Cours 9 : Les trous noirs de Schwarzschild

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Cours 9: trous noires de Schwarzschild
Cours 9 : Les trous noirs de Schwarzschild
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Résumé du cours d’aujourd’hui
– Résumé du cours 8 (pour lequel nous n’avons pas eu le temps)
sur la conservation d’énergie et d’impulsion
– Introduction à les trous noirs de Schwarzschild.
– Changement du genre d’une coordonnée.
– Mouvement géodésique.
2
Conservation d’énergie et d’impulsion
– Voir (Hobson et al., 2010, Chapitre 8) et e (Schutz , 2009,
chapitre 4).
– Comme T décrit l’énergie et l’impulsion d’un fluide ou système
de particules, il devrait être liée à les principes de conservation
d’énergie et d’impulsion.
– Considérons un volume de fluide cubique de longueur l (en
coordonnées pseudo-cartésiens). (Voir pp. 98–99 dans
Schutz(2009)). On peut démontrer la conservation d’énergie et
d’impulsion,
∂T αβ
=0
β
∂x
– La démonstration en coordonnées pseudo-cartesiens est plus
3
4
facile ; dans lesquels Γµ αβ = 0 et donc,
∂T αβ
αβ
=
∇
T
=0
β
β
∂x
Mais le deuxième égalité est une équation tensorielle, et par
conséquent elle est valide dans tous référentiels ! (Si ça vous
inquiète, voir aussi l’explication dans § 8.3 de HEL2010.)
– Puis T αβ = T βα , donc nous avons aussi :
∇α T αβ = ∇α T βα = 0
Les trous noirs : introduction
– En 1784 John Michell a remarqué que si un corps de masse
donnée était assez dense la vitesse de libération serait supérieure
à c. Leur gravité seraient si forte que rien, pas même la lumière,
ne peut s’en échapper.
– Dans la relativité générale nous pouvons aussi avoir un tel objet.
Ils sont appelés les « trous noirs ».
– En principe, en peut avoir un trou noir d’il n’importe quelle
masse. C’est la densité de masse qui est importante.
– Les trous noirs macroscopique sont caractérisés par trois
paramètres, leurs (i) masse, (ii) charge électrique, (iii) moment
cinétique :
1. le trou noir de Schwarzschild est statique et électriquement
neutre ;
5
2. le trou noir de Kerr est en rotation et électriquement neutre ;
3. les trous noirs chargés électriquement en rotation ou statique.
– Dans l’astrophysique c’est le trou noir de Kerr le plus important
parce que la plus part de corps massifs dans l’univers sont cru
d’être électriquement neutre et en rotation.
– Si vous voulez pratiquer votre anglais et apprendre la vie de Roy
Kerr (1934–), il y un biographie populaire par Melia (2009).
– Nous avons vu la métrique de Schwarzschild qui décrit la
géométrie de l’espace-temps vide autour du premier trou noir.
– Aujourd’hui nous discutons en plus détail le trou noir de
Schwarzschild.
6
7
Coordonnées du genre temps et du genre
espace
– Dans la relativité restreinte on parle des intervalles du genre
temps ou du genre espace.
– Considérons deux événements par exemple dite A et B séparés
temporellement de ∆t et spatialement de ∆l :
2
i
i
j
j
(∆l) = ηij x (B) − x (A) x (B) − x (A)
= ηij ∆xi ∆xj
= (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2
– Rappelez-vous de cours 1, nous avons défini l’intervalle de
relativité restreinte comme :
(∆s)2 = −c2 (∆t)2 + (∆l)2
(1)
– Si (∆s)2 < 0 l’intervalle entre A et B est dite du genre temps
parce que la partie temporelle est plus grande. Une particule
massive peut en principe traverser un intervalle du genre temps.
Les deux événements peut être reliés causalement.
– Par contre, si (∆s)2 > 0 l’intervalle de A et B est dite du genre
espace. Une particule massive ou même un photon ne peut pas
traverser un intervalle du genre espace. Les deux événements ne
peut pas être reliés causalement.
– Et c’est claire, à cause de l’invariance de la vitesse de la lumière,
que les photons toujours lient les événements avec un intervalle
du genre nul, (∆s)2 = −c2 (∆t)2 + (∆l)2 = 0.
– En relativité générale nous pouvons caractériser une coordonnée
au signe de l’intervalle élémentaire ds2 comme le suivant.
– Nous allons voir que le genre est fixé uniquement par le signe de
gαα .
– Si nous fixons toutes les coordonnées sauf qu’un, y par exemple,
8
9
et nous faisons un petit pas dy, puis si
ds2 = gyy dy 2 < 0
nous disons que cette coordonnée est du genre temps. Par contre,
si gyy dy 2 > 0 puis y est une coordonnée du genre espace.
– Clairement, puis dxα ∈ <, le genre est fixé uniquement par le
signe de gαα .
– En relativité générale une coordonnée peut change du genre avec
événement !
Changement du genre d’une coordonnée
– Rappel : métrique de Schwarzschild. A partir des arguments de
symétrie, nous avons décidé que le tenseur métrique doit être
(ds)2 = −A(r)dt2 + B(r)dr2 + r2 (dθ)2 + r2 sin2 θ (dφ)2
et quand nous résolvons les équations d’Einstein du vide,
Rαβ = 0, nous trouvons que
2µ
2
A(r) = c /B(r) = 1 −
r
Et en exigant que puis r → ∞ nous retrouvons la loi de Newton,
il faut que
GM
µ≡ 2
c
– TD : Dans la métrique de Schwarzschild, quel est le genre de r
10
quand r > 2 µ,
– TD : Quel est le genre de r quand r < 2 µ.
11
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Singularités d’espace et des coordonnées
– C’est bien claire qu’il y a un singularité au r = rs , le rayon de
Schwarzschild :
rs ≡ 2 µ.
Mais, ce n’est pas très évident si cette singularité était due au
choix de coordonnées ou est due au singularité vrai
d’espace-temps là.
– Qu’est-ce-que c’est « une singularité due au choix de
coordonnées » ?
– TD : Est-ce-qu’il y a quelque chose spécial de la géométrie
d’espace au pole nord ?
– On peut montrer le scalaire de Ricci est, à un événement donné,
est
2
48µ
R ≡ Rα α = 6
r
Donc, la courbure est fini à r = rs .
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Le rayon de Schwarzschild du Soleil
– Rappel : Notre argument pour le tenseur métrique de
Schwarzschild n’était valable que dans le vide autour la sphère
massive avec centre à r = 0. Si le rayon de la sphère est plus
grande que rs , notre solution n’y sera pas valable.
– TD : Qu’est-ce-que c’est rs pour notre Soleil ?
– Le rayon de notre Soleil est environ R = 696 000 km, sa masse
est M ≈ 2 × 1030 kg, est la constante de la gravitation
G = 6, 674 × 10−11 m3 kg−1 s−2 , et c ≈ 3 × 108 m s−1 .
– TD : Est-ce-qu’il y a un trou noir dedans le Soleil ?
14
15
Le rayon de Schwarzschild du Soleil
– TD : Solution : Le rayon de Schwarzschild rs pour notre Soleil est
rs ≈ 3km
et donc le Soleil n’est pas un trou noir !
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Les particules autours un trou noir de
Schwarzschild
– Nous comprenons plus un trou noir par étudier les trajectoires
des particules en chute libre autours le trou noir.
– Les particules massives et même les photons, en chute libre,
suivent les géodésiques.
– Les particules massives en chute libre suivent les géodésiques du
genre temps,
ds2 = gαβ dxα dxβ < 0
– Mais les photons suivent les géodésiques du genre nul,
ds2 = gαβ dxα dxβ = 0
Mouvement géodésique et la conservation
d’énergie-impulsion
– Rappelez-vous que pendant cours 5 nous avons dit que le
principe d’équivalence tiens que : La trajectoire d’une particule
dans un champ de gravitation et aucune force (pas de champ
électrique, nucléaire, etc. ), ce sera celle d’une particule libre –
c’est-a-dire la trajectoire d’une particule en chute-libre dans un
champ de gravitation est une géodésique de l’espace-temps.
– La équation de mouvement de ce particule est
dp
=0
dτ
– Il est possible montrer que les équations d’Einstein, et la
conservation d’énergie-impulsion, ∇α T αβ = 0, conduisent à ce
résultat, § 8.8 de HEL2010.
17
18
Géodésiques : paramètre affine
– Un géodésique est une généralisation de la notion de ligne droite.
Voir § 3.17 HEL2010. Il est plus facile d’écrire l’équation de
géodésiques utilisant un paramètre affine – c’est-a-dire il un
change pas la magnitude du vecteur tangente t :
d α
(x eα )
t=
dλ
Si |t(λ)| est constante le longe de la ligne, puis λ est dite
« affine ».
– Le temps-propre τ est toujours un paramètre affine parce que,
t=
d α
(x eα ) ≡ u,
dτ
la quadri-vitesse
et toujours
u · u = |u|2 = −c2
Donc τ est un paramètre affine !
19
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Équation des géodésiques
– Sur un géodésique la direction de vecteur tangente ne change pas
le longe de la ligne (autrement dit le vecteur tangent est
transporté parallèlement).
– L’équation de géodésiques utilisant un paramètre affine λ est
donc
dt
= 0,
dλ
définition d’un géodésique
(2)
– Mais, si λ = τ
d α
t=
(x eα ) ≡ u,
dτ
la quadri-vitesse
et nous obtenons une équation pour les géodésiques utilisant la
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dérivée covariante :
dt
du
=
=0
dτ
dτ
dxβ ∂
α
0=
(u
e
)
α
β
dτ ∂x
= uβ ∇β uα
= uβ [∂β uα − Γσ αβ uσ ]
– TD : Plutôt que utilisant u = uα eα , utilisez les composantes
covariant u = uα eα et dérivez l’équation de géodésiques :
dxβ dxγ
d2 xα
α
+ Γ βγ
=0
2
dτ
dτ dτ
(3)
22
Équation des géodésiques
– TD : Solution : (Hobson et al., 2010, Eq. (3.47))
du
dxβ ∂
α
=0=
(u
eα )
β
dτ
dτ ∂x
= uβ ∇β uα
= uβ [∂β uα + Γα σβ uσ ]
duα
+ Γα σβ uσ uβ
=
dτ
σ β
α
dx
d dx
dx
=
+ Γα σβ
dτ
dτ
dτ
dτ
d2 xα
dxσ dxβ
α
0=
+ Γ σβ
2
dτ
dτ dτ
(4)
23
Paramètre affine pour les géodésiques
nulle
– TD : Un photon en mouvement dans la direction x.
Qu’est-ce-que c’est sa quadrivitesse ?
– TD : Rappelez-vous la définition de la quadrivitesse est :
dxα
u ≡
dτ
α
Pourquoi nous ne pouvons pas utiliser le temps propre pour le
paramètre affine d’une géodésiques nulle ?
– TD : Qu’est-ce-qu’on peut faire ? Indice : Quel vecteur est
toujours tangent de la trajectoire ou « ligne d’Univers » d’un
photon ?
Paramètre affine pour les géodésiques
nulle . . .
– TD : Solution : Un photon en mouvement dans la direction x a
une quadrivitesse
u = lim γ(v)(c, v, 0, 0) = (∞, ∞, 0, 0)
v→c
– TD : Solution : Rappelez-vous la définition de la quadrivitesse
est :
dx0
dx0
dτ = 0 =
=0
u
∞
Nous ne pouvons pas utiliser le temps propre pour le paramètre
affine d’une géodésique nulle parce qu’il est toujours zéro.
– TD : Solution : Le quadri-impulsion est toujours tangent de la
trajectoire ou « ligne d’Univers » d’un photon ! Et dans la
24
25
mécanique quantique l’énergie et l’impulsion d’un photon sont
E = hν
h
|~
p| =
λ
où h désigne la constante de Planck, ν désigne la fréquence, et λ
désigne la longueur d’onde. Donc, la quadri-impulsion d’un
photon en mouvement dans la direction x est
E h
hν h
p=
, , 0, 0 =
, , 0, 0
c λ
c λ
– Donc nous paramétrons le ligne d’Univers d’un photon avec un
paramètre σ tel que,
dxα
= pα
dσ
26
Géodésiques définies à partir de l’aspect
extrémal d’intervalle
– Nous avons vu l’équation de géodésiques à partir d’idée que le
vecteur tangent ne change pas de direction le longe de la
géodésique.
– Mais une géodésique est aussi la trajectoire la plus courte. Donc
nous pouvons les trouver en cherchant la trajectoire avec « la
plus courte »
Z
Z
ds2 =
L dσ 2
où L désigne
dxα
L ≡ gαβ ẋ ẋ ,
ẋ ≡
dσ
– On peut aussi penser de L comme le lagrangien L = T − V dans
α β
α
27
lequel T est comme un « énergie cinétique »
dxα dxβ
T = gαβ
dσ dσ
et notre paramètre affine est comme le temps, et l’énergie
potentielle V = 0 parce que la particule qui suive une géodésique
est libre – il n’subit aucune force (rappelez-vous que dans la RG
la gravité n’est pas une force. Elle s’agit la courbure
d’espace-temps !) Je n’aime trop ce argument parce que le
paramètre affine σ n’est toujours pas le temps-propre. Je pense
que c’est plus générale de penser d’une géodésique comme un
ligne ou une trajectoire dans une variété courbure qui minimise
l’intervalle.
Géodésiques de la métrique de
Schwarzschild
– À minimiser ds2 on résout les équations de Euler-Lagrange
(très bref en français voir (Hobson et al., 2010, Appendice 3C) ;
beaucoup plus de détail mais en anglais voir (Boas, 1983,
Chapitre 9))
– Équations de Euler-Lagrange sont
∂L
∂L
d
−
=0
(5)
α
α
dσ ∂ ẋ
∂x
R
– Ici, pour la métrique de Schwarzschild
−1
2µ 2 2
2µ
α β
L = gαβ ẋ ẋ = 1 −
c ṫ − 1 −
ṙ2 −r2 [θ̇2 +sin2 θφ̇2 ]
r
r
– TD : Trouvez l’équations de Euler-Lagrange pour les
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composantes t et φ.
– La composante θ n’est pas nécessaire, parce que nous pouvons
toujours, sans perdre de généralité, choisir le système des
coordonnées tel que la motion est dans le plan équatorial θ = π/2.
– La composante r = 0 est un peu difficile. C’est plus facile de
prendre au d’abord une intégrale première de l’équations de
Euler-Lagrange (voir HEL2010).
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Interpretations des equations pour t et φ
– Nous faisons notre interprétation pour le cas d’une particule de
masse m0 et où notre paramètre affine σ = τ (Hobson et al.,
2010, voir Chapitre 9.5)
– La première équation dans (5) (i.e. α = 0, celle de t) décrit la
30
31
conservation d’énergie :
2µ
ṫ = k
1−
r
gtt c ṫ = c k
gtt (m0 c ṫ) = m0 c k
gtt pt = m0 c k
pt = m0 c k
, et donc
E
pt
k=
=
m0 c
m 0 c2
(6)
– La φ équation décrit la conservation de quantité de mouvement
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angulaire :
r2 sin2 θ φ̇ = h
h a aucune relation avec la constante de Planck
gφφ φ̇ = h
gφφ (m0 φ̇) = m0 h
pφ = m0 h
pφ
h=
m0
, et donc
(7)
Références
Boas, M. L. (1983), Mathematical methods in the physical sciences,
793 pp., John Wiley and Sons, New York, 793 + xiv pp.
Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativité
Générale, de boeck, Bruxelles.
Melia, F. (2009), Cracking the Einstein Code : Relativity and the
Birth of Black Hole Physics, University of Chicago Press.
Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge
University Press, Cambridge UK.
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