’opérateur i. (sous
les anciennes versions de Stata, on utilisait le préfixe xi:).
d2e5ca9
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Considérons la variable race, qui est une variable catégorielle
à 3 niveaux :
. tabulate race
race |
Freq.
Percent
Cum.
------------+----------------------------------white |
96
50.79
50.79
black |
26
13.76
64.55
other |
67
35.45
100.00
------------+----------------------------------Total |
189
100.00
. tabulate race, nolabel
race |
Freq.
Percent
Cum.
------------+----------------------------------1 |
96
50.79
50.79
2 |
26
13.76
64.55
3 |
67
35.45
100.00
------------+----------------------------------Total |
189
100.00
Une commande telle que tabulate race, gen(irace) permettrait de générer 3 indicatrices codant pour chacun
des niveaux de la variable race.
d2e5ca9
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Régression sur variable catégorielle
La syntaxe du modèle de régression est identique au cas précédent :
. regress bwt i.race, noheader
-----------------------------------------------------------------------------bwt |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------race |
black | -383.3181
157.8914
-2.43
0.016
-694.8064
-71.82985
other | -298.9955
113.6899
-2.63
0.009
-523.2829
-74.70811
|
_cons |
3103.01 72.88956
42.57
0.000
2959.214
3246.807
------------------------------------------------------------------------------
Le 1er niveau sert de niveau (ou catégorie) de référence.
d2e5ca9
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Changement de catégorie de référence
L’opérateur ib. permet de modifier le niveau de référence d’une
variable catégorielle explicative :
. regress bwt ib3.race, noheader
-----------------------------------------------------------------------------bwt |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------race |
white |
298.9955 113.6899
2.63
0.009
74.70811
523.2829
black | -84.32262 165.0131
-0.51
0.610
-409.8604
241.2152
|
_cons |
2804.015
87.24962
32.14
0.000
2631.889
2976.141
------------------------------------------------------------------------------
Attention, la numérotation des niveaux commence à 1, quel que soit les valeurs des codes numériques de la
variable.
d2e5ca9
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Régression linéaire multiple
d2e5ca9
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Représentation des modèles de régression
La notation Stata pour les modèles linéaires est relativement
simple : les variables explicatives suivent la variable réponse
et se présentent sous forme d’une liste.
Les interactions entre deux variables sont notées x1#x2 ou x1##x2
(interaction entre facteurs).
Voir l’aide en ligne : help varlist (opérateurs spécifiques pour
séries chronologiques) et help fvvarlist.
d2e5ca9
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Régression linéaire multiple
Le modèle de régression initial s’écrivait regress bwt lwt :
. quietly: regress bwt lwt
. estimates store mod1
La commande estimates est une commande de « post estimation » (i.e., qui opère sur les derniers résultats estimés à partir d’un modèle). Ici, estimates store permet d’enregistrer en
mémoire les résultats des estimations concernant le dernier
modèle de régression.
d2e5ca9
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Ajoutons la variable race au modèle :
. regress bwt lwt i.race, noheader
-----------------------------------------------------------------------------bwt |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------lwt |
10.25027 3.848976
2.66
0.008
2.656736
17.84379
|
race |
black | -452.0676
157.4976
-2.87
0.005
-762.7899
-141.3453
other | -242.9814
113.8326
-2.13
0.034
-467.5583
-18.40447
|
_cons |
2487.752 241.9072
10.28
0.000
2010.5
2965.003
------------------------------------------------------------------------------
d2e5ca9
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Résumé de plusieurs modèles
Statistics . Postestimation . Manage estimation results
. estimates store mod2
. estimates table mod1 mod2
---------------------------------------Variable |
mod1
mod2
-------------+-------------------------lwt | 9.7459851
10.250265
|
race |
black |
-452.06761
other |
-242.98137
|
_cons | 2369.1835
2487.7518
---------------------------------------Le package estout (http://repec.org/bocode/e/estout/) facilite l’affichage et la sauvegarde des résultats de modèles de régression. Par exemple : esttab mod1 mod2 using « resultats.rtf », r2.
d2e5ca9
29 / 47
Autre illustration
La variable ftv est une variable de comptage que l’on peut
éventuellement recoder en variable catégorielle
. tabulate ftv
number of |
visits to |
physician |
during 1st |
trimester |
Freq.
Percent
Cum.
------------+----------------------------------0 |
100
52.91
52.91
1 |
47
24.87
77.78
2 |
30
15.87
93.65
3 |
7
3.70
97.35
4 |
4
2.12
99.47
6 |
1
0.53
100.00
------------+----------------------------------Total |
189
100.00
. recode ftv (0 = 0) (1 = 1) (2/6 = 2), gen(ftvc)
(12 differences between ftv and ftvc)
d2e5ca9
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. regress bwt lwt i.race i.ftvc, notable
Source |
SS
df
MS
-------------+-----------------------------Model |
9880733.7
5 1976146.74
Residual | 90034564.9
183 491992.158
-------------+-----------------------------Total | 99915298.6
188 531464.354
Number of obs
F( 5,
183)
Prob > F
R-squared
Adj R-squared
Root MSE
=
189
=
4.02
= 0.0018
= 0.0989
= 0.0743
= 701.42
. estimates store mod3
. estimates stats *
Akaike's information criterion and Bayesian information criterion
----------------------------------------------------------------------------Model |
Obs
ll(null)
ll(model)
df
AIC
BIC
-------------+--------------------------------------------------------------mod1 |
189
-1513.509
-1510.189
2
3024.378
3030.861
mod2 |
189
-1513.509
-1505.054
4
3018.108
3031.075
mod3 |
189
-1513.509
-1503.668
6
3019.337
3038.787
----------------------------------------------------------------------------Note: N=Obs used in calculating BIC; see [R] BIC note
d2e5ca9
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Cas des modèles emboîtés
Un test du rapport de vraisemblance peut être réalisé pour
comparer l’apport d’information d’un modèle plus complexe
par rapport à un modèle de base.
. lrtest (mod1) (mod2), stats
Likelihood-ratio test
(Assumption: mod1 nested in mod2)
LR chi2(2) =
Prob > chi2 =
10.27
0.0059
Akaike's information criterion and Bayesian information criterion
----------------------------------------------------------------------------Model |
Obs
ll(null)
ll(model)
df
AIC
BIC
-------------+--------------------------------------------------------------mod1 |
189
-1513.509
-1510.189
2
3024.378
3030.861
mod2 |
189
-1513.509
-1505.054
4
3018.108
3031.075
----------------------------------------------------------------------------Note: N=Obs used in calculating BIC; see [R] BIC note
d2e5ca9
32 / 47
Régression logistique
d2e5ca9
33 / 47
Cas des données individuelles ou groupées
Statistics . Binary outcomes
Stata dispose de commandes différentes selon que l’on travaille sur des données individuelles (logistic et logit) ou groupées (blogit).
La démarche de modélisation est identique à celle vue dans
le cas de la régression linéaire. La régression logistique utilise
par défaut le lien « logit », mais il est possible de travailler sur
une échelle de lien « probit » à l’aide de la commande probit.
d2e5ca9
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Rappels sur l’odds-ratio
Statistics . Epidemiology and related . Tables for epidemiologists . Ratio of odds of failure for two categories
Outre la commande tabodds, Stata offre la commande mhodds :
. mhodds low smoke
Maximum likelihood estimate of the odds ratio
Comparing smoke==1 vs. smoke==0
---------------------------------------------------------------Odds Ratio
chi2(1)
P>chi2
[95% Conf. Interval]
---------------------------------------------------------------2.021944
4.90
0.0269
1.069897 3.821169
----------------------------------------------------------------
d2e5ca9
35 / 47
Odds-ratio et stratification
Considérons 3 groupes d’âge pour les mères et réalisons un
test de Maentel-Haenszel pour obtenir une estimation de l’oddsratio en contrôlant pour le facteur âge.
. xtile age3 = age, nq(3)
. table low smoke age3
------------------------------------------------------------------------------birthwei |
3 quantiles of age and smoked during pregnancy
ght<2500 | --------- 1 ---------------- 2 ---------------- 3 -------g
| nonsmoker
smoker
nonsmoker
smoker
nonsmoker
smoker
---------+--------------------------------------------------------------------0 |
27
19
33
10
26
15
1 |
11
12
13
10
5
8
-------------------------------------------------------------------------------
d2e5ca9
36 / 47
. mhodds low smoke, by(age3)
Maximum likelihood estimate of the odds ratio
Comparing smoke==1 vs. smoke==0
by age3
------------------------------------------------------------------------------age3 | Odds Ratio
chi2(1)
P>chi2
[95% Conf. Interval]
----------+-------------------------------------------------------------------1 |
1.550239
0.72
0.3956
0.55919
4.29774
2 |
2.538462
2.86
0.0909
0.82860
7.77674
3 |
2.773333
2.47
0.1163
0.73437
10.47341
------------------------------------------------------------------------------Mantel-Haenszel estimate controlling for age3
---------------------------------------------------------------Odds Ratio
chi2(1)
P>chi2
[95% Conf. Interval]
---------------------------------------------------------------2.120916
5.38
0.0203
1.107041 4.063342
---------------------------------------------------------------Test of homogeneity of ORs (approx): chi2(2)
Pr>chi2
=
=
0.62
0.7325
Le test de Mantel-Haenszel s’obtient également à l’aide de la commande cc : cc low smoke, by(age3).
d2e5ca9
37 / 47
Le modèle de régression logistique
Statistics . Binary outcomes . Logistic regression (reporting
odds ratios)
Considérons le même modèle que dans le cadre linéaire : poids
des bébés (low) en fonction du poids de la mère (lwt).
. logistic low lwt
Logistic regression
Log likelihood = -114.35403
Number of obs
LR chi2(1)
Prob > chi2
Pseudo R2
=
=
=
=
189
5.96
0.0146
0.0254
-----------------------------------------------------------------------------low | Odds Ratio Std. Err.
z
P>|z|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------lwt |
.9695903 .0131581
-2.28
0.023
.9441409
.9957257
_cons |
2.706788 2.125487
1.27
0.205
.5808364
12.61405
-----------------------------------------------------------------------------La valeur de pseudo R2 reportée par Stata correspond au coefficient de McFadden (3) .
d2e5ca9
38 / 47
Qualité d’ajustement du modèle
Utilisation de la commande de post-estimation fitstat (2) , au
lieu des commandes par défaut estat.
. fitstat
Measures of Fit for logistic of low
Log-Lik Intercept Only:
D(187):
-117.336
228.708
McFadden's R2:
0.025
Maximum Likelihood R2:
0.031
McKelvey and Zavoina's R2:
0.053
Variance of y*:
3.474
Count R2:
0.688
AIC:
1.231
BIC:
-751.499
d2e5ca9
Log-Lik Full Model:
LR(1):
Prob > LR:
McFadden's Adj R2:
Cragg & Uhler's R2:
Efron's R2:
Variance of error:
Adj Count R2:
AIC*n:
BIC':
-114.354
5.964
0.015
0.008
0.044
0.031
3.290
0.000
232.708
-0.722
39 / 47
Alternative à logistic
Il est possible d’utiliser logit mais dans ce cas les résultats
sont exprimés sur l’échelle du log-odds, à moins de spécifier
l’option or :
. logit low ui, nolog
Logistic regression
Log likelihood = -114.79795
Number of obs
LR chi2(1)
Prob > chi2
Pseudo R2
=
=
=
=
189
5.08
0.0243
0.0216
-----------------------------------------------------------------------------low |
Coef.
Std. Err.
z
P>|z|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------ui |
.9469277
.4167734
2.27
0.023
.1300669
1.763789
_cons | -.9469277 .1756215
-5.39
0.000
-1.29114
-.6027159
------------------------------------------------------------------------------
. display exp(_b[ui])
2.5777778
d2e5ca9
40 / 47
Performances diagnostiques
En post-estimation, il est possible d’obtenir un tableau de contingence des prédictions (Pr(Y = 1) ≥ 0.5) et des valeurs observées.
. estat classification
Logistic model for low
-------- True -------Classified |
D
~D |
Total
-----------+--------------------------+----------+
|
14
14 |
28
|
45
116 |
161
-----------+--------------------------+----------Total
|
59
130 |
189
Classified + if predicted Pr(D) >= .5
True D defined as low != 0
-------------------------------------------------Sensitivity
Pr( +| D)
23.73%
Specificity
Pr( -|~D)
89.23%
Positive predictive value
Pr( D| +)
50.00%
Negative predictive value
Pr(~D| -)
72.05%
-------------------------------------------------d2e5ca9
41 / 47
Courbe ROC
Statistics . Binary outcomes . Postestimation . ROC curve after
logistic/logit/probit/ivprobit
La courbe ROC est obtenue en post-estimation également à
l’aide de lroc :
. quietly: logit low lwt
. lroc
Logistic model for low
number of observations =
area under ROC curve
=
189
0.6130
1.00
Sensitivity
0.75
0.50
0.25
0.00
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1 − Specificity
d2e5ca9
Area under ROC curve = 0.6130
42 / 47
Prédictions ponctuelles et par IC
La commande predict s’utilise pour calculer les valeurs ajustées pour un modèle donné ou pour estimer les valeurs de
probabilité ou de log-odds pour de nouvelles observations : il
s’agit d’une commande de post-estimation, et elle s’utilisera
donc après avoir construit un modèle de régression avec logit
ou logistic.
Si l’on souhaite obtenir les probabilités prédites, on utilisera
l’option p :
. quietly: logit low lwt
. predict pr, p
d2e5ca9
43 / 47
On peut toujours calculer les IC à 95 % manuellement comme
suit (en travaillant sur l’échelle du log-odds, par exemple) :
.
.
.
.
.
predict lo, xb
predict lose, stdp
generate lolci = lo - 1.96*lose
generate louci = lo + 1.96*lose
list low lolci lo louci in 1/5
1.
2.
3.
4.
5.
d2e5ca9
+-----------------------------------------+
| low
lolci
lo
louci |
|-----------------------------------------|
|
0
-2.319452
-1.558992
-.7985321 |
|
0
-1.661833
-1.17999
-.6981474 |
|
0
-.8705271
-.4781343
-.0857414 |
|
0
-.891801
-.5202456
-.1486902 |
|
0
-.8844509
-.5062085
-.1279662 |
+-----------------------------------------+
44 / 47
1
0
−1
−2
−3
−4
35
50
65
80
lwt
Linear prediction (log odds)
d2e5ca9
95
110
125
lolci/louci
45 / 47
Références I
1. D Hosmer and S Lemeshow. Applied Logistic Regression. New York : Wiley, 1989.
2. JS Long. Regression Models for Categorical Dependent Variables Using Stata. College Station : Stata Press, 2014.
3. EW Steyerberg, AJ Vickers, NR Cook, T Gerds, M Gonen, N Obuchowski, MJ Pencina,
and MW Kattan. Assessing the performance of prediction models, a framework for
traditional and novel measures. Epidemiology, 21(1) :128–138, 2010.
d2e5ca9
46 / 47
Index des commandes
correlate, 7
display, 11, 40
e(), 11
estat, 15, 41
estimates stats, 31
estimates store, 27, 29,
31
estimates table, 29
esttab, 29
exp, 40
findit, 16
fitstat, 16, 39
format, 17
d2e5ca9
generate, 13, 44
kdensity, 18
lfit, 10
lfitci, 14
list, 12, 13
logistic, 38
logit, 40, 43
lowess, 6, 19
lroc, 42
lrtest, 32
mhodds, 35, 37
predict, 12, 13, 17, 43, 44
probit, 34
quietly, 27, 43
recode, 30
regress, 8, 23, 24, 27, 28,
31
replace, 6
scatter, 6, 10, 14, 19
summarize, 17
table, 36
tabulate, 22, 28, 30
twoway, 19
webuse, 27
xtile, 36
47 / 47