Diaporama

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Diaporama

Lister les nombres premiers
La fonction π
À la recherche d’une formule
Pt th. de Fermat
Sur la répartition des nombres premiers.
Vincent PANTALONI
Lycée Jean Zay
[email protected]
2013
Nombres premiers
Lycée Jean Zay, Orléans.
La fonction π
Pt th. de Fermat
Plan
Le crible d’Ératosthène.
Les premiers nombres premiers.
La fonction π
Le théorème des nombres premiers.
Fermat et Mersenne
Le petit théorème de Fermat, une propriété caractéristique ?
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
I
2 est le plus petit nombre premier, il est pair
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
I
2 est le plus petit nombre premier, il est pair et c’est le seul.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
I
Puisque les autres sont divisibles par 2.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
I
I
3 est premier puisqu’il n’est pas divisible par le seul premier qui
lui soit inférieur.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
I
I
3 est le seul premier qui soit divisible par 3. Tous les autres
multiples de 3 ne peuvent pas être premiers.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
I
I
I
4 n’est pas premier : 4 = 2 × 2
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
I
I
I
I
5 n’est pas divisible par 2 ou 3, il est premier, mais aucun autre
de ses multiples ne le sont.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
I
I
I
I
5 n’est pas divisible par 2 ou 3, il est premier, mais aucun autre
de ses multiples ne le sont.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Et ainsi de suite. . .
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Et ainsi de suite. . . Ce raisonnement donne un algorithme inventé
par Ératosthène. (' 300 av. JC) pour déterminer les nombres
premiers.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
premiers.
1. On part d’un tableau disons n × n où on écrit tous les entiers
de 1 à n2 .
2. On part de 2
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
premiers.
de 1 à n2 .
2. On part de 2 (on le colorie en bleu par exemple pour dire qu’il
est premier)
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
premiers.
de 1 à n2 .
est premier) et on raye
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
premiers.
de 1 à n2 .
est premier) et on raye (ou on crible)
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
premiers.
de 1 à n2 .
est premier) et on raye (ou on crible) tous ses multiples sauf lui
même.
3. On passe au prochain nombre non barré (là c’est 3) on le
colorie
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
premiers.
de 1 à n2 .
même.
colorie et on barre ses multiples.
4. On répète la dernière étape jusqu’à avoir fini la première ligne
du tableau.
5. Les nombres non barrés qui restent sont premiers.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
premiers.
de 1 à n2 .
même.
du tableau.
5. Les nombres non barrés qui restent sont premiers. Car il ne sont
divisible par aucun nombre premier inférieur à leur racine carrée.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
premiers.
de 1 à n2 .
même.
du tableau.
5. Les nombres non barrés qui restent sont premiers. Car il ne sont
divisible par aucun nombre premier inférieur à leur racine carrée.
Voyons une animation.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Chaque nombre composé divisible par d > 1 est entouré par un
polygone régulier à d côtés.
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
0
0
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
18
18
19
19
20
20
21
21
22
22
23
23
24
24
25
25
26
26
27
27
28
28
29
29
30
30
31
31
32
32
33
33
34
34
35
35
36
36
37
37
38
38
39
39
40
40
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
π(x)
Pour voir la répartition des nombres premiers on peut compter
combien il y a de nombres premiers inférieurs à un nombre x donné.
Cela définit une fonction essentielle notée la fonction π.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Liste des nombres premiers 6 10.
Il y a 4 nombres premiers inférieurs à 10 soit 40% :
2, 3, 5, 7
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Il y a 4 nombres premiers inférieurs à 10 soit 40% :
2, 3, 5, 7
Donc π(10) = 4.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100, soit 25% :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100, soit 25% :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101
Donc π(100) = 25.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Il y a 168 nombres premiers inférieurs à 1000, soit 16,8% :
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83
89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167
173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251
257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347
349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523
541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619
631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727
733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937
941 947 953 967 971 977 983 991 997
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Il y a 168 nombres premiers inférieurs à 1000, soit 16,8% :
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83
89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167
173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251
257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347
349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523
541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619
631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727
733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937
941 947 953 967 971 977 983 991 997
Donc π(1000) = 168.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
La fonction π
Plus généralement on peut définir la fonction π sur R
Définition
Pour x ∈ R, π(x) compte le nombre d’éléments de l’ensemble
{p ∈ P; p 6 x}
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
La fonction π
Définition
{p ∈ P; p 6 x}
Exemple
π(6, 32) = 3 car il y a 3 nombres premiers inférieurs à 6,32 qui sont
2, 3, et 5.
π(2, 99) = 1 ; π(3, 01) = 2.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
La fonction π
Définition
{p ∈ P; p 6 x}
Exemple
π(6, 32) = 3 car il y a 3 nombres premiers inférieurs à 6,32 qui sont
2, 3, et 5.
π(2, 99) = 1 ; π(3, 01) = 2.
Ensuite on peut tracer sa courbe, à vous de jouer.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Courbe de la fonction π sur [0; 45]
π(x) = nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x.
14
12
10
8
6
4
2
−5
O
−2
Nombres premiers
5
10
15
20
25
30
35
40
45
La fonction π
Pt th. de Fermat
14
12
Courbe de la fonction π
10
8
6
4
2
−5
O
−2
Nombres premiers
5
10
15
20
25
30
35
40
45
La fonction π
Pt th. de Fermat
14
12
Courbe de la fonction π
10
8
6
4
2
−5
O
−2
5
10
15
20
25
30
35
40
45
On observe une courbe discontinue, croissante avec des plateaux de
longueur variable.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
De grands plateaux.
Propriété
Il existe des intervalles aussi grands qu’on veut ne contenant aucun
nombre premier.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
De grands plateaux.
Propriété
nombre premier.
Démonstration.
Soit n entier supérieur à 3. Justifier que l’intervalle [n! + 2 ; n! + n]
ne comporte aucun nombre premier.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
De grands plateaux.
Propriété
nombre premier.
Démonstration.
Soit n entier supérieur à 3. Justifier que l’intervalle [n! + 2 ; n! + n]
ne comporte aucun nombre premier.
Cela laisse comprendre que les nombres premiers sont de plus en
plus rares et que leur répartition est irrégulière. Et pourtant à
grande échelle. . .
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Courbe de la fonction π sur [0; 100 000]
y = π(x)
8000
6000
4000
2000
20 000
Nombres premiers
40 000
60 000
80 000
100 000
La fonction π
Pt th. de Fermat
Courbe de la fonction π sur [0; 100 000]
y = π(x)
y=
x
ln(x)
8000
6000
4000
2000
20 000
Nombres premiers
40 000
60 000
80 000
100 000
La fonction π
Pt th. de Fermat
si on trace la courbe de π pour de grandes valeurs de x on observe
x
. C’est à dire que
une courbe régulière très proche de celle de
ln(x)
x
pour x très grand, π(x) est très proche
.
ln(x)
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
x
ln(x)
x
. Plus formellement :
ln(x)
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
x
ln(x)
x
ln(x)
Théorème
Lorsque x → +∞, on a : π(x) ∼
Nombres premiers
x
ln(x)
La fonction π
Pt th. de Fermat
x
ln(x)
x
ln(x)
Théorème
Lorsque x → +∞, on a : π(x) ∼
x
c’est-à-dire que :
ln(x)
lim π(x)/
x→+∞
Nombres premiers
x
ln(x)
=1
La fonction π
Pt th. de Fermat
Un peu d’histoire
Le théorème des nombres premiers a été conjecturé dans la marge
d’une table de logarithmes par Gauss en 1792 ou 1793 alors qu’il
avait seulement 15 ou 16 ans, puis il a été démontré
indépendamment par Hadamard et De La Vallée Poussin en 1896 à
l’aide de méthodes d’analyse complexe, en particulier la fonction ζ
de Riemann.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Le théorème des nombres premiers permet d’obtenir une formule qui
donne le comportement asymptotique du ne nombre premier p(n) :
p(n) ∼ n ln(n)
Exemples
Le 1000e nombre premier devrait être environ égal à
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
p(n) ∼ n ln(n)
Exemples
1000 ln(1000) ' 6907
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
p(n) ∼ n ln(n)
Exemples
1000 ln(1000) ' 6907 et en fait c’est 7919.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
p(n) ∼ n ln(n)
Exemples
1000 ln(1000) ' 6907 et en fait c’est 7919.
10000 ln(10000) ' 92 103
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
p(n) ∼ n ln(n)
Exemples
1000 ln(1000) ' 6907 et en fait c’est 7919.
10000 ln(10000) ' 92 103 et en fait c’est 104 729.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
p(n) ∼ n ln(n)
Exemples
1000 ln(1000) ' 6907 et en fait c’est 7919.
10000 ln(10000) ' 92 103 et en fait c’est 104 729.
On n’obtient que des résultats très approchés. . .
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
I
Idéalement on rêverait d’avoir une formule donnant le ne
nombre premier.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
I
nombre premier.
I
Ce serait même déjà pas mal d’avoir une formule qui ne ne
donnerait que des nombres premiers.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
I
nombre premier.
I
Ce serait même déjà pas mal d’avoir une formule qui ne ne
donnerait que des nombres premiers.
Et si possible une infinité.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat et Mersenne
Pierre de Fermat (1601-1665) et Marin Mersenne étaient
contemporains et ont étudié les nombres premiers. Ils ont
correspondu ensemble et avec Blaise Pascal.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat et Mersenne
I
Mersenne s’intéressa aux nombres premiers de la forme 2n − 1.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat et Mersenne
I
Mersenne s’intéressa aux nombres premiers de la forme 2n − 1.
I
Fermat s’intéressa aux nombres premiers de la forme 2n + 1
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
Mersenne prouva que pour qu’un nombre de la forme 2n − 1 soit
premier, il faut que n lui même soit premier.
Propriété
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
Propriété
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Démonstration.
Montrons la contrapposée, c’est à dire
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
Propriété
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Démonstration.
Montrons la contrapposée, c’est à dire n ∈
/ P =⇒ 2n − 1 ∈
/ P.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
Propriété
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Démonstration.
/ P =⇒ 2n − 1 ∈
/ P.
Soit n ∈
/ P.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
Propriété
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Démonstration.
/ P =⇒ 2n − 1 ∈
/ P.
Soit n ∈
/ P. Il existe c et d entiers différents de 1 tels que n = cd.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
Propriété
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Démonstration.
/ P =⇒ 2n − 1 ∈
/ P.
Soit n ∈
Alors 2n − 1 = 2cd − 1 =
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
Propriété
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Démonstration.
/ P =⇒ 2n − 1 ∈
/ P.
Soit n ∈
Alors 2n − 1 = 2cd − 1 = (2c )d − 1
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
Propriété
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Démonstration.
/ P =⇒ 2n − 1 ∈
/ P.
Soit n ∈
Alors 2n − 1 = 2cd − 1 = (2c )d − 1
xd − 1
Or
=
x −1
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
Propriété
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Démonstration.
/ P =⇒ 2n − 1 ∈
/ P.
Soit n ∈
Alors 2n − 1 = 2cd − 1 = (2c )d − 1
xd − 1
Or
= 1 + x + x 2 + · · · + x d−1 .
x −1
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
Propriété
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Démonstration.
/ P =⇒ 2n − 1 ∈
/ P.
Soit n ∈
Alors 2n − 1 = 2cd − 1 = (2c )d − 1
xd − 1
Or
= 1 + x + x 2 + · · · + x d−1 . Pour x = 2c :
x −1
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
Propriété
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Démonstration.
/ P =⇒ 2n − 1 ∈
/ P.
Soit n ∈
Alors 2n − 1 = 2cd − 1 = (2c )d − 1
xd − 1
Or
= 1 + x + x 2 + · · · + x d−1 . Pour x = 2c :
x −1
2n − 1 = (2c )d − 1 =
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
Propriété
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Démonstration.
/ P =⇒ 2n − 1 ∈
/ P.
Soit n ∈
Alors 2n − 1 = 2cd − 1 = (2c )d − 1
xd − 1
Or
= 1 + x + x 2 + · · · + x d−1 . Pour x = 2c :
x −1
2n − 1 = (2c )d − 1 = (2c − 1)(1 + 2c + 22c + · · · 2c(d−1) )
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
Propriété
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Démonstration.
/ P =⇒ 2n − 1 ∈
/ P.
Soit n ∈
Alors 2n − 1 = 2cd − 1 = (2c )d − 1
xd − 1
Or
= 1 + x + x 2 + · · · + x d−1 . Pour x = 2c :
x −1
2n − 1 = (2c )d − 1 = (2c − 1)(1 + 2c + 22c + · · · 2c(d−1) )
Ainsi 2n − 1 n’est pas premier.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
Malheureusement la propriété de Mersenne n’est pas une
équivalence. Quelle est la réciproque de :
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Prouvez que la réciproque est fausse.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Pour n = 11 qui est premier, on a
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Pour n = 11 qui est premier, on a 211 = 2047
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Mersenne
2n − 1 ∈ P =⇒ n ∈ P
Pour n = 11 qui est premier, on a 211 = 2047 = 23 × 89
Actuellement on ne connaı̂t que 48 nombres de Mersenne qui soient
premiers mais ils fournissent les records de grands nombres premiers.
cf programme GIMPS.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
Fermat prouva que pour qu’un nombre de la forme 2k + 1 soit
premier, il faut que k soit une puissance de 2.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
Propriété
2k + 1 ∈ P =⇒ ∃n ∈ N; k = 2n
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
Propriété
2k + 1 ∈ P =⇒ ∃n ∈ N; k = 2n
n
C’est pourquoi Fermat étudia les nombres de la forme 22 + 1
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
Propriété
2k + 1 ∈ P =⇒ ∃n ∈ N; k = 2n
n
C’est pourquoi Fermat étudia les nombres de la forme 22 + 1
Définition
On appelle n-ième nombre de Fermat (pour n ∈ N) :
n
Fn = 22 + 1
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
Fermat a cru tenir une formule qui ne donnait que des nombres
premiers. Vérifiez vous même.
n
Fn = 22 + 1
n
0
1
2
3
4
5
Fn
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
n
Fn = 22 + 1
n
0
Fn
3
Nombres premiers
1
2
3
4
5
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
n
Fn = 22 + 1
n
0
1
Fn
3
5
Nombres premiers
2
3
4
5
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
n
Fn = 22 + 1
n
0
1
2
Fn
3
5
17
Nombres premiers
3
4
5
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
n
Fn = 22 + 1
n
0
1
2
3
Fn
3
5
17
257
Nombres premiers
4
5
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
n
Fn = 22 + 1
n
0
1
2
3
4
Fn
3
5
17
257
65537
Nombres premiers
5
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
n
Fn = 22 + 1
n
0
1
2
3
4
5
Fn
3
5
17
257
65537
4 294 967 297
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
n
Fn = 22 + 1
n
0
1
2
3
4
5
Fn
3
5
17
257
65537
4 294 967 297
I
Fermat émit la conjecture que tous ces nombres étaient
premiers.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
n
Fn = 22 + 1
n
0
1
2
3
4
5
Fn
3
5
17
257
65537
4 294 967 297
I
premiers. Fermat décède en 1665 et
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
n
Fn = 22 + 1
n
0
1
2
3
4
5
Fn
3
5
17
257
65537
4 294 967 297
I
I
En 1732, Leonhard Euler présente un diviseur de F5 qui est
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
n
Fn = 22 + 1
n
0
1
2
3
4
5
Fn
3
5
17
257
65537
4 294 967 297
I
I
641.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
Fermat
n
Fn = 22 + 1
n
0
1
2
3
4
5
Fn
3
5
17
257
65537
4 294 967 297
I
I
I
641.
Actuellement, on ne connaı̂t que cinq nombres de Fermat
premiers, ceux cités ci-dessus de F0 à F4 .
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
La spirale d’Ulam
Stanislaw Marcin Ulam, lors d’une conférence scientifique en 1963
se trouva coincé, contraint d’écouter un exposé très long et très
ennuyeux . Il se mit à gribouiller des entiers consécutifs,
commençant par 1 au centre, dans une espèce de spirale.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
La spirale d’Ulam
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
La spirale d’Ulam
Puis, il garda les nombres premiers.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
La spirale d’Ulam
Puis, il garda les nombres premiers.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
La spirale d’Ulam
Puis en continuant sur une grande spirale. . .
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
La spirale d’Ulam
Puis en continuant sur une grande spirale. . .
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Fermat et Mersenne
La spirale d’Ulam
Il remarqua que des diagonales apparaissaient. . .
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Le petit théorème de Fermat, une propriété
caractéristique ?
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Le petit théorème de Fermat.
Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p,
alors :
ap−1 ≡ 1 mod p
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
alors :
ap−1 ≡ 1 mod p
Comme ap − a = a(ap−1 − 1), alors par le théorème de Gauss, un
énoncé équivalent est :
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
alors :
ap−1 ≡ 1 mod p
Comme ap − a = a(ap−1 − 1), alors par le théorème de Gauss, un
énoncé équivalent est :
Si p est un nombre premier et si a est un entier quelconque, alors
ap − a est un multiple de p.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
alors :
ap−1 ≡ 1 mod p
Exemple
I
36 − 1 est divisible par
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
alors :
ap−1 ≡ 1 mod p
Exemple
I
36 − 1 est divisible par 7.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
alors :
ap−1 ≡ 1 mod p
Exemple
I
36 − 1 est divisible par 7. On prend a = 3, et
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
alors :
ap−1 ≡ 1 mod p
Exemple
I
36 − 1 est divisible par 7. On prend a = 3, et p = 7.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
alors :
ap−1 ≡ 1 mod p
Exemple
I
I
Si on divise 411 par
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
alors :
ap−1 ≡ 1 mod p
Exemple
I
I
Si on divise 411 par 11, alors il reste
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
alors :
ap−1 ≡ 1 mod p
Exemple
I
I
Si on divise 411 par 11, alors il reste 4.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
alors :
ap−1 ≡ 1 mod p
Exemple
I
I
I
Je calcule 2142 modulo 143 et je trouve
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
alors :
ap−1 ≡ 1 mod p
Exemple
I
I
I
Je calcule 2142 modulo 143 et je trouve 114.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
alors :
ap−1 ≡ 1 mod p
Exemple
I
I
I
Je calcule 2142 modulo 143 et je trouve 114. Que puis-je en
déduire ?
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
L’hypothèse de Riemann
La répartition des nombres premiers est intrigante et est à un niveau
très élevé l’objet de la plus grande conjecture mathématique actuelle
depuis plus de 100 ans appelée hypothèse de Riemann Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
depuis plus de 100 ans appelée hypothèse de Riemann Riemann Hypothesis in english or RH for short.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
depuis plus de 100 ans appelée hypothèse de Riemann Riemann Hypothesis in english or RH for short.
Elle est l’un des fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, et
l’un des sept problèmes du prix du millénaire pour lequel un prix d’un
millions de dollars est promis par le Clay Mathematical Institute.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
Elle concerne la fonction ζ de Riemann définie par :
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
ζ(s) =
∞
X
1
ns
n=1
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
ζ(s) =
∞
X
1
ns
n=1
Où s désigne
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
ζ(s) =
∞
X
1
ns
n=1
Où s désigne un nombre complexe.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
ζ(s) =
∞
X
1
ns
n=1
Et on a aussi l’identité :
ζ(s) =
∞
X
1
=
ns
n=1
Nombres premiers
Y
p premier
1
1 − p −s
La fonction π
Pt th. de Fermat
ζ(s) =
∞
X
1
ns
n=1
Et on a aussi l’identité :
ζ(s) =
∞
X
1
=
ns
n=1
Y
p premier
1
1 − p −s
Ok et alors c’est quoi cette hypothèse de Riemann ?
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
ζ(s) =
∞
X
1
=
ns
n=1
Y
p premier
1
1 − p −s
L’hypothèse de Riemann dit que les racines (non évidentes) de la
fonction zeta se trouvent sur la ligne verticale Re(s) = 1/2.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
La fonction zêta dans le plan complexe.
La couleur d’un point s code la valeur de ζ(s) :
des couleurs vives indiquent des valeurs proches de 0 et la nuance indique
l’argument de la valeur. Le point blanc pour s = 1 est le pôle ; les points
noirs sur l’axe réel négatif (demi-droite horizontale) et sur la droite critique
Re(s) = 1/2 (droite verticale) sont les zéros.
Nombres premiers
La fonction π
Pt th. de Fermat
The End
Nombres premiers

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